Universitetseksamen etter tema

Overflaten avhenger av både \( r \) og \( h\text{.} \) Vi bruker volumet til å skrive den med bare \( r\text{,} \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)

1. Skriv overflaten med én variabel Grunnflaten er en sirkel, og siden er et rektangel med bredde lik omkretsen: \[ S = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{red}{h} \]

Volumet er \( 1000\text{,} \) og det gir oss \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \pi r^2 \textcolor{red}{h} = 1000 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2000}{r} \end{aligned} \]

2. Finn minimum Vi deriverer ledd for ledd, med reglene fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} S'(r) &= 2\pi r - \dfrac{2000}{r^2} \\ &= \dfrac{2\pi r^3 - 2000}{r^2} \end{aligned} \]

Vi setter \( {S'(r) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi r^3 &= 2000 \\ r^3 &= \dfrac{1000}{\pi} \\ r &= \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \end{aligned} \]

For å se at dette er et minimum, deriverer vi en gang til: \[ S''(r) = 2\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 \]Dette er positivt for alle \( {r > 0}\text{,} \) så grafen vender hul side opp, og punktet er et minimum.

3. Finn høyden Vi skriver \( {\pi r^3 = 1000} \) om til \( {\dfrac{1000}{\pi r^2} = r}\text{.} \) Dermed vet vi at: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{\dfrac{1000}{\pi r^2}} = r = \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \]

Boksen blir altså like høy som radien.

Vi viser først at det finnes et nullpunkt, og at det bare er ett. Så viser vi at \( g \) trekker punktene nærmere hverandre med faktoren \( K\text{,} \) og det gir hvor mange iterasjoner vi trenger.

1. Vis at det er ett nullpunkt \( f \) er kontinuerlig, og fortegnet skifter mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 4 - 10 = -5 \\ f(2) &= 8 + 16 - 10 = 14 \end{aligned} \]Da sier skjærsetningen at det finnes et nullpunkt, som i videoen Skjærsetningen.

Den deriverte er positiv på \( [1, 2]\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 + 8x > 0 \]\( f \) er voksende, så det er nøyaktig ett nullpunkt.

2. Skriv om likningen Vi setter \( x^2 \) utenfor på venstre side av \( {x^3 + 4x^2 = 10}\text{:} \) \[ x^2(x + 4) = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \dfrac{10}{4 + x} \]På \( [1, 2] \) er \( {x > 0}\text{,} \) så vi kan ta kvadratroten: \[ x = \sqrt{\dfrac{10}{4 + x}} = g(x) \]

3. Vis at g ligger mellom grensene Når \( x \) vokser, blir nevneren større, så \( g \) er synkende. Da ligger verdiene mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} g(2) &\le g(x) \le g(1) \\ \sqrt{\dfrac{5}{3}} &\le g(x) \le \sqrt{2} \end{aligned} \]Siden \( {\sqrt{\dfrac{5}{3}} \ge 1} \) og \( {\sqrt{2} \le 2}\text{,} \) er \( {1 \le g(x) \le 2}\text{.} \)

4. Finn K Vi skriver \( {g(x) = \sqrt{10}\,(4 + x)^{-\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ g'(x) = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}(4 + x)^{-\tfrac{3}{2}} \]

\( |g'(x)| \) er størst når nevneren er minst, altså i \( {x = 1}\text{:} \) \[ |g'(x)| \le \dfrac{\sqrt{10}}{2 \cdot 5\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} < \dfrac{1}{5} \]Vi kan altså bruke \( {\textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{.} \)

5. Finn antall iterasjoner Middelverdisetningen forteller oss at det finnes en \( c \) mellom \( a \) og \( b \) slik at: \[ g(a) - g(b) = g'(c)(a - b) \]

Siden \( {|g'(c)| \le \textcolor{red}{K}}\text{,} \) \( {x_{n+1} = g(x_n)} \) og \( {r = g(r)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |x_{n+1} - r| &= |g(x_n) - g(r)| \\ &\le \textcolor{red}{K}|x_n - r| \end{aligned} \]

