Universitetseksamen etter tema

Grenseverdien må være lik \( {f(0) = 2}\text{.} \) \( {\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)} \) har ingen grense i \( 0\text{,} \) men den er begrenset, så vi klemmer produktet mellom \( 0 \) og \( |\sin x|\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) hvis: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 2 \]At verdiene må stemme der funksjonen skifter uttrykk, ser du i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

For \( x \ne 0 \) er \( {f(x) = 2 + \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x)}\text{,} \) så vi må vise at: \[ \lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x) = 0 \]

2. Klem produktet Cosinus er aldri større enn \( 1 \) i absoluttverdi. Vi ganger med \( |\sin x| \) og får: \[ \begin{aligned} \left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| &\le 1 \\ 0 \le \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} &\le \textcolor{blue}{|\sin x|} \end{aligned} \]

Skviseteoremet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &g(x) \le \textcolor{red}{h(x)} \le \textcolor{blue}{k(x)} \text{ og } g, \textcolor{blue}{k} \to L \\ &\Rightarrow \ \textcolor{red}{h} \to L \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} g(x) &= 0 \\ \textcolor{red}{h(x)} &= \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} \\ \textcolor{blue}{k(x)} &= \textcolor{blue}{|\sin x|} \\ L &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( \textcolor{blue}{|\sin x|} \to 0 \) når \( x \to 0\text{,} \) gir det: \[ \lim_{x \to 0} \textcolor{red}{\left|\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin x\right|} = 0 \]

Derfor går også selve produktet mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\sin(x) = 0 \]

3. Sett sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 2 + 0 = 2 = f(0) \]

Vi skriver funksjonen uten absoluttverdi. Så sammenligner vi verdiene der den deriverte er \( 0\text{,} \) der grafen knekker og i endepunktene.

1. Skriv funksjonen uten absoluttverdi Absoluttverdien forteller oss at: \[ |a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]

\( {x^2 - 1} \) er negativ når \( {|x| < 1}\text{,} \) og da bytter den fortegn: \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{1 - x^2}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{x^2 - 1}, & 1 \le |x| \le \sqrt{2} \end{cases} \]

2. Finn kandidatene Potensregelen \( {(x^n)' = n x^{n-1}} \) gir den deriverte av hver del, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{-2x}, & |x| < 1 \\ \textcolor{blue}{2x}, & 1 < |x| < \sqrt{2} \end{cases} \]

\( {f'(x) = 0} \) bare i \( {x = 0}\text{.} \) I \( {x = \pm 1} \) skifter uttrykket, og i \( {x = \pm\sqrt{2}} \) slutter intervallet. Verdiene er: \[ \begin{aligned} f(\pm\sqrt{2}) &= |2 - 1| = 1 \\ f(\pm 1) &= |1 - 1| = 0 \\ f(0) &= |0 - 1| = 1 \end{aligned} \]

3. Klassifiser punktene Fortegnet til den deriverte viser hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} -\sqrt{2} < x < -1: \quad & \textcolor{blue}{2x} < 0 \\ -1 < x < 0: \quad & \textcolor{red}{-2x} > 0 \\ 0 < x < 1: \quad & \textcolor{red}{-2x} < 0 \\ 1 < x < \sqrt{2}: \quad & \textcolor{blue}{2x} > 0 \end{aligned} \]Grafen synker altså ned til \( {x = -1}\text{,} \) stiger til \( {x = 0}\text{,} \) synker til \( {x = 1} \) og stiger igjen. Da er \( {x = \pm 1} \) lokale minimum, og \( {x = 0} \) og endepunktene \( {x = \pm\sqrt{2}} \) lokale maksimum. Hva lokale og globale ekstremalpunkter er, ser du i videoen Hva er et kritisk punkt.

\( f \) er kontinuerlig på et lukket intervall, så største og minste verdi ligger blant kandidatene. Vi sammenligner verdiene over: \[ \begin{aligned} f(x) &\ge 0 = f(\pm 1) \\ f(x) &\le 1 = f(0) = f(\pm\sqrt{2}) \end{aligned} \]Minimumene og maksimumene er altså også globale.

