Eksamensoppgaver etter tema

Fremmøteprosenten er andelen av de stemmeberettigede som stemte. Resten brukte ikke stemmeretten, så vi finner \( {100\,\% - 62{,}4\,\%} \) av de stemmeberettigede.

Merk – Summen av stemmene: Legger vi sammen antall stemmer i tabellen, får vi \( 2\,668\,317\text{.} \) Det er omtrent \( 41\,000 \) færre enn de \( {0{,}624 \cdot 4\,341\,850 \approx 2\,709\,314} \) som stemte, blant annet fordi blanke og forkastede stemmesedler ikke er stemmer på et parti. De som leverte en slik stemmeseddel, brukte likevel stemmeretten, så vi regner med fremmøteprosenten.

1. Finn andelen som ikke stemte \( 62{,}4\,\% \) stemte, så andelen som ikke stemte, er: \[ 100\,\% - 62{,}4\,\% = \textcolor{blue}{37{,}6}\,\% \]

2. Regn ut antallet Prosent av et tall finner vi med: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{37{,}6}} \) og tallet \( \textcolor{red}{4\,341\,850}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{blue}{37{,}6}}{100} \cdot \textcolor{red}{4\,341\,850} \approx 1\,632\,536 \]

Endringen i tabellen er i prosentpoeng, altså forskjellen mellom to prosenttall. Prosentvis framgang er endringen delt på oppslutningen ved forrige valg, og den finner vi for hvert parti som gikk fram.

1. Forklar hvorfor Tore tar feil Høyre gikk fram med \( 5{,}8 \) prosentpoeng, fra \( {25{,}9 - 5{,}8 = 20{,}1\,\%} \) til \( 25{,}9\,\%\text{.} \) Det er den største økningen i prosentpoeng, men ikke nødvendigvis i prosent: et parti som var mindre ved forrige valg, kan ha økt med en større del av det det hadde.

2. Regn ut prosentvis framgang Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Den gamle oppslutningen er den nye minus endringen. For partiene som gikk fram: \[ \begin{aligned} \text{Høyre: } & \dfrac{\textcolor{red}{5{,}8}}{\textcolor{blue}{20{,}1}} \cdot 100\,\% \approx 28{,}9\,\% \\ \text{FrP: } & \dfrac{\textcolor{red}{3{,}1}}{\textcolor{blue}{8{,}2}} \cdot 100\,\% \approx 37{,}8\,\% \\ \text{SV: } & \dfrac{\textcolor{red}{0{,}8}}{\textcolor{blue}{6{,}1}} \cdot 100\,\% \approx 13{,}1\,\% \\ \text{Venstre: } & \dfrac{\textcolor{red}{1{,}1}}{\textcolor{blue}{3{,}9}} \cdot 100\,\% \approx 28{,}2\,\% \end{aligned} \]«Andre» er ikke ett parti, og har uansett lavere framgang: \( {\dfrac{1{,}5}{8{,}0} \cdot 100\,\% = 18{,}75\,\%}\text{.} \)

Fremskrittspartiet (FrP) har altså størst prosentvis framgang.

Oppgaven ber om to måter. Vi regner ut beløpet om fem år med vekstfaktoren, og vi leser det av grafen til beløpet.

1. Regn ut beløpet Den første måten er å regne. Renten er \( 3{,}25\,\% \) per år. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{.} \) Om fem år er beløpet i dag ganget med vekstfaktoren fem ganger, som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \\ &\approx 105\,607 \cdot 1{,}173411 \\ &\approx 123\,920{,}46 \end{aligned} \]

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline 0 & 105\,607 \\ 1 & 109\,039 \\ 2 & 112\,583 \\ 3 & 116\,242 \\ 4 & 120\,020 \\ 5 & 123\,920 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = 5} \) leser vi av omtrent \( 124\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(5)\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = 5} \) med Skjæring mellom grafen og linja \( {x = 5}\text{,} \) som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x s = K(5) g: x = 5 A = Skjæring(K, g)

Regningen gir \( {s \approx 123\,920{,}46}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {A \approx (5,\ 123\,920{,}46)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Nå går vi fem år tilbake. Vi deler beløpet i dag på vekstfaktoren fem ganger, og vi leser det av grafen til beløpet fem år før i dag.

1. Regn ut innskuddet Den første måten er å regne. Renten på \( 3{,}25\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Vi kaller beløpet Gaute satte inn, for \( S\text{.} \) Etter fem år har det blitt beløpet i dag, som i videoen Vekstfaktor: \[ S \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 = \textcolor{blue}{105\,607} \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{105\,607}}{\textcolor{red}{1{,}0325}^5} \\ S &\approx 89\,999{,}98 \end{aligned} \]Det står litt over \( 105\,607 \) kroner på kontoen i dag, så Gaute satte inn \( 90\,000 \) kroner.

Kontroll: \( {90\,000 \cdot 1{,}0325^5} \) er omtrent \( 105\,607{,}03\text{,} \) altså litt over \( 105\,607 \) kroner.

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{,} \) og fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline -5 & 90\,000 \\ -4 & 92\,925 \\ -3 & 95\,945 \\ -2 & 99\,063 \\ -1 & 102\,283 \\ 0 & 105\,607 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = -5} \) leser vi av omtrent \( 90\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Vi regner ut \( {K(-5)}\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = -5} \) med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x t = K(-5) h: x = -5 B = Skjæring(K, h)

Regningen gir \( {t \approx 89\,999{,}98}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {B \approx (-5,\ 89\,999{,}98)}\text{.} \) Med litt over \( 105\,607 \) kroner i dag var innskuddet \( 90\,000 \) kroner.

Produksjonen er oppgitt i fat per døgn. Vi finner antall fat i hele 2023, gjør om til liter og skriver svaret på standardform.

1. Finn antall fat i 2023 \( 1{,}794 \) millioner er \( \textcolor{blue}{1\,794\,000}\text{,} \) og 2023 hadde \( \textcolor{red}{365} \) døgn: \[ \textcolor{blue}{1\,794\,000} \cdot \textcolor{red}{365} = 654\,810\,000 \text{ fat} \]

2. Gjør om til liter Hvert fat er omtrent \( \textcolor{green}{158{,}987} \) liter, så med kalkulatoren får vi antall liter: \[ \begin{aligned} &654\,810\,000 \cdot \textcolor{green}{158{,}987} \\ &= 104\,106\,277\,470 \end{aligned} \]

3. Skriv svaret på standardform På standardform er et tall et tall mellom \( 1 \) og \( 10 \) ganget med en tierpotens, som i videoen Hva er Standardform?. Vi flytter kommaet \( 11 \) plasser til venstre: \[ 104\,106\,277\,470 \approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \]

Vi finner hvor mye produksjonen økte, og deler økningen på produksjonen i 2022.

1. Del endringen på den gamle verdien Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er endringen \( {1{,}794 - 1{,}685 = \textcolor{red}{0{,}109}} \) millioner fat per døgn, og den gamle verdien er \( \textcolor{blue}{1{,}685}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}109}}{\textcolor{blue}{1{,}685}} \cdot 100\,\% \approx 6{,}47\,\% \]Begge årene har 365 døgn, så økningen er den samme for hele året.