Gjør vi dette \( n \) ganger, får vi \( {|x_n - r| \le K^n|x_0 - r|}\text{.} \) Både \( x_0 \) og \( r \) ligger i \( [1, 2]\text{,} \) så \( {|x_0 - r| \le 1}\text{:} \) \[ |x_n - r| \le \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n \]

Vi må ha: \[ \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n < 10^{-3} \quad \Rightarrow \quad 5^n > 1000 \]Her holder det med hoderegning: \( {5^4 = 625} \) og \( {5^5 = 3125}\text{.} \)

Vinket sier at summen er en Riemannsum. Vi skriver derfor leddene om, så vi ser \( \Delta x \) og \( f(x_i)\text{,} \) og regner ut integralet i stedet.

1. Skriv summen som en Riemannsum Vi setter \( n \) utenfor i nevneren, så vi får \( \dfrac{2i}{n} \) der: \[ \begin{aligned} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} &= \dfrac{2n}{n^2\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2} \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2}} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med en Riemannsum, som i videoen Riemann sum, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\Delta x} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \\ x_i &= \dfrac{2i}{n} \\ \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}} \end{aligned} \]

Punktene starter i \( {x_0 = 0}\text{.} \) Bredden \( \dfrac{2}{n} \) ganger \( n \) gir et intervall med lengde \( 2\text{,} \) så det går fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Dette er venstre Riemannsum.

2. Regn ut integralet Når \( n \) vokser, går summen mot integralet: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} \\ &= \int_0^2 \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}}\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{1 + x}\right]_0^2 \\ &= -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi sjekker punktene der grafen endrer seg. I hvert av dem må grafen komme til samme verdi fra begge sider, og det må være funksjonsverdien.

1. Skriv opp kravet Funksjonen er kontinuerlig i \( {x = a} \) når verdiene møtes der, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \textcolor{red}{\lim_{x \to a^-} f(x)} = \textcolor{blue}{\lim_{x \to a^+} f(x)} = \textcolor{green}{f(a)} \]

2. Les av de tre punktene Vi leser av grafen fra venstre, fra høyre og selve funksjonsverdien.

\( {x = 1}\text{:} \) Grafen kommer til \( 3 \) fra venstre, men starter i \( 2 \) til høyre for punktet: \[ \textcolor{red}{\lim_{x \to 1^-} f(x)} = 3 \neq 2 = \textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+} f(x)} \]Grafen hopper, så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 1}\text{.} \)

\( {x = 2}\text{:} \) Grafen har en knekk her, men ikke noe hopp: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 1 = \textcolor{green}{f(2)} \]Så \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)

\( {x = 3}\text{:} \) Grafen kommer til \( 2 \) fra begge sider, men det fylte punktet ligger i \( 4\text{:} \) \[ \lim_{x \to 3} f(x) = 2 \neq 4 = \textcolor{green}{f(3)} \]Så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 3}\text{.} \)

Ellers er grafen sammenhengende, også i endepunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

Tallet opphøyes i tredje, og det er enklest på polarform. Vi skriver det derfor om til polarform og ganger vinkelen med \( 3\text{.} \)

1. Skriv tallet på polarform Eulers formel forteller oss at vi kan skrive et komplekst tall slik: \[ a + bi = \textcolor{red}{r}\,e^{\textcolor{blue}{\theta} i} \]Hvis du er usikker på polarform, kan du se videoen Polar Form / Eulers Formel.

Her er: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{1}{2} \\ b &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Lengden blir: \[ \textcolor{red}{r} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \textcolor{red}{1} \]

Tallet ligger i fjerde kvadrant, siden \( {a > 0} \) og \( {b < 0}\text{,} \) så vinkelen blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\theta} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \\ &= \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \\ &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{3}} \end{aligned} \]

2. Opphøy i tredje Potensreglene gir \( {(re^{\theta i})^3 = r^3e^{3\theta i}}\text{,} \) så vinkelen ganges med \( 3\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 &= \left(\textcolor{red}{1} \cdot e^{\textcolor{blue}{-\tfrac{\pi}{3}} i}\right)^3 \\ &= e^{-\pi i} \end{aligned} \]

Eulers formel gir verdien av dette: \[ \begin{aligned} e^{-\pi i} &= \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) \\ &= -1 + i \cdot 0 \\ &= -1 \end{aligned} \]

Vi sammenligner linja i løkka med formelen for Eulers metode. Det som står ganget med steglengden, er høyresiden i differensiallikningen.

