Eksamensoppgaver etter tema

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.

1. Regn ut modellverdiene For \( \textcolor{blue}{100} \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{100}^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{100} = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{red}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{red}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{red}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{red}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{red}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{red}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{red}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{red}{4247} \end{array} \]

2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.

1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)

2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.

I tabellen ser vi at en stor hund blir \( 6 \) menneskeår eldre for hvert år fra den er 2 år. Det gir en lineær modell, og så sjekker vi for hvilke aldre den stemmer med tabellen.

1. Finn stigningstallet En lineær modell har formen: \[ H(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{red}{a} \) stigningstallet, det \( H \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) er konstantleddet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.

I kolonnen for store hunder øker menneskeårene med \( 6 \) for hvert hundeår fra 2 år: \( 24\text{,} \) \( 30\text{,} \) \( 36 \) og så videre til \( 96\text{.} \) Med punktene \( (2, 24) \) og \( (3, 30) \) er stigningstallet endringen i \( H \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{30 - 24}{3 - 2} = \textcolor{red}{6} \]

2. Finn konstantleddet En hund på 2 år tilsvarer 24 menneskeår, altså er \( {H(2) = 24}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{6} \cdot 2 + \textcolor{blue}{b} &= 24 \\ \textcolor{blue}{b} &= 24 - 12 = \textcolor{blue}{12} \end{aligned} \]Det gir \( {H(x) = \textcolor{red}{6}x + \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) som er uttrykket Sondre har funnet.

3. Finn når modellen gjelder Modellen gir tallene i tabellen for alle hele år fra 2 til 14, for eksempel: \[ H(14) = 6 \cdot 14 + 12 = 96 \]

Under 2 år stemmer den ikke. En hund på 1 år tilsvarer 16 menneskeår, men modellen gir \( {H(1) = 6 + 12 = 18}\text{.} \) Etter 14 år har tabellen ingen tall. Modellen gjelder derfor for store hunder fra 2 til 14 år.

To størrelser er proporsjonale når den ene er et fast tall ganget med den andre. Vi sjekker om modellen har den formen, og prøver med to aldre.

1. Sjekk formen til modellen At menneskeårene er proporsjonale med hundeårene, betyr at: \[ H(x) = k \cdot x \]der \( k \) er et fast tall. Grafen er da en rett linje gjennom origo.

Modellen \( {H(x) = 6x + \textcolor{blue}{12}} \) har konstantleddet \( \textcolor{blue}{12}\text{,} \) så den har ikke denne formen.

2. Prøv med to aldre Dobler vi alderen til hunden fra 2 til 4 år, får vi: \[ \begin{aligned} H(2) &= 6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{red}{24} \\ H(4) &= 6 \cdot 4 + 12 = 36 \end{aligned} \]Var alderen proporsjonal, skulle dobbel hundealder gitt dobbelt så mange menneskeår, altså \( {2 \cdot \textcolor{red}{24} = 48}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel, og påstanden til Sondre stemmer derfor ikke.