Universitetseksamen etter tema

\( g(4) \) er integralet fra \( 0 \) til \( 4\text{,} \) og det er arealet mellom grafen og \( {x\text{-aksen}} \) med fortegn. \( g'(4) \) får vi fra sammenhengen mellom integralet og den deriverte.

1. Regn ut g i fire Integralet er arealet over \( {x\text{-aksen}} \) minus arealet under, som i videoen Hva er integrasjon. Vi leser av grafen del for del: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\int_0^1 f(t)\,dt} &= -\dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{\int_1^2 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{\int_2^3 f(t)\,dt} &= 1 \cdot 2 = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\int_3^4 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \end{aligned} \]Den første biten er en trekant under aksen, så den teller negativt.

Slår vi dette sammen, får vi: \[ g(4) = \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{2} + \textcolor{darkorange}{1} = 3 \]

2. Regn ut den deriverte Analysens fundamentalteorem forteller oss at for en kontinuerlig \( f \) er: \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \]Videoen Løs integralligningen viser dette underveis.

Grafen henger sammen, så \( f \) er kontinuerlig. Her er \( {a = 0}\text{,} \) så \( {g'(x) = f(x)}\text{.} \) Grafen krysser \( {x\text{-aksen}} \) i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ g'(4) = f(4) = 0 \]