Universitetseksamen etter tema

Vinket sier at summen er en Riemannsum. Vi skriver derfor leddene om, så vi ser \( \Delta x \) og \( f(x_i)\text{,} \) og regner ut integralet i stedet.

1. Skriv summen som en Riemannsum Vi setter \( n \) utenfor i nevneren, så vi får \( \dfrac{2i}{n} \) der: \[ \begin{aligned} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} &= \dfrac{2n}{n^2\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2} \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{2i}{n}\right)^2}} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med en Riemannsum, som i videoen Riemann sum, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\Delta x} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{n}} \\ x_i &= \dfrac{2i}{n} \\ \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}} \end{aligned} \]

Punktene starter i \( {x_0 = 0}\text{.} \) Bredden \( \dfrac{2}{n} \) ganger \( n \) gir et intervall med lengde \( 2\text{,} \) så det går fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Dette er venstre Riemannsum.

2. Regn ut integralet Når \( n \) vokser, går summen mot integralet: \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2n}{(n + 2i)^2} \\ &= \int_0^2 \textcolor{blue}{\dfrac{1}{(1 + x)^2}}\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{1 + x}\right]_0^2 \\ &= -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]