Universitetseksamen etter tema

Vi deriverer, faktoriserer \( f'(x) \) og leser av fortegnet. Symmetrien ser vi når vi skriver \( f \) som et kvadrat.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n x^{n-1} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 \\ &= 2(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) \end{aligned} \]

Vi prøver \( {x = 1} \) i parentesen: \[ 2 + 3 - 3 - 2 = 0 \]Altså er \( {(x - 1)} \) en faktor.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 3x - 2} \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 1) &= 2x^3 - 2x^2 \\ -(2x^3 - 2x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & 5x^2 & {}- 3x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 2x^2 = 5x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3x} \) og \( {-2}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5x} \\ \textcolor{magenta}{5x} \cdot (x - 1) &= 5x^2 - 5x \\ -(5x^2 - 5x) &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & 2x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-3x + 5x = 2x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-2}\text{.} \) Linja \( {2x - 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{2} \cdot (x - 1) &= 2x - 2 \\ -(2x - 2) &= \textcolor{blue}{-2x + 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \textcolor{blue}{{}+ 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x}} & {}- 2 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-2x}} & \textcolor{blue}{{}+ 2} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 2x \) strykes mot \( {-2x}\text{,} \) og \( {-2 + 2 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 \\ &= (x - 1)(2x^2 + 5x + 2) \end{aligned} \]

3. Faktoriser videre abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {2x^2 + 5x + 2} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{5} \pm \sqrt{\textcolor{red}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} = \dfrac{-5 \pm 3}{4} \]

Det gir \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x = -2}\text{.} \) Så faktoriserer vi, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ \begin{aligned} 2x^2 + 5x + 2 &= 2(x + 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \\ &= (x + 2)(2x + 1) \end{aligned} \]

Altså er: \[ f'(x) = 2(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{2x + 1})(\textcolor{green}{x - 1}) \]

4. Finn hvor funksjonen vokser og avtar Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, -0.5, 1], "labels": ["-2", "-\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2(x + 2)(2x + 1)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er positiv, vokser \( f\text{,} \) og der den er negativ, avtar \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{vokser: } &\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \text{ og } [1, \infty) \\ \text{avtar: } &(-\infty, -2] \text{ og } \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{aligned} \]

5. Finn største og minste verdi Når \( x \) vokser i begge retninger, vinner \( x^4 \) over de andre leddene: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty \]Så \( f \) har ingen største verdi.

Fra fortegnet ser vi at den minste verdien må ligge i \( {x = -2} \) eller \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} f(-2) &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0 \\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0 \end{aligned} \]Den minste verdien er altså \( 0\text{.} \)

6. Vis symmetrien Grafen er symmetrisk om \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) når punktene like langt til hver side har samme verdi, for alle \( t\text{:} \) \[ f\left(-\dfrac{1}{2} + t\right) = f\left(-\dfrac{1}{2} - t\right) \]

Siden \( f \) har minimum \( 0 \) i både \( {x = -2} \) og \( {x = 1}\text{,} \) er begge dobbeltrøtter. Vi prøver derfor kvadratet av \( {(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(x^2 + x - 2)^2 \\ &= x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4 \\ &= x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratet inne i parentesen: \[ f(x) = \left(\left(\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]

Med \( {x = -\dfrac{1}{2} + t} \) er \( {\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}} = \textcolor{red}{t}}\text{,} \) og med \( {x = -\dfrac{1}{2} - t} \) er det \( {\textcolor{red}{-t}}\text{.} \) Begge gir samme kvadrat: \[ f\left(-\dfrac{1}{2} \pm t\right) = \left(\textcolor{red}{t}^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]