Universitetseksamen etter tema

En funksjon som bare synker, tar aldri samme verdi to ganger, og da har den en invers. Vi viser det med den deriverte, og løser så for \( x\text{.} \)

1. Forklar hvorfor inversen finnes Vi deriverer med kjerneregelen. For \( e \) opphøyd i en kjerne forteller den oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^{-2}} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-2x^{-3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = e^{\textcolor{green}{x^{-2}}} \cdot (\textcolor{green}{-2x^{-3}}) = -\dfrac{2e^{x^{-2}}}{x^3} \]

For \( {x > 0} \) er både \( {e^{x^{-2}}} \) og \( x^3 \) positive, så: \[ f'(x) < 0 \quad \text{for } x > 0 \]\( f \) er altså strengt synkende. Da gir to ulike \( x \) alltid to ulike funksjonsverdier, og derfor har \( f \) en invers.

2. Løs for x Vi skriver \( {y = f(x)} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} y &= e^{x^{-2}} - 1 \\ y + 1 &= e^{x^{-2}} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} \ln(y + 1) &= x^{-2} = \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &= \dfrac{1}{\ln(y + 1)} \end{aligned} \]

Siden \( {x > 0}\text{,} \) velger vi den positive roten: \[ x = \dfrac{1}{\sqrt{\ln(y + 1)}} \]

3. Sjekk hvor inversen gjelder For \( {x > 0} \) er \( {x^{-2} > 0}\text{,} \) og da er: \[ e^{x^{-2}} > 1 \quad \Rightarrow \quad f(x) > 0 \]Verdiene til \( f \) er altså positive. Og alle positive tall blir nådd: for \( {y > 0} \) er \( {\ln(y + 1) > 0}\text{,} \) så \( x \) over er et positivt tall, og setter vi det inn, får vi: \[ f(x) = e^{\ln(y + 1)} - 1 = y \]Inversen er derfor definert for alle \( {x > 0}\text{.} \)

Bytter vi navn på variablene, får vi: \[ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\ln(x + 1)}} \]