Universitetseksamen etter tema

Vi ser at dette er konjugatsetningen, og bruker at \( {i^2 = -1}\text{.} \)

1. Gang ut parentesene Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{i}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ (\textcolor{blue}{i} + \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{i} - \textcolor{red}{1}) = \textcolor{blue}{i}^2 - \textcolor{red}{1}^2 \]

Fra definisjonen vet vi at \( {i^2 = -1}\text{,} \) så vi får: \[ i^2 - 1^2 = -1 - 1 = -2 \]

Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Multiplikasjon med Komplekse tall.

Vi ser at telleren kan skrives med nevneren som faktor. Da blir likningen \( {z^4 = i}\text{,} \) og den løser vi på polarform.

1. Vis at brøken er lik i Vi setter \( i \) utenfor i telleren, og bruker at \( {i^2 = -1}\text{.} \) Regner vi baklengs, får vi: \[ i(\textcolor{blue}{3i + 2}) = 3i^2 + 2i = 2i - 3 \]

Telleren er altså \( i \) ganget med nevneren. Dette gir oss: \[ \dfrac{2i - 3}{3i + 2} = \dfrac{i(\textcolor{blue}{3i + 2})}{\textcolor{blue}{3i + 2}} = i \]

2. Skriv likningen på polarform Vi deler begge sider av likningen på \( {3i + 2}\text{,} \) og får med resultatet over: \[ z^4 = \dfrac{2i - 3}{3i + 2} = i \]

Tallet \( i \) har lengde \( 1 \) og vinkel \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) En hel runde gir samme punkt, så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) som i videoen Polar Form / Eulers Formel: \[ z^4 = e^{\left(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right)i} \]

3. Finn de fire røttene Vi opphøyer begge sider i \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ z = e^{\left(\tfrac{\pi}{8} + \tfrac{\pi k}{2}\right)i} \]

Siden vi har \( z^4\text{,} \) velger vi fire verdier for \( k\text{,} \) som i videoen Oppgave 1 komplekse tall: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad z_0 &= e^{\tfrac{\pi}{8}i} \\ k = 1: \quad z_1 &= e^{\tfrac{5\pi}{8}i} \\ k = 2: \quad z_2 &= e^{\tfrac{9\pi}{8}i} \\ k = 3: \quad z_3 &= e^{\tfrac{13\pi}{8}i} \end{aligned} \]

4. Skisser løsningene Alle røttene har lengde \( 1\text{,} \) så de ligger på enhetssirkelen. Vinklene ligger \( \dfrac{\pi}{2} \) fra hverandre, så de danner hjørnene i et kvadrat.

Tallet opphøyes i tredje, og det er enklest på polarform. Vi skriver det derfor om til polarform og ganger vinkelen med \( 3\text{.} \)

1. Skriv tallet på polarform Eulers formel forteller oss at vi kan skrive et komplekst tall slik: \[ a + bi = \textcolor{red}{r}\,e^{\textcolor{blue}{\theta} i} \]Hvis du er usikker på polarform, kan du se videoen Polar Form / Eulers Formel.

Her er: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{1}{2} \\ b &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Lengden blir: \[ \textcolor{red}{r} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \textcolor{red}{1} \]

Tallet ligger i fjerde kvadrant, siden \( {a > 0} \) og \( {b < 0}\text{,} \) så vinkelen blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\theta} &= \tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) \\ &= \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \\ &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{3}} \end{aligned} \]

2. Opphøy i tredje Potensreglene gir \( {(re^{\theta i})^3 = r^3e^{3\theta i}}\text{,} \) så vinkelen ganges med \( 3\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3 &= \left(\textcolor{red}{1} \cdot e^{\textcolor{blue}{-\tfrac{\pi}{3}} i}\right)^3 \\ &= e^{-\pi i} \end{aligned} \]

Eulers formel gir verdien av dette: \[ \begin{aligned} e^{-\pi i} &= \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) \\ &= -1 + i \cdot 0 \\ &= -1 \end{aligned} \]