1. Finn høyresiden Eulers metode for \( {y' = \textcolor{blue}{f(t, y)}} \) forteller oss at: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{f(t_i, y_i)} \]Hvis du er usikker på Eulers metode, kan du se videoen Eulers metode.

Linja i løkka sier: \[ y_{i+1} = y_i + \textcolor{red}{h} \cdot \textcolor{blue}{y_i(1 - y_i)} \]

Det betyr at \( {\textcolor{blue}{f(t, y) = y(1 - y)}}\text{,} \) og likningen er: \[ y'(t) = y(t)(1 - y(t)) \]Steglengden \( \textcolor{red}{h} \) hører til metoden, ikke til likningen, så C, D og E faller bort.

2. Finn intervallet og startverdien Koden tar \( N \) steg med lengde \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) så den ender i: \[ t = N\textcolor{red}{h} = t_{\text{end}} = 10 \]\( {N = 10000} \) er antall steg, ikke sluttiden, så B faller bort.

Den første verdien i lista er startverdien: \[ y(0) = y_0 = 0{,}1 \]

Vi ser at A, B, D og E er avhengige med en gang. Så sjekker vi C med determinanten.

1. Skriv opp kravet Vektorene er lineært uavhengige når dette bare holder med alle \( c \) lik \( 0\text{:} \) \[ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} \]

2. Se bort fra de avhengige A har fire vektorer med tre koordinater. Det gir tre likninger med fire ukjente, og da finnes det alltid andre løsninger enn bare nuller: \[ 4 \text{ vektorer} > 3 \text{ koordinater} \]

B og E har nullvektoren med. Da kan vi sette \( 1 \) foran den og \( 0 \) foran resten. For B: \[ 0\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

For E: \[ 0\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

I D er den andre vektoren to ganger den første: \[ \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

3. Regn ut determinanten for C Tre vektorer i \( \mathbf{R}^3 \) er uavhengige når determinanten ikke er \( 0\text{.} \) Formelen for en \( 3 \times 3 \)-matrise, utviklet langs første rad, forteller oss at: \[ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a} & \textcolor{blue}{b} & \textcolor{green}{c} \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \\ &= \textcolor{red}{a}(ei - fh) - \textcolor{blue}{b}(di - fg) \\ &\quad + \textcolor{green}{c}(dh - eg) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Determinanter 3x3 matrise.

Vi setter vektorene inn som kolonner, så her er: \[ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{-5} & \textcolor{green}{1} \\ 1 & 4 & -2 \\ -3 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2}(4 \cdot 3 - (-2) \cdot 2) \\ &- (\textcolor{blue}{-5})(1 \cdot 3 - (-2)(-3)) \\ &+ \textcolor{green}{1}(1 \cdot 2 - 4 \cdot (-3)) \\ &= \textcolor{red}{32} \textcolor{blue}{- 15} + \textcolor{green}{14} \\ &= 31 \end{aligned} \]

Determinanten er ikke \( 0\text{,} \) så vektorene i C er lineært uavhengige.

Kontinuitet sier at vi kan få \( f(x) \) så nær \( f(x_0) \) vi vil, bare \( x \) er nær nok \( x_0\text{.} \) Vi oversetter dette til \( \varepsilon \) og \( \delta\text{.} \)

Merk – Feil i oppgavearket: Slutten av alternativ A og E mangler i NTNUs PDF. NTNU skriver på emnesiden sin at alternativ 3, som er C her, vises riktig og er det riktige svaret. Vi kan også utelukke A og E uten å se slutten.

