Universitetseksamen etter tema

Vi viser først at det finnes et nullpunkt, og at det bare er ett. Så viser vi at \( g \) trekker punktene nærmere hverandre med faktoren \( K\text{,} \) og det gir hvor mange iterasjoner vi trenger.

1. Vis at det er ett nullpunkt \( f \) er kontinuerlig, og fortegnet skifter mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 1 + 4 - 10 = -5 \\ f(2) &= 8 + 16 - 10 = 14 \end{aligned} \]Da sier skjærsetningen at det finnes et nullpunkt, som i videoen Skjærsetningen.

Den deriverte er positiv på \( [1, 2]\text{:} \) \[ f'(x) = 3x^2 + 8x > 0 \]\( f \) er voksende, så det er nøyaktig ett nullpunkt.

2. Skriv om likningen Vi setter \( x^2 \) utenfor på venstre side av \( {x^3 + 4x^2 = 10}\text{:} \) \[ x^2(x + 4) = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \dfrac{10}{4 + x} \]På \( [1, 2] \) er \( {x > 0}\text{,} \) så vi kan ta kvadratroten: \[ x = \sqrt{\dfrac{10}{4 + x}} = g(x) \]

3. Vis at g ligger mellom grensene Når \( x \) vokser, blir nevneren større, så \( g \) er synkende. Da ligger verdiene mellom endepunktene: \[ \begin{aligned} g(2) &\le g(x) \le g(1) \\ \sqrt{\dfrac{5}{3}} &\le g(x) \le \sqrt{2} \end{aligned} \]Siden \( {\sqrt{\dfrac{5}{3}} \ge 1} \) og \( {\sqrt{2} \le 2}\text{,} \) er \( {1 \le g(x) \le 2}\text{.} \)

4. Finn K Vi skriver \( {g(x) = \sqrt{10}\,(4 + x)^{-\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ g'(x) = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}(4 + x)^{-\tfrac{3}{2}} \]

\( |g'(x)| \) er størst når nevneren er minst, altså i \( {x = 1}\text{:} \) \[ |g'(x)| \le \dfrac{\sqrt{10}}{2 \cdot 5\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} < \dfrac{1}{5} \]Vi kan altså bruke \( {\textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{.} \)

5. Finn antall iterasjoner Middelverdisetningen forteller oss at det finnes en \( c \) mellom \( a \) og \( b \) slik at: \[ g(a) - g(b) = g'(c)(a - b) \]

Siden \( {|g'(c)| \le \textcolor{red}{K}}\text{,} \) \( {x_{n+1} = g(x_n)} \) og \( {r = g(r)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |x_{n+1} - r| &= |g(x_n) - g(r)| \\ &\le \textcolor{red}{K}|x_n - r| \end{aligned} \]

Gjør vi dette \( n \) ganger, får vi \( {|x_n - r| \le K^n|x_0 - r|}\text{.} \) Både \( x_0 \) og \( r \) ligger i \( [1, 2]\text{,} \) så \( {|x_0 - r| \le 1}\text{:} \) \[ |x_n - r| \le \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n \]

Vi må ha: \[ \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right)^n < 10^{-3} \quad \Rightarrow \quad 5^n > 1000 \]Her holder det med hoderegning: \( {5^4 = 625} \) og \( {5^5 = 3125}\text{.} \)

Formelen står i oppgaven. Vi finner derfor \( {L + U} \) og \( {D^{-1}}\text{,} \) skriver om formelen til to enkle likninger og setter inn to ganger.

1. Finn matrisene i formelen Vi legger sammen \( L \) og \( U\text{:} \) \[ L + U = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

Den inverse til en diagonalmatrise har én delt på hvert tall på diagonalen: \[ \begin{bmatrix} p & 0 \\ 0 & q \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{p} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{q} \end{bmatrix} \]Det følger av formelen i videoen Invers matrise med determinanter.

Her er \( {p = 4} \) og \( {q = 3}\text{,} \) så: \[ D^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \]

2. Skriv om formelen Vi ganger rad med kolonne, som i videoen Multiplikasjon: \[ (L + U)\begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_k \\ x_k \end{bmatrix} \]

Plugger vi dette inn i Jacobi-metoden, får vi: \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} &= D^{-1}\begin{bmatrix} 5 - y_k \\ 5 - x_k \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{5 - y_k}{4} \\ \dfrac{5 - x_k}{3} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

3. Gjør to iterasjoner Første iterasjon starter med \( {\textcolor{red}{x_0 = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y_0 = 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = \textcolor{red}{1} \\ y_1 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{2}}{3} = \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Andre iterasjon bruker disse verdiene: \[ \begin{aligned} x_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{blue}{1}}{4} = 1 \\ y_2 &= \dfrac{5 - \textcolor{red}{1}}{3} = \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]