Universitetseksamen etter tema

Vi finner egenverdiene med \( {\det(M - \lambda I) = 0} \) og egenvektorene med \( {(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}}\text{.} \) Så setter vi opp \( P \) og \( D \) og ganger ut.

1. Finn egenverdiene Vi setter determinanten lik \( 0\text{,} \) som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?: \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 &= 0 \\ (\lambda - 2)(\lambda - 5) &= 0 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}, \quad \textcolor{red}{\lambda_2 = 5} \]

2. Finn egenvektorene Vi setter inn hver egenverdi og løser for vektoren, som i videoen Hvordan regner vi ut egenverdier egenvektorer?. Andre rad er et multiplum av første, så én likning er nok.

For \( {\textcolor{blue}{\lambda_1 = 2}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = -b}\text{.} \) Vi velger \( {b = -1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\mathbf{v}_1} = \textcolor{blue}{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}} \]

For \( {\textcolor{red}{\lambda_2 = 5}} \) får vi: \[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]Det gir \( {a = 2b}\text{.} \) Vi velger \( {b = 1}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\mathbf{v}_2} = \textcolor{red}{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}} \]Alle multipler av disse er også egenvektorer, så andre valg er like riktige.

3. Finn den inverse til P Egenvektorene er kolonnene i \( P\text{:} \) \[ P = \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \]

Formelen for den inverse forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{A} & \textcolor{red}{B} \\ \textcolor{blue}{C} & \textcolor{red}{E} \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{\textcolor{blue}{A}\textcolor{red}{E} - \textcolor{red}{B}\textcolor{blue}{C}}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{E} & -\textcolor{red}{B} \\ -\textcolor{blue}{C} & \textcolor{blue}{A} \end{bmatrix} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Invers matrise med determinanter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{C} &= \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{red}{E} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, er nevneren: \[ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 3 \]

Da får vi: \[ \begin{aligned} P^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} & -\textcolor{red}{2} \\ -(\textcolor{blue}{-1}) & \textcolor{blue}{1} \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

4. Regn ut produktet Vi ganger først \( P \) med \( D\text{:} \) \[ \begin{aligned} PD &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & 0 \\ 0 & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Så ganger vi med \( {P^{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} PDP^{-1} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} \textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{10} \\ \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{red}{5} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 12 & 6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Vi får tilbake \( M\text{.} \) Det er akkurat det diagonalisering sier, som i videoen Intro diagonalisering.

Vi setter først inn tallene. For feilen skriver vi opp Taylors teorem for både \( {+h} \) og \( {-h}\text{,} \) og legger dem sammen, for da faller oddetallsleddene bort.

1. Regn ut tilnærmingen Vi regner ut de tre funksjonsverdiene med kalkulator, med seks desimaler så vi ikke runder av for tidlig: \[ \begin{aligned} f(1{,}1) &= \sqrt{1{,}1^3 + e^{1{,}1}} \approx 2{,}082106 \\ f(1) &= \sqrt{1 + e} \approx 1{,}928285 \\ f(0{,}9) &= \sqrt{0{,}9^3 + e^{0{,}9}} \approx 1{,}785666 \end{aligned} \]

Parentesen i approksimasjonen blir: \[ \begin{aligned} & f(1{,}1) - 2f(1) + f(0{,}9) \\ &\approx 2{,}082106 - 3{,}856570 + 1{,}785666 \\ &= 0{,}011202 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f''(1) \approx \dfrac{1}{0{,}1^2} \cdot 0{,}011202 \approx 1{,}120 \]

2. Skriv opp Taylor begge veier Taylors teorem står i oppgaven, og du ser hvor leddene kommer fra i videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2. Vi skriver det opp for \( h \) med \( \textcolor{red}{c_1} \) mellom \( x_0 \) og \( {x_0 + h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x_0 + h) = {} & f + hf' + \dfrac{h^2}{2}f'' \\ & + \dfrac{h^3}{6}f''' + \dfrac{h^4}{24}f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) \end{aligned} \]

Her står \( f\text{,} \) \( f'\text{,} \) \( f'' \) og \( f''' \) for verdiene i \( x_0\text{.} \) Så setter vi inn \( {-h}\text{,} \) med \( \textcolor{blue}{c_2} \) mellom \( {x_0 - h} \) og \( x_0\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x_0 - h) = {} & f - hf' + \dfrac{h^2}{2}f'' \\ & - \dfrac{h^3}{6}f''' + \dfrac{h^4}{24}f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2}) \end{aligned} \]

