Universitetseksamen etter tema

Vannoverflaten er en sirkel, så vi trenger radien, og den får vi fra Pytagoras. Volumet er så summen av tynne sirkelskiver, altså integralet av arealet.

1. Finn radien til vannoverflaten Vi kaller radien til vannoverflaten \( \textcolor{red}{r}\text{.} \) Midten av kula ligger \( 10 \) over bunnen, og vannflaten ligger \( x \) over bunnen. Det gir en rettvinklet trekant:

Pytagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{r}^2 + (10 - x)^2 = 10^2 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}^2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r}^2 &= 100 - (100 - 20x + x^2) \\ &= \textcolor{red}{20x - x^2} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi for \( {0 \le x \le 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = \pi\textcolor{red}{(20x - x^2)} \]

3. Sett opp og regn ut integralet En tynn skive med vann har volum areal ganger tykkelse, og volumet er summen av alle skivene, som i videoen Omdreiningslegeme x-akse. \( x \) er øvre grense, så vi kaller høyden i integralet for \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(x) &= \int_0^x \textcolor{blue}{A(t)}\,dt \\ &= \int_0^x \pi(20t - t^2)\,dt \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi\left[10t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^x \\ &= \pi\left(10x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right) \end{aligned} \]

Kontroll: Full skål, \( {x = 10}\text{,} \) gir \( {\pi\left(1000 - \dfrac{1000}{3}\right) = \dfrac{2000\pi}{3}}\text{,} \) som er volumet \( {\dfrac{2}{3}\pi \cdot 10^3} \) av en halvkule.

Vi finner hvor grafene møtes og tegner området. Aksen er \( {y = -1}\text{,} \) og området når ikke helt inn til den, så hver skive har et hull. Den nedre kanten bytter uttrykk i \( {x = 1}\text{,} \) så vi deler integralet der.

1. Finn hjørnene i området Grafene møtes der \( {f(x) = g(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 1 &= x^2 - 1 \\ 0 &= x^2 - x - 2 \\ 0 &= (x + 1)(x - 2) \end{aligned} \]

Det gir \( {x = -1} \) og \( {x = 2}\text{.} \) Så ser vi hvor grafene krysser linjen \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) = 0 &\Rightarrow x = -1 \\ g(x) = 0 &\Rightarrow x = -1 \text{ eller } x = 1 \end{aligned} \]

Hjørnene er altså \( {(-1, 0)}\text{,} \) \( (1, 0) \) og \( (2, 3)\text{.} \)

2. Skisser området Mellom \( {x = -1} \) og \( {x = 2} \) ligger \( f \) over \( g\text{,} \) for eksempel er: \[ f(0) = 1 > -1 = g(0) \]

Fra \( {x = -1} \) til \( {x = 1} \) er \( {g(x) \le 0}\text{,} \) så der er nedre kant linjen \( {y = 0}\text{.} \) Fra \( {x = 1} \) til \( {x = 2} \) er nedre kant grafen til \( g\text{.} \)

3. Sett opp volumet Volumformelen for en dreining om \( {x\text{-aksen,}} \) med hull i hver skive, forteller oss at: \[ V = \pi \int_a^b \left( \textcolor{red}{R(x)}^2 - \textcolor{blue}{r(x)}^2 \right) dx \]Her er \( \textcolor{red}{R} \) ytre og \( \textcolor{blue}{r} \) indre radius. Formelen uten hull ser du i videoen Omdreiningslegeme x-akse, og hullet trekker vi fra.

Aksen vår er \( {y = -1}\text{.} \) Vi flytter alt opp med \( 1\text{,} \) slik at aksen blir \( {x\text{-aksen,}} \) samme idé som i videoen Omdreining om x = 3. Den ytre radiusen blir: \[ \textcolor{red}{R(x)} = f(x) + 1 = \textcolor{red}{x + 2} \]

Den indre radiusen bytter uttrykk i \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 \le x \le 1\text{:} \ \ \textcolor{blue}{r(x)} &= 0 + 1 = \textcolor{blue}{1} \\ 1 \le x \le 2\text{:} \ \ \textcolor{blue}{r(x)} &= g(x) + 1 = \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, med én del på hver side av \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{V}{\pi} &= \int_{-1}^{1} \left( (\textcolor{red}{x + 2})^2 - \textcolor{blue}{1}^2 \right) dx \\ &\quad + \int_{1}^{2} \left( (\textcolor{red}{x + 2})^2 - (\textcolor{blue}{x^2})^2 \right) dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralene Vi ganger ut parentesen og integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Den første delen gir: \[ \begin{aligned} &\int_{-1}^{1} (x^2 + 4x + 3)\,dx \\ &= \left[\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x\right]_{-1}^{1} \\ &= \dfrac{16}{3} + \dfrac{4}{3} = \underline{\dfrac{20}{3}} \end{aligned} \]

