Hopp til hovedinnholdet

Universitetseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra universitetseksamenene vi har lagt ut, foreløpig NTNU Matematikk 1. Velg område og tema, så henter vi oppgavene fra alle settene. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Område

Emne

logistisk vekst

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i NTNU Matematikk 1 om logistisk vekst

Oppgavene

TMA4100 konteeksamen 2024

Oppgave 7

Anta at mengden y=y(t) {y = y(t)} (målt i millioner tonn) skrei i Barentshavet tilfredsstiller
dy(t)dt=ky(t)(1−y(t)K)−h(t),(1) \dfrac{dy(t)}{dt} = ky(t) \left(1 - \dfrac{y(t)}{K}\right) - h(t)\text{,} \quad (1)
der vekstraten per år er k=0,12, {k = 0{,}12}\text{,} bærekapasiteten er K=16 {K = 16} (millioner tonn), og at en høster skrei gitt ved funksjonen h=h(t) {h = h(t)} (millioner tonn/år).

Oppgave 7i)

Anta at ved t=0 {t = 0} er y(0)=y0 {y(0) = y_0} (millioner tonn). Finn h(t) h(t) slik at populasjonen holder seg konstant lik y0 y_0 over tid.
Vis løsning på oppgave 7i
Svar
h(t)=0,12 y0(1−y016)‾‾ \underline{\underline{h(t) = 0{,}12\,y_0 \left(1 - \dfrac{y_0}{16}\right)}}
Når populasjonen holder seg konstant, endrer den seg ikke, så den deriverte er \( 0\text{.} \) Vi setter dette inn i (1) og løser for \( h(t)\text{.} \)
1. Sett inn konstant populasjon Vi setter inn en funksjon og dens deriverte i likningen, som i videoen Hva er diff ligninger. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y(t)} &= \textcolor{blue}{y_0} \\ \textcolor{red}{\dfrac{dy(t)}{dt}} &= \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i (1), får vi: \[ \textcolor{red}{0} = k\textcolor{blue}{y_0} \left(1 - \dfrac{\textcolor{blue}{y_0}}{K}\right) - h(t) \]
2. Løs for høstingen Vi flytter \( h(t) \) over og setter inn \( {k = 0{,}12} \) og \( {K = 16}\text{:} \) \[ h(t) = 0{,}12\,\textcolor{blue}{y_0} \left(1 - \dfrac{\textcolor{blue}{y_0}}{16}\right) \]
Høstingen er altså konstant over tid. Den er ikke negativ så lenge \( {0 \le y_0 \le 16}\text{.} \)

Oppgave 7ii)

Hvor stor bør y0 y_0 være for at en skal kunne høste maksimalt av populasjonen? Det er fremdeles en forutsetning at populasjonen holder seg konstant lik y0 y_0 over tid.
(Vink: Du trenger ikke å løse differensiallikning (1) for å løse oppgaven.)
Vis løsning på oppgave 7ii
Svar
y0 y_0 bør være 8 8 millioner tonn:
y0=8‾‾ \underline{\underline{y_0 = 8}}
Vi bruker uttrykket for høstingen fra i).
Høstingen er nå en funksjon av \( y_0\text{,} \) så vi deriverer den med hensyn på \( y_0 \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)
1. Skriv høstingen som en funksjon I i) fant vi høstingen, og vi ganger inn parentesen: \[ \begin{aligned} h(y_0) &= 0{,}12\,y_0 \left(1 - \dfrac{y_0}{16}\right) \\ &= 0{,}12\,y_0 - 0{,}0075\,y_0^2 \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \textcolor{red}{h'(y_0)} = \textcolor{red}{0{,}12 - 0{,}015\,y_0} \]
Vi setter den lik \( 0 \) og løser for \( y_0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}12 - 0{,}015\,y_0} &= 0 \\ y_0 &= \dfrac{0{,}12}{0{,}015} = 8 \end{aligned} \]
3. Sjekk at det er et maksimum Andrederiverttesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &h'(y_0) = 0 \text{ og } h''(y_0) < 0 \\ &\Rightarrow \ y_0 \text{ gir et toppunkt} \end{aligned} \]
Her er den dobbeltderiverte negativ, så \( {y_0 = 8} \) gir et toppunkt: \[ h''(y_0) = -0{,}015 < 0 \]
Høstingen er da, i millioner tonn per år: \[ h(8) = 0{,}12 \cdot 8 \cdot \left(1 - \dfrac{8}{16}\right) = 0{,}48 \]

TMA4100 ordinær eksamen 2022

Oppgave 6

Det har brutt ut en uhelbredelig sykdom i en avsidesliggende by med totalt 5000 innbyggere. Endringsraten for antallet smittede innbyggere i byen er proporsjonal (med proporsjonalitetskonstant a a ) med produktet av de som er smittet og de som ikke er smittet.
La S(t) S(t) være antallet innbyggere i byen som er smittet ved tid t t dager etter at smitten brøt ut.
Forklar hvorfor
dSdt=aS(5000−S) \dfrac{dS}{dt} = aS(5000 - S)
Ved utbruddet av sykdommen er det 250 innbyggere som har fått påvist smitte. Etter 7 dager er det 1250 innbyggere som har fått påvist smitte. Hvor mange dager vil det ta før 80 % av innbyggerne i byen er smittet?
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Avrundet til én desimal tar det:
t=7ln⁡76ln⁡193≈16,4 dager‾‾ \underline{\underline{t = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \approx 16{,}4\ \text{dager}}}
Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)
1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]
2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]
Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]
\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]
3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]
Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]
Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]
Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]
4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]
\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]
5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]