3. Legg sammen og finn feilen Legger vi sammen, faller leddene med \( h \) og \( h^3 \) bort: \[ \begin{aligned} & f(x_0 + h) + f(x_0 - h) \\ &= 2f + h^2f'' \\ &\quad + \dfrac{h^4}{24}\big(f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})\big) \end{aligned} \]

Vi kaller approksimasjonen \( \textcolor{green}{T}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{T} = \dfrac{f(x_0 + h) - 2f + f(x_0 - h)}{h^2} \]

Vi flytter \( 2f \) over og deler på \( h^2\text{.} \) Da står \( \textcolor{green}{T} \) minus \( f'' \) igjen, altså feilen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{green}{T} - f''(x_0) \\ &= \dfrac{h^2}{24}\big(f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})\big) \\ &= \dfrac{h^2}{12} \cdot \dfrac{f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})}{2} \end{aligned} \]

4. Bruk skjærsetningen Brøken til slutt er gjennomsnittet av to verdier til \( f^{(4)}\text{,} \) så den ligger mellom dem. \( f^{(4)} \) er kontinuerlig, så skjærsetningen forteller oss at den treffer gjennomsnittet i et punkt \( \xi \) mellom \( \textcolor{red}{c_1} \) og \( \textcolor{blue}{c_2}\text{,} \) som i videoen Skjærsetningen: \[ f^{(4)}(\xi) = \dfrac{f^{(4)}(\textcolor{red}{c_1}) + f^{(4)}(\textcolor{blue}{c_2})}{2} \]

Siden \( \textcolor{blue}{c_2} \) ligger til venstre for \( x_0 \) og \( \textcolor{red}{c_1} \) til høyre, er \( {\xi \in (x_0 - h, x_0 + h)}\text{.} \) Tar vi absoluttverdi, er feilen: \[ \left|\textcolor{green}{T} - f''(x_0)\right| = \dfrac{h^2}{12}\left|f^{(4)}(\xi)\right| \]

Integranden er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Så deriverer vi to ganger, finner en grense for \( |f''(x)| \) og setter den inn i feilformelen.

1. Regn ut integralet Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{blue}{v}\textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I = {} & \Big[\textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}})\Big]_0^2 \\ & - \int_0^2 (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \cdot \textcolor{red}{1}\,dx \\ = {} & \Big[-xe^{-x} - e^{-x}\Big]_0^2 \\ = {} & (-2e^{-2} - e^{-2}) - (0 - 1) \\ = {} & 1 - 3e^{-2} \end{aligned} \]

2. Deriver to ganger Produktregelen gir oss, som i videoen Produktregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)e^{-x} \end{aligned} \]

Vi bruker den en gang til, med \( {(e^{-x})' = -e^{-x}} \) fra kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) \\ &= (x - 2)e^{-x} \end{aligned} \]

3. Vis grensen for den andrederiverte For \( x \in [0, 2] \) er \( {x - 2 \le 0}\text{,} \) og vi kan skrive: \[ |f''(x)| = (2 - x)e^{-x} \]

Begge faktorene er størst i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le 2 - x &\le 2 \\ 0 < e^{-x} &\le 1 \end{aligned} \]

Ganger vi dem sammen, får vi: \[ |f''(x)| \le 2 \cdot 1 = 2 \]

4. Finn antall delintervaller Midtpunktmetoden er midt-Riemannsummen, som i videoen Riemann sum. Vi setter \( {\textcolor{green}{K = 2}} \) inn i feilgrensen og krever at den er mindre enn \( {10^{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2^3 \cdot \textcolor{green}{2}}{24n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ \dfrac{2}{3n^2} &< \dfrac{1}{100} \\ n^2 &> \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7 \end{aligned} \]

Vi prøver hele tall: \[ 8^2 = 64 < 66{,}7 < 81 = 9^2 \]Så det minste antallet delintervaller vi kan garantere det med, er \( {n = 9}\text{.} \) Alle større \( n \) går også.

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{,} \) så derivasjonsreglene hjelper ikke der. Vi bruker derfor definisjonen til den deriverte.