Den andre delen gir: \[ \begin{aligned} &\int_{1}^{2} (x^2 + 4x + 4 - x^4)\,dx \\ &= \left[\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x - \dfrac{x^5}{5}\right]_{1}^{2} \\ &= \dfrac{7}{3} + 10 - \dfrac{31}{5} = \underline{\dfrac{92}{15}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left( \dfrac{100}{15} + \dfrac{92}{15} \right) \\ &= \pi \cdot \dfrac{192}{15} = \dfrac{64\pi}{5} \end{aligned} \]

Vi dreier om \( {y\text{-aksen}} \) og har grafene som funksjoner av \( x\text{.} \) Vi bruker derfor sylinderskallmetoden, med avstanden mellom grafene som høyde.

1. Skisser området Kurvene møtes der \( {x^3 = \sqrt{x}}\text{,} \) altså der \( {x^6 = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x(x^5 - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

For å se hvilken som ligger øverst, setter vi inn \( {x = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{64} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 \]\( \sqrt{x} \) ligger altså over \( x^3 \) mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{.} \)

2. Sett opp volumet Sylinderskallmetoden forteller oss at: \[ V = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{h(x)}\,dx \]Her er \( \textcolor{red}{x} \) radien til skallet og \( \textcolor{blue}{h(x)} \) høyden. Se videoen Omdreiningslegeme y-akse, der høyden er \( f(x)\text{.} \)

Her er høyden avstanden mellom grafene: \[ \textcolor{blue}{h(x)} = \textcolor{blue}{\sqrt{x} - x^3}, \quad a = 0, \quad b = 1 \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \int_0^1 \textcolor{red}{x}\left(\textcolor{blue}{\sqrt{x} - x^3}\right) dx \\ &= 2\pi \int_0^1 \left(x^{3/2} - x^4\right) dx \\ &= 2\pi \left[\dfrac{2}{5}x^{5/2} - \dfrac{1}{5}x^5\right]_0^1 \\ &= 2\pi \left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{5} \end{aligned} \]

Vi finner skjæringspunktene, skisserer området og bruker skallmetoden, der radius er avstanden til linjen \( {x = 1}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} x^2 + x + 1 &= 2 - x^2 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 3}{4} \\ x &= -1 \quad \vee \quad x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Skisser området Funksjonsverdiene i skjæringspunktene er: \[ \begin{aligned} f(-1) &= g(-1) = 1 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} \end{aligned} \]

Mellom skjæringspunktene ligger \( g \) øverst. Det ser vi i \( {x = 0}\text{:} \) \[ g(0) = 2 > 1 = f(0) \]

3. Sett opp volumet Skallmetoden forteller oss at: \[ V = 2\pi \int_a^b \textcolor{red}{r(x)} \cdot \textcolor{blue}{h(x)}\,dx \]Om \( {y\text{-aksen}} \) er radius \( x\text{,} \) som i videoen Omdreiningslegeme y-akse. Om en annen loddrett linje er radius avstanden til linjen, som i videoen Omdreining om x = 3.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \textcolor{red}{1 - x} \\ \textcolor{blue}{h(x)} &= g(x) - f(x) = \textcolor{blue}{1 - x - 2x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, med grensene fra skjæringspunktene, får vi: \[ \begin{aligned} V = 2\pi \int_{-1}^{1/2} &(\textcolor{red}{1 - x}) \\ &\cdot (\textcolor{blue}{1 - x - 2x^2})\,dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi ganger ut parentesene og integrerer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \int_{-1}^{1/2} (1 - 2x - x^2 + 2x^3)\,dx \\ &= 2\pi \left[ x - x^2 - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{2} \right]_{-1}^{1/2} \end{aligned} \]

Øvre grense gir: \[ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{23}{96} \]

Nedre grense gir: \[ -1 - 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{7}{6} \]

Trekker vi nedre fra øvre, får vi: \[ \begin{aligned} V &= 2\pi \left( \dfrac{23}{96} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) \right) \\ &= 2\pi \cdot \dfrac{135}{96} = \dfrac{45\pi}{16} \end{aligned} \]