Universitetseksamen etter tema

Alt her handler om når \( A \) har en invers. Vi begrunner det som stemmer, og finner et moteksempel til de andre.

1. Begrunn det riktige alternativet \( A \) er inverterbar nøyaktig når \( {\det(A) \neq 0}\text{.} \) Da kan vi gange \( {A\mathbf{x} = \mathbf{b}} \) med \( {A^{-1}} \) fra venstre, som i videoen Likningssystem med inversmatrise: \[ \textcolor{blue}{\mathbf{x}} = \textcolor{blue}{A^{-1}\mathbf{b}} \]

Dette er én bestemt vektor, så løsningen er entydig. Alternativ C stemmer.

2. Utelukk de andre A er feil av samme grunn: en inverterbar matrise har \( {\det(A) \neq 0}\text{.} \)

For B ser vi på et moteksempel der \( {\det(A) = 0}\text{,} \) men der vi likevel har løsninger: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]Her er for eksempel \( {x_1 = 1}\text{,} \) \( {x_2 = 0} \) en løsning.

For D og E tar vi \( {A = I}\text{.} \) Da har \( {I\mathbf{x} = \mathbf{0}} \) den entydige løsningen \( {\mathbf{x} = \mathbf{0}}\text{.} \)

Formelen står i oppgaven. Vi finner derfor \( {L + U} \) og \( {D^{-1}}\text{,} \) skriver om formelen til to enkle likninger og setter inn to ganger.

1. Finn matrisene i formelen Vi legger sammen \( L \) og \( U\text{:} \) \[ L + U = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

Den inverse til en diagonalmatrise har én delt på hvert tall på diagonalen: \[ \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{p} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{q} \end{bmatrix} \]Det følger av formelen i videoen Invers matrise med determinanter.

Her er \( {p = 4} \) og \( {q = 3}\text{,} \) så: \[ D^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \]

2. Skriv om formelen Vi ganger rad med kolonne, som i videoen Multiplikasjon: \[ (L + U)\begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_k \\ x_k \end{bmatrix} \]

Plugger vi dette inn i Jacobi-metoden, får vi: \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} &= D^{-1}\begin{bmatrix} 5 - y_k \\ 5 - x_k \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{5 - y_k}{4} \\ \dfrac{5 - x_k}{3} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

3. Gjør to iterasjoner Første iterasjon starter med \( {\textcolor{red}{x_0 = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y_0 = 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = \textcolor{red}{1} \\ y_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{2}}{3} = \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Andre iterasjon bruker disse verdiene: \[ \begin{aligned} x_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = 1 \\ y_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{1}}{3} = \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Vi finner egenverdiene med \( {\det(M - \lambda I) = 0} \) og egenvektorene med \( {(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}}\text{.} \) Så setter vi opp \( P \) og \( D \) og ganger ut.

1. Finn egenverdiene Vi setter determinanten lik \( 0\text{,} \) som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 &= 0 \\ (\lambda - 2)(\lambda - 5) &= 0 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}, \quad \textcolor{red}{\lambda_2 = 5} \]

2. Finn egenvektorene Vi setter inn hver egenverdi og løser for vektoren, som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?. Andre rad er et multiplum av første, så én likning er nok.

For \( {\textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = -b}\text{.} \) Vi velger \( {b = -1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\mathbf{v}_1} = \textcolor{blue}{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}} \]

For \( {\textcolor{red}{\lambda_2 = 5}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = 2b}\text{.} \) Vi velger \( {b = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\mathbf{v}_2} = \textcolor{red}{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}} \]Alle multipler av disse er også egenvektorer, så andre valg er like riktige.

3. Finn den inverse til P Egenvektorene er kolonnene i \( P\text{:} \) \[ P = \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \]

Formelen for den inverse forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{A} & \textcolor{red}{B} \\ \textcolor{blue}{C} & \textcolor{red}{E} \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{A}\textcolor{red}{E} - \textcolor{red}{B}\textcolor{blue}{C}}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{E} & -\textcolor{red}{B} \\ -\textcolor{blue}{C} & \textcolor{blue}{A} \end{bmatrix} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Invers matrise med determinanter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{C} &= \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{E} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, er nevneren: \[ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 3 \]

Da får vi: \[ \begin{aligned} P^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} & -\textcolor{red}{2} \\ -(\textcolor{blue}{-1}) & \textcolor{blue}{1} \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

4. Regn ut produktet Vi ganger først \( P \) med \( D\text{:} \) \[ \begin{aligned} PD &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & 0 \\ 0 & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Så ganger vi med \( {P^{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} PDP^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 12 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Vi får tilbake \( M\text{.} \) Det er akkurat det diagonalisering sier, som i videoen Intro diagonalisering.