1. Sett opp definisjonen Definisjonen til den deriverte forteller oss at: \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er \( {a = 0}\text{,} \) \( {f(0) = 0} \) og \( {f(h) = h\cos\left(\dfrac{1}{h}\right)}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{h\cos\left(\dfrac{1}{h}\right) - 0}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{h}\right) \end{aligned} \]

2. Vis at grensen ikke finnes Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) vokser \( \dfrac{1}{h} \) uten grense, så cosinus fortsetter å svinge mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Det ser vi ved å la \( h \) gå mot \( 0 \) på to måter, med \( {k = 1, 2, 3, \dots} \)

Velger vi \( {\textcolor{red}{h = \dfrac{1}{2k\pi}}}\text{,} \) får vi: \[ \cos\left(\dfrac{1}{\textcolor{red}{h}}\right) = \cos(2k\pi) = \textcolor{red}{1} \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{h = \dfrac{1}{(2k + 1)\pi}}}\text{,} \) får vi: \[ \cos\left(\dfrac{1}{\textcolor{blue}{h}}\right) = \cos\big((2k + 1)\pi\big) = \textcolor{blue}{-1} \]

Begge valgene går mot \( 0 \) når \( k \) vokser, men de gir ulike verdier. Grensen finnes altså ikke, og \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi viser skrankene med induksjon, og at følgen vokser ved å se på forskjellen mellom kvadratene. En voksende følge med et tak konvergerer, og grensen finner vi fra formelen.

1. Vis skrankene med induksjon Vi bruker induksjon: Det stemmer for \( {n = 0}\text{,} \) og hvis det stemmer for én \( n\text{,} \) stemmer det for den neste.

For \( {n = 0} \) har vi: \[ 0 \le \sqrt{2} \le 2 \]

Anta nå at \( {0 \le \textcolor{red}{a_n} \le 2}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} 2 \le 2 + \textcolor{red}{a_n} &\le 4 \\ \sqrt{2} \le \sqrt{2 + \textcolor{red}{a_n}} &\le 2 \\ 0 \le \textcolor{blue}{a_{n+1}} &\le 2 \end{aligned} \]Så \( {0 \le a_n \le 2} \) for alle \( {n \ge 0}\text{.} \)

2. Vis at følgen vokser Begge leddene er positive, så det holder å sammenligne kvadratene. Vi bruker formelen og faktoriserer: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_{n+1}}^2 - \textcolor{red}{a_n}^2 &= 2 + \textcolor{red}{a_n} - \textcolor{red}{a_n}^2 \\ &= (2 - \textcolor{red}{a_n})(1 + \textcolor{red}{a_n}) \end{aligned} \]

Vi har nettopp vist at \( {0 \le \textcolor{red}{a_n} \le 2}\text{,} \) så begge faktorene er ikke-negative: \[ (2 - \textcolor{red}{a_n})(1 + \textcolor{red}{a_n}) \ge 0 \]Dermed er \( {\textcolor{blue}{a_{n+1}} \ge \textcolor{red}{a_n}} \) for alle \( {n \ge 0}\text{.} \)

3. Forklar hvorfor grensen finnes Følgen vokser hele tiden, men den kommer aldri over \( 2\text{:} \) \[ a_0 \le a_1 \le a_2 \le \dots \le 2 \]

Vi bruker en setning om følger: En voksende følge som er begrenset ovenfra, konvergerer. \[ \begin{aligned} & a_n \le a_{n+1} \text{ og } a_n \le M \text{ for alle } n \\ & \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} a_n \text{ eksisterer} \end{aligned} \]

Her er \( {M = 2}\text{,} \) så grensen eksisterer. Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

4. Finn grensen Vi kaller grensen \( \textcolor{green}{L}\text{.} \) Når \( n \to \infty\text{,} \) går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( \textcolor{green}{L}\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så vi kan sette inn i formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{L} &= \sqrt{2 + \textcolor{green}{L}} \\ \textcolor{green}{L}^2 &= 2 + \textcolor{green}{L} \\ \textcolor{green}{L}^2 - \textcolor{green}{L} - 2 &= 0 \\ (\textcolor{green}{L} - 2)(\textcolor{green}{L} + 1) &= 0 \end{aligned} \]

Dette gir \( {\textcolor{green}{L} = 2} \) eller \( {\textcolor{green}{L} = -1}\text{.} \) Siden \( {a_n \ge 0} \) for alle \( n\text{,} \) kan ikke grensen være negativ, så \( {\textcolor{green}{L} = 2}\text{.} \)

Vannoverflaten er en sirkel, så vi trenger radien, og den får vi fra Pytagoras. Volumet er så summen av tynne sirkelskiver, altså integralet av arealet.

