Hopp til hovedinnholdet

Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

ulikheter

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i NTNU Matematikk 1 om ulikheter

Oppgavene

TMA4100 ordinær eksamen 2022

Oppgave 8

La r>0. {r > 0}\text{.} Finn taylorpolynomet til
f(x)=1(1+x)r f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^r}
av grad 1, P1(x), P_1(x)\text{,} om punktet x=0, {x = 0}\text{,} og bruk dette til å vise at
1(1+x)r>1−rx \dfrac{1}{(1 + x)^r} > 1 - rx
for x>0. {x > 0}\text{.}
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Taylorpolynomet er P1(x)=1−rx, {P_1(x) = 1 - rx}\text{,} og for x>0 {x > 0} gir restleddet:
1(1+x)r>1−rx‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{(1 + x)^r} > 1 - rx}}
Vi finner \( f(0) \) og \( f'(0) \) og setter dem inn i formelen for taylorpolynomet. Ulikheten følger av fortegnet til restleddet.
1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {f(x) = (1 + x)^{-r}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{w}^{-r}\right)' = -r\textcolor{green}{w}^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 + x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -r(\textcolor{green}{1 + x})^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= -r(1 + x)^{-r-1} \end{aligned} \]
2. Finn taylorpolynomet Taylorpolynomet av grad 1 om \( {x = 0} \) forteller oss at: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{blue}{f'(0)} \cdot x \]Dette er formelen fra videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, med \( {a = 0}\text{.} \)
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0)} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{f'(0)} &= \textcolor{blue}{-r} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{1} \textcolor{blue}{- r}x \]
3. Bruk restleddet Taylors teorem forteller oss at det for hver \( {x > 0} \) finnes en \( c \) mellom \( 0 \) og \( x \) slik at: \[ f(x) = P_1(x) + \dfrac{f''(c)}{2}x^2 \]Vi kjenner ikke \( c\text{,} \) men vi vet at den ligger mellom \( 0 \) og \( x\text{.} \)
Vi deriverer \( f'(x) \) på samme måte en gang til: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -r(-r - 1)(1 + x)^{-r-2} \cdot 1 \\ &= r(r + 1)(1 + x)^{-r-2} \end{aligned} \]
Siden \( {r > 0} \) og \( {c > 0}\text{,} \) er alle faktorene positive: \[ f''(c) = r(r + 1)(1 + c)^{-r-2} > 0 \]
Også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så restleddet er positivt: \[ \dfrac{f''(c)}{2}x^2 > 0 \]
Dermed vet vi at \( {f(x) > P_1(x)}\text{,} \) altså: \[ \dfrac{1}{(1 + x)^r} > 1 - rx \]