Universitetseksamen etter tema

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Vi integrerer begge sider og finner konstanten fra \( {y(0) = 1}\text{.} \)

1. Separer likningen Vi skriver \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og samler \( y \) på én side og \( x \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{\textcolor{red}{dy}}{\textcolor{red}{y}} = \dfrac{\textcolor{blue}{dx}}{\textcolor{blue}{3(1 + x)}} \]

2. Integrer begge sider Vi integrerer begge sider. Siden \( {x > -1}\text{,} \) er \( {1 + x > 0}\text{,} \) og vi trenger ingen absoluttverdi der: \[ \textcolor{red}{\ln|y|} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}\ln(1 + x)} + C \]

3. Finn konstanten Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 1}\text{:} \) \[ \ln 1 = \dfrac{1}{3}\ln 1 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0 \]

4. Løs for y Logaritmeregelen forteller oss at: \[ a \ln b = \ln\left(b^a\right) \]Du ser regelen i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {a = \dfrac{1}{3}} \) og \( {b = 1 + x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\ln|y|} &= \ln\left((1 + x)^{\tfrac{1}{3}}\right) \\ |y| &= (1 + x)^{\tfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

\( |y| \) blir aldri \( 0\text{,} \) så \( y \) skifter ikke fortegn. Med \( {y(0) = 1} \) er \( y \) positiv, og: \[ y = (1 + x)^{\tfrac{1}{3}} \]

Vi deriverer begge sider, så integralet forsvinner og vi står igjen med en separabel differensiallikning. Startverdien får vi ved å sette inn \( {x = 0}\text{.} \)

1. Deriver begge sider Når vi deriverer et integral med \( x \) i øvre grense, bytter vi \( t \) med \( x \) i funksjonen under integraltegnet: \[ \left( \int_0^x h(t)\,dt \right)' = h(x) \]Det er slik vi starter i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Her er \( {h(t) = e^{t + y(t)}}\text{,} \) så vi får: \[ y'(x) = e^{x + y(x)} \]

Setter vi inn \( {x = 0} \) i likningen fra oppgaven, går integralet fra \( 0 \) til \( 0\text{.} \) Det gir startverdien: \[ y(0) = \int_0^0 e^{t + y(t)}\,dt = 0 \]

2. Separer og integrer Vi deler potensen i to, så vi kan samle \( \textcolor{red}{y} \) på én side og \( \textcolor{blue}{x} \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{e^y} \\ \textcolor{red}{e^{-y}\,dy} &= \textcolor{blue}{e^x\,dx} \end{aligned} \]

Regelen for å integrere \( e \) opphøyd i noe forteller oss at: \[ \int e^{ny}\,dy = \dfrac{1}{n}e^{ny} + C \]Du ser den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

På venstre side er \( {n = -1}\text{.} \) Vi integrerer begge sider og får: \[ \textcolor{red}{-e^{-y}} = \textcolor{blue}{e^x} + C \]

3. Finn konstanten og løs for y Vi setter inn startverdien \( {y(0) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -e^0 &= e^0 + C \\ -1 &= 1 + C \\ C &= -2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} -e^{-y} &= e^x - 2 \\ e^{-y} &= 2 - e^x \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} -y &= \ln(2 - e^x) \\ y &= -\ln(2 - e^x) \end{aligned} \]For \( {0 \le x < \ln(2)} \) er \( {e^x < 2}\text{,} \) så \( {2 - e^x > 0} \) og logaritmen finnes.

Her står \( x \) i den øvre grensen, så vi deriverer begge sider og blir kvitt integralet. Da får vi en separabel differensiallikning, og startverdien får vi ved å sette inn \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn startverdien Setter vi inn \( {x = 0}\text{,} \) går integralet fra \( 0 \) til \( 0 \) og blir \( 0\text{:} \) \[ f(0) = 1 - \int_0^0 f(t)\,dt = 1 - 0 = 1 \]

2. Deriver begge sider Analysens fundamentalteorem forteller oss at: \[ \left(\int_0^x \textcolor{red}{f(t)}\,dt\right)' = \textcolor{red}{f(x)} \]Det forklares i videoen Løs integralligningen - Generell løsning - 6 - Del 1.

Konstanten \( 1 \) deriveres til \( 0\text{,} \) så vi får: \[ f'(x) = 0 - \textcolor{red}{f(x)} = -\textcolor{red}{f(x)} \]

3. Løs differensiallikningen Vi skriver \( {y = f(x)}\text{.} \) Siden \( {f(0) = 1}\text{,} \) kan ikke \( {y = 0} \) være løsningen, og vi samler \( y \) på én side og \( x \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= -y \\ \dfrac{1}{y}\,dy &= -dx \end{aligned} \]

Vi integrerer begge sider, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, og får: \[ \ln|y| = -x + C \]

Vi opphøyer \( e \) i begge sider, og samler konstanten i en ny konstant \( \textcolor{blue}{A}\text{:} \) \[ y = \textcolor{blue}{A}\,e^{-x} \]

4. Finn konstanten Startverdien \( {f(0) = 1} \) gir: \[ \textcolor{blue}{A}\,e^{0} = 1 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{blue}{A} = 1 \]

Stigningen er \( y'\text{,} \) så dette er en differensiallikning. Vi ser at vi kan skille \( y \) og \( x\text{,} \) og bruker derfor separasjon av variabler.

1. Separer variablene Stigningen er \( {y' = \dfrac{dy}{dx}}\text{,} \) så: \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{-x}}{1 + \cos(y)} \]

Vi samler \( \textcolor{red}{y} \) på én side og \( \textcolor{blue}{x} \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \textcolor{red}{(1 + \cos(y))\,dy} = \textcolor{blue}{e^{-x}\,dx} \]

2. Integrer begge sider Vi integrerer hver side for seg: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{red}{(1 + \cos(y))\,dy} &= \int \textcolor{blue}{e^{-x}\,dx} \\ \textcolor{red}{y + \sin(y)} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Finn konstanten Kurven går gjennom \( (\ln(2), 0)\text{,} \) så vi setter inn \( {x = \ln(2)} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ 0 + \sin(0) = -e^{-\ln(2)} + \textcolor{green}{C} \]

Her er \( {e^{-\ln(2)} = \dfrac{1}{e^{\ln(2)}} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) så: \[ 0 = -\dfrac{1}{2} + \textcolor{green}{C} \quad \Rightarrow \quad \textcolor{green}{C} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y + \sin(y) = -e^{-x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \]

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]