4. Skisser grafen Vi tegner buen \( {\textcolor{red}{1 - x^2}} \) mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{x^2 - 1}} \) utenfor:

5. Undersøk knekken Den deriverte i et punkt er grensen av stigningstallet, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Her er \( {f(1) = 0}\text{.} \) Vi regner ut grensen fra hver side: \[ \begin{aligned} \lim_{h \to 0^-} \dfrac{\textcolor{red}{1 - (1 + h)^2}}{h} &= \lim_{h \to 0^-} (-2 - h) \\ &= -2 \\ \lim_{h \to 0^+} \dfrac{\textcolor{blue}{(1 + h)^2 - 1}}{h} &= \lim_{h \to 0^+} (2 + h) \\ &= 2 \end{aligned} \]Grensene er ulike, så \( f'(1) \) finnes ikke. Siden \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) gjelder det samme i \( {x = -1}\text{.} \)

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 2}\text{.} \) Vi finner derfor grensen fra hver side for seg, med det uttrykket som gjelder på den siden.

1. Finn grensen fra hver side Fra høyre er \( {x > 2}\text{,} \) så der gjelder \( x^2\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) og leser notasjonen som i videoen Grenseverdier: \[ \lim_{x \to 2+} f(x) = \lim_{x \to 2+} x^2 = \textcolor{red}{4} \]

Fra venstre er \( {x < 2}\text{,} \) så der gjelder \( x\text{:} \) \[ \lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2-} x = \textcolor{blue}{2} \]

2. Avgjør den tosidige grensen Den tosidige grensen finnes bare når grensene fra høyre og venstre er like: \[ \lim_{x \to 2+} f(x) = \lim_{x \to 2-} f(x) \]

Her er de ulike: \[ \textcolor{red}{4} \neq \textcolor{blue}{2} \]Dermed eksisterer ikke \( \lim_{x \to 2} f(x)\text{.} \)

3. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig Der funksjonen skifter uttrykk, må de to uttrykkene ha samme verdi for at den skal være kontinuerlig, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Vi setter inn \( {x = 2} \) i begge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{2} \\ x^2 &= 2^2 = \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]Grafen hopper altså i \( {x = 2}\text{,} \) så \( f \) er ikke kontinuerlig der. For alle andre \( x \) er den kontinuerlig, siden \( x \) og \( x^2 \) er det.

Grafen er \( \sqrt{x} \) speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Vi setter uttrykket inn i Newtons formel på hver side av \( 0 \) og ser hvor neste punkt havner.

1. Skisser grafen For \( {x \ge 0} \) er grafen vanlig \( \sqrt{x}\text{.} \) Siden \( {|-x| = |x|}\text{,} \) er \( {f(-x) = f(x)}\text{,} \) så venstre side er den samme grafen speilet om \( {y\text{-aksen.}} \) Noen punkter: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(\pm 1) &= 1 \\ f(\pm 4) &= 2 \end{aligned} \]

2. Skriv opp Newtons metode Newtons metode forteller oss at: \[ x_{n+1} = \textcolor{blue}{x_n} - \dfrac{\textcolor{red}{f(x_n)}}{\textcolor{green}{f'(x_n)}} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Newtons metode.

3. Regn ut steget for positive tall Vi skriver \( {\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}} \) og deriverer, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

For \( {x > 0} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{x}}}{\textcolor{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{\sqrt{x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} - 2x = -x \end{aligned} \]

4. Regn ut steget for negative tall For \( {x < 0} \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \left(\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{magenta}{k}}} \cdot \textcolor{magenta}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{-x}} \) og \( {\textcolor{magenta}{k'} = \textcolor{magenta}{-1}} \) er: \[ \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{\sqrt{-x}}, \quad \textcolor{green}{f'(x)} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}} \]

Plugger vi dette inn, får vi samme resultat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{x} - \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{-x}}}{\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\sqrt{-x}} \cdot \textcolor{green}{2\sqrt{-x}} \\ &= \textcolor{blue}{x} + 2(-x) = -x \end{aligned} \]

5. Konkluder Hvert steg bytter altså bare fortegn: \[ \begin{aligned} x_{n+1} &= -x_n \\ x_0, x_1, x_2, \ldots &= x_0,\ -x_0,\ x_0,\ \ldots \end{aligned} \]

Tangenten i \( x_0 \) skjærer \( {x\text{-aksen}} \) i \( {-x_0}\text{,} \) og tangenten der skjærer den i \( x_0 \) igjen:

Avstanden til nullpunktet er hele tiden \( |x_0|\text{,} \) så følgen nærmer seg aldri \( 0\text{.} \) Starter vi i \( {x_0 = 0}\text{,} \) går det heller ikke, siden \( f'(0) \) ikke finnes: grafen står loddrett der.