Universitetseksamen etter tema

Vi bruker forholdstesten for å finne hvor rekken konvergerer, og sjekker så endepunktene hver for seg, siden testen ikke sier noe om dem.

1. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Når \( {k = 1}\text{,} \) gir testen ikke noe svar. Slik bruker vi den på en nesten lik rekke i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{(n + 1)^3(2x - 3)^{n+1}}}{\textcolor{blue}{n^3(2x - 3)^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^3 |2x - 3| \\ &= |2x - 3| \end{aligned} \]Her går \( \dfrac{1}{n} \) mot \( 0 \) når \( n \) vokser.

2. Løs ulikheten Rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |2x - 3| &< 1 \\ -1 < 2x - 3 &< 1 \\ 2 < 2x &< 4 \\ 1 < x &< 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Vi setter inn: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3(-1)^n \\ x = 2: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} n^3 \end{aligned} \]

I begge rekkene er leddene like store som \( n^3\text{:} \) \[ |a_n| = n^3 \to \infty \]Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro. Ingen av endepunktene er altså med.

Vi bruker forholdstesten for å finne hvor rekken konvergerer, og sjekker så endepunktene hver for seg, siden testen ikke sier noe om dem.

1. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Når \( {k = 1}\text{,} \) gir testen ikke noe svar. Slik bruker vi den på en potensrekke i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{\dfrac{n(x + 2)^n}{5^{n-1}}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(n + 1)(x + 2)^{n+1}}{5^n}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(n + 1)(x + 2)^{n+1}}{5^n}} \\ &\quad \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5^{n-1}}{n(x + 2)^n}} \end{aligned} \]

Potensene av \( {x + 2} \) og \( 5 \) kan vi forkorte. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \dfrac{n + 1}{n} \cdot \dfrac{x + 2}{5} \\ k &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \cdot \dfrac{|x + 2|}{5} \\ &= \dfrac{|x + 2|}{5} \end{aligned} \]Her går \( \dfrac{1}{n} \) mot \( 0 \) når \( n \) vokser.

2. Løs ulikheten Rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{|x + 2|}{5} &< 1 \\ -5 < x + 2 &< 5 \\ -7 < x &< 3 \end{aligned} \]

3. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Vi setter inn: \[ \begin{aligned} x = 3: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n \cdot 5^n}{5^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} 5n \\ x = -7: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n(-5)^n}{5^{n-1}} \\ & = \sum_{n=1}^{\infty} 5n(-1)^n \end{aligned} \]

I begge rekkene er leddene like store som \( 5n\text{:} \) \[ |a_n| = 5n \to \infty \]Når leddene ikke går mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro: \[ |a_n| \not\to 0 \quad \Rightarrow \quad \text{rekken divergerer} \]Ingen av endepunktene er altså med.

Forholdstesten gir konvergens når \( {|x| < 1}\text{,} \) og endepunktene sjekker vi hver for seg. Rekken er taylorrekken til \( \ln \) med \( x^2 \) som variabel, så vi kjenner summen.

1. Bruk forholdstesten For \( {x = 0} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så der konvergerer rekken. For \( x \ne 0 \) forteller forholdstesten oss at rekken konvergerer når \( {k < 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Slik bruker vi den i videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2n}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n}}{n + 1} x^{2n + 2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n} x^{2n+2}}{n+1}} \textcolor{blue}{\dfrac{n}{(-1)^{n-1} x^{2n}}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n + 1}\,x^2 = x^2 \end{aligned} \]

Rekken konvergerer altså når: \[ x^2 < 1 \quad \Leftrightarrow \quad -1 < x < 1 \]

2. Sjekk endepunktene I \( {x = \pm 1} \) er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000). Siden \( {(\pm 1)^{2n} = 1}\text{,} \) gir begge endepunktene samme rekke: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} \]

Testen for alternerende rekker forteller oss at rekken konvergerer når leddene \( \textcolor{green}{b_n} \) går mot \( 0 \) og hele tiden blir mindre, som i videoen Alternerende rekker med eksempler!. Her er \( {\textcolor{green}{b_n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} &= 0 \\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{n + 1}} &< \textcolor{green}{\dfrac{1}{n}} \end{aligned} \]

