Universitetseksamen etter tema

Vi finner egenverdiene ved å sette \( {\det(M - \lambda I) = 0}\text{,} \) og egenvektorene ved å løse \( {(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}} \) for hver egenverdi.

1. Finn egenverdiene Vi tar determinanten og utvikler langs første rad, siden den har to nuller, som i videoen Eksempel 3x3 egenverdier egenvektorer: \[ M - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 4 - \lambda & -16 \\ 0 & -3 & 6 - \lambda \end{bmatrix} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\det(M - \lambda I) \\ &= (2 - \lambda)\big((4 - \lambda)(6 - \lambda) - 48\big) \\ &= (2 - \lambda)(\lambda^2 - 10\lambda - 24) \\ &= (2 - \lambda)(\lambda - 12)(\lambda + 2) \end{aligned} \]

Setter vi dette lik \( 0\text{,} \) får vi egenverdiene: \[ \textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}, \quad \textcolor{red}{\lambda_2 = 12}, \quad \textcolor{green}{\lambda_3 = -2} \]

2. Finn egenvektorene Vi setter inn hver egenverdi og Gauss-eliminerer, som i videoen Eksempel 3x3 egenverdier egenvektorer.

For \( {\textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -16 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_2 = v_3 = 0}\text{,} \) mens \( v_1 \) er fri: \[ \textcolor{blue}{\mathbf{v}_1} = t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

For \( {\textcolor{red}{\lambda_2 = 12}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -16 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_1 = 0} \) og \( {v_2 = -2v_3}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\mathbf{v}_2} = t\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

For \( {\textcolor{green}{\lambda_3 = -2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -16 \\ 0 & -3 & 8 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]Da er \( {v_1 = 0} \) og \( {3v_2 = 8v_3}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\mathbf{v}_3} = t\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad t \neq 0 \]

3. Forklar diagonaliserbarheten En \( 3 \times 3 \)-matrise er diagonaliserbar når den har tre lineært uavhengige egenvektorer. Da kan vi skrive \( {M = PDP^{-1}}\text{,} \) som i videoen Intro diagonalisering.

Egenvektorer til ulike egenverdier er alltid lineært uavhengige. \( M \) har tre ulike egenverdier, så \( M \) er diagonaliserbar.

Vi finner egenverdiene med \( {\det(M - \lambda I) = 0} \) og egenvektorene med \( {(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}}\text{.} \) Så setter vi opp \( P \) og \( D \) og ganger ut.

1. Finn egenverdiene Vi setter determinanten lik \( 0\text{,} \) som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 &= 0 \\ (\lambda - 2)(\lambda - 5) &= 0 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}, \quad \textcolor{red}{\lambda_2 = 5} \]

2. Finn egenvektorene Vi setter inn hver egenverdi og løser for vektoren, som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?. Andre rad er et multiplum av første, så én likning er nok.

For \( {\textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = -b}\text{.} \) Vi velger \( {b = -1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\mathbf{v}_1} = \textcolor{blue}{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}} \]

For \( {\textcolor{red}{\lambda_2 = 5}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = 2b}\text{.} \) Vi velger \( {b = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\mathbf{v}_2} = \textcolor{red}{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}} \]Alle multipler av disse er også egenvektorer, så andre valg er like riktige.

3. Finn den inverse til P Egenvektorene er kolonnene i \( P\text{:} \) \[ P = \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \]

Formelen for den inverse forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{A} & \textcolor{red}{B} \\ \textcolor{blue}{C} & \textcolor{red}{E} \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{A}\textcolor{red}{E} - \textcolor{red}{B}\textcolor{blue}{C}}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{E} & -\textcolor{red}{B} \\ -\textcolor{blue}{C} & \textcolor{blue}{A} \end{bmatrix} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Invers matrise med determinanter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{C} &= \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{E} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, er nevneren: \[ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 3 \]

Da får vi: \[ \begin{aligned} P^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} & -\textcolor{red}{2} \\ -(\textcolor{blue}{-1}) & \textcolor{blue}{1} \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

4. Regn ut produktet Vi ganger først \( P \) med \( D\text{:} \) \[ \begin{aligned} PD &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & 0 \\ 0 & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Så ganger vi med \( {P^{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} PDP^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 12 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Vi får tilbake \( M\text{.} \) Det er akkurat det diagonalisering sier, som i videoen Intro diagonalisering.