Universitetseksamen etter tema

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]