Begge kravene holder, så rekken konvergerer i \( {x = \pm 1}\text{.} \) Dermed konvergerer den for alle \( {x \in [-1, 1]}\text{.} \)

3. Kjenn igjen rekken Maclaurinrekken til \( {\ln(1 + u)} \) er, for \( {|u| < 1}\text{:} \) \[ \ln(1 + u) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\,\textcolor{magenta}{u}^{n} \]Den får vi ved å derivere og sette inn \( {u = 0}\text{,} \) som i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2.

Rekken vår er akkurat denne, med: \[ \textcolor{magenta}{u} = \textcolor{magenta}{x^2} \]

4. Regn ut summen For \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er \( {\textcolor{magenta}{u} = \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}}}\text{,} \) som er mindre enn \( 1\text{.} \) Det gir oss: \[ s = \ln\left(1 + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}}\right) = \ln \dfrac{5}{4} \]

\( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer, så de to opphever hverandre: \[ e^s = e^{\ln(5/4)} = \dfrac{5}{4} \]

Vi finner rekken til \( {\ln(1 + t)} \) fra en geometrisk rekke, deler på \( t \) og integrerer ledd for ledd. Så bruker vi forholdstesten og sjekker endepunktene.

1. Finn rekken til integranden Summen av en geometrisk rekke forteller oss at når \( {|q| < 1}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{1 - \textcolor{green}{q}} = 1 + \textcolor{green}{q} + \textcolor{green}{q}^2 + \textcolor{green}{q}^3 + \cdots \]Kravet \( {|q| < 1} \) forklarer videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{green}{q} = \textcolor{green}{-t}}\text{,} \) så for \( {|t| < 1} \) er: \[ \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots \]

Vi integrerer begge sider fra \( 0 \) til \( t\text{,} \) med \( s \) som integrasjonsvariabel, og deler på \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(1 + t) &= \int_0^t \dfrac{1}{1 + s}\,ds \\ &= t - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^4}{4} + \cdots \\ \dfrac{\ln(1 + t)}{t} &= 1 - \dfrac{t}{2} + \dfrac{t^2}{3} - \dfrac{t^3}{4} + \cdots \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer fra \( 0 \) til \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke: \[ \begin{aligned} F(x) &= x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^4}{16} + \cdots \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n^2} \end{aligned} \]

3. Bruk forholdstesten Forholdstesten forteller oss at rekken konvergerer når \( {k < 1} \) og divergerer når \( {k > 1}\text{,} \) der: \[ k = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \right| \]Se videoen Finn Konvergeringsradiusen / Konvergensradiusen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{blue}{(-1)^{n+1} \dfrac{x^n}{n^2}} \\ \textcolor{red}{a_{n+1}} &= \textcolor{red}{(-1)^{n+2} \dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)^2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} k &= \lim_{n \to \infty} \left| \textcolor{red}{\dfrac{(-1)^{n+2} x^{n+1}}{(n + 1)^2}} \, \textcolor{blue}{\dfrac{n^2}{(-1)^{n+1} x^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{(n + 1)^2} \cdot |x| \\ &= |x| \end{aligned} \]Rekken konvergerer altså for \( {|x| < 1} \) og divergerer for \( {|x| > 1}\text{.} \)

4. Sjekk endepunktene I endepunktene er \( {k = 1}\text{,} \) så der må vi sjekke hver for seg, som i videoen Oppgave 2b - Konvergeringsområdet - Prøveeksamen 2020 (BYPE 2000): \[ \begin{aligned} x = 1: \quad & \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} \\ x = -1: \quad & -\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} \end{aligned} \]

Absoluttverdien av leddene er i begge tilfeller \( \dfrac{1}{n^2}\text{.} \) Dette er en p-rekke med \( {p = 2 > 1}\text{,} \) som konvergerer, se videoen P-rekker Oppgave. Begge endepunktene er altså med.