1. Skriv opp definisjonen Først velger vi hvor nær \( f(x_0) \) vi vil komme. Det er \( \textcolor{red}{\varepsilon}\text{,} \) og det skal gå for alle \( {\textcolor{red}{\varepsilon > 0}}\text{.} \) Så må vi kunne finne et \( {\textcolor{blue}{\delta > 0}} \) som sier hvor nær \( x \) må være \( x_0\text{:} \) \[ |x - x_0| < \textcolor{blue}{\delta} \ \Rightarrow \ |f(x) - f(x_0)| < \textcolor{red}{\varepsilon} \]Dette er C. Ideen uten symboler ser du i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Se bort fra de andre A, D og E starter med «Det finnes \( {\textcolor{red}{\varepsilon > 0}} \)». Da spør de bare om ett tall, ikke om vi kan komme så nær vi vil. Ta denne funksjonen, som hopper i \( {x_0 = 0}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases} \]

Den er ikke kontinuerlig i \( 0\text{,} \) men et stort tall stopper den ikke: \[ |f(x) - f(0)| \le 1 < 2 \quad \text{for alle } x \]

I B har \( \textcolor{red}{\varepsilon} \) og \( \textcolor{blue}{\delta} \) byttet plass. Med samme funksjon kan vi velge \( {\textcolor{blue}{\delta = 2}} \) for hver \( \textcolor{red}{\varepsilon}\text{,} \) så også her slipper hoppet gjennom: \[ |x| < \textcolor{red}{\varepsilon} \ \Rightarrow \ |f(x) - f(0)| < \textcolor{blue}{2} \]

Formelen står i oppgaven. Vi finner derfor \( {L + U} \) og \( {D^{-1}}\text{,} \) skriver om formelen til to enkle likninger og setter inn to ganger.

1. Finn matrisene i formelen Vi legger sammen \( L \) og \( U\text{:} \) \[ L + U = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

Den inverse til en diagonalmatrise har én delt på hvert tall på diagonalen: \[ \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{p} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{q} \end{bmatrix} \]Det følger av formelen i videoen Invers matrise med determinanter.

Her er \( {p = 4} \) og \( {q = 3}\text{,} \) så: \[ D^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \]

2. Skriv om formelen Vi ganger rad med kolonne, som i videoen Multiplikasjon: \[ (L + U)\begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_k \\ x_k \end{bmatrix} \]

Plugger vi dette inn i Jacobi-metoden, får vi: \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} &= D^{-1}\begin{bmatrix} 5 - y_k \\ 5 - x_k \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{5 - y_k}{4} \\ \dfrac{5 - x_k}{3} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

3. Gjør to iterasjoner Første iterasjon starter med \( {\textcolor{red}{x_0 = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y_0 = 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = \textcolor{red}{1} \\ y_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{2}}{3} = \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Andre iterasjon bruker disse verdiene: \[ \begin{aligned} x_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = 1 \\ y_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{1}}{3} = \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Dette er en homogen andreordens differensiallikning. Vi finner derfor røttene til den karakteristiske likningen og bruker startverdiene til å finne konstantene.

1. Finn røttene Den karakteristiske likningen er: \[ \textcolor{blue}{1} \cdot r^2 + \textcolor{red}{6}r + \textcolor{green}{9} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ r = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andre ordens homogene diff ligninger TEORI.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{9} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} r &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{9}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm 0}{2} \\ &= -3 \end{aligned} \]

2. Skriv opp den generelle løsningen Vi får bare én rot, altså en dobbel rot. Da må den andre løsningen ha med en ekstra \( x\text{,} \) som i videoen Differensiallikning med dobbel rot: \[ y = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx} \]

Med \( {r = -3} \) får vi: \[ y = C_1e^{-3x} + C_2xe^{-3x} \]

3. Bruk startverdiene Setter vi inn \( {y(0) = 1}\text{,} \) får vi: \[ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 \]

Vi trenger \( y'\text{.} \) Med kjerneregelen er \( {(e^{-3x})' = -3e^{-3x}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Det andre leddet er et produkt, så produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{C_2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{C_2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-3x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-3e^{-3x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y' = {} & -3C_1e^{-3x} + \textcolor{red}{C_2}\textcolor{blue}{e^{-3x}} \\ & + \textcolor{red}{C_2x}\textcolor{blue}{(-3e^{-3x})} \end{aligned} \]

Setter vi inn \( {y'(0) = 1} \) og \( {C_1 = 1}\text{,} \) får vi: \[ -3 + C_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 4 \]