1. Finn radien til vannoverflaten Vi kaller radien til vannoverflaten \( \textcolor{red}{r}\text{.} \) Midten av kula ligger \( 10 \) over bunnen, og vannflaten ligger \( x \) over bunnen. Det gir en rettvinklet trekant:

Pytagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{r}^2 + (10 - x)^2 = 10^2 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}^2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r}^2 &= 100 - (100 - 20x + x^2) \\ &= \textcolor{red}{20x - x^2} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi for \( {0 \le x \le 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{A(x)} = \pi\textcolor{red}{(20x - x^2)} \]

3. Sett opp og regn ut integralet En tynn skive med vann har volum areal ganger tykkelse, og volumet er summen av alle skivene, som i videoen Omdreiningslegeme x-akse. \( x \) er øvre grense, så vi kaller høyden i integralet for \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(x) &= \int_0^x \textcolor{blue}{A(t)}\,dt \\ &= \int_0^x \pi(20t - t^2)\,dt \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi\left[10t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_0^x \\ &= \pi\left(10x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right) \end{aligned} \]

Kontroll: Full skål, \( {x = 10}\text{,} \) gir \( {\pi\left(1000 - \dfrac{1000}{3}\right) = \dfrac{2000\pi}{3}}\text{,} \) som er volumet \( {\dfrac{2}{3}\pi \cdot 10^3} \) av en halvkule.

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi samler alt i én funksjon og bruker skjærsetningen. Vi skal altså ikke løse likningen, bare vise at det finnes en løsning.

1. Sett opp en ny funksjon Der grafene skjærer hverandre, er differansen \( 0\text{.} \) Vi kaller differansen \( h(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= \ln(x) - x^2 + 2 \end{aligned} \]

2. Bruk skjærsetningen Skjærsetningen forteller oss at hvis \( h \) er kontinuerlig på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}]\text{,} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &h(\textcolor{blue}{a}) \cdot h(\textcolor{red}{b}) < 0 \\ &\Rightarrow \ h(c) = 0 \text{ for en } c \in (\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på skjærsetningen, kan du se videoen Skjærsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Først sjekker vi at \( h \) er kontinuerlig: \[ \begin{aligned} \ln(x) &: \text{ kontinuerlig for } x > 0 \\ x^2 - 2 &: \text{ kontinuerlig for alle } x \\ h(x) &: \text{ kontinuerlig på } [1, 2] \end{aligned} \]

Så setter vi inn endepunktene: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) &= \ln 1 - 1 + 2 = 1 > 0 \\ h(\textcolor{red}{2}) &= \ln 2 - 4 + 2 = \ln 2 - 2 \end{aligned} \]

Den siste er negativ, siden \( {2 < e}\text{:} \) \[ \ln 2 < \ln e = 1 \quad \Rightarrow \quad \ln 2 - 2 < 0 \]

Fortegnet skifter, så skjærsetningen gir en \( c \in (1, 2) \) der: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{blue}{1}) \cdot h(\textcolor{red}{2}) &< 0 \\ h(c) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(c) &= g(c) \end{aligned} \]

Feilen i trapesmetoden har en øvre grense som bruker den andrederiverte. Uttrykket i oppgaven er nettopp \( |f''(x)|\text{,} \) så vi setter inn og løser for \( n\text{.} \)

1. Skriv opp feilformelen Selve metoden ser du i videoen Trapesmetoden. Feilformelen forteller oss at hvis \( {|f''(x)| \le \textcolor{red}{K}} \) på \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}]\text{,} \) så er: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{K}(\textcolor{blue}{b} - \textcolor{blue}{a})^3}{12n^2} \]

Her er \( {f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}}\text{,} \) og deriverer vi to ganger, får vi: \[ f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3} \]Det er uttrykket i oppgaven, så: \[ \textcolor{red}{K} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ |I - T_n| \le \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{2} - \textcolor{blue}{0})^3}{12n^2} = \dfrac{4}{3n^2} \]

2. Løs for n Feilen er garantert mindre enn \( {10^{-6}} \) når grensen er det: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{3n^2} &< 10^{-6} \\ n^2 &> \dfrac{4}{3} \cdot 10^6 \\ n &> \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot 10^3 \approx 1154{,}7 \end{aligned} \]

\( n \) er et helt tall, så det minste som holder, er: \[ n = 1155 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate og setter inn \( f(x)\text{.} \) Integralet løser vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate om \( {x\text{-aksen}} \) forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{f(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{red}{x^3} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \int_0^{2/3} 2\pi\, \textcolor{red}{x^3} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{3x^2})^2}\,dx \\ &= 2\pi \int_0^{2/3} x^3 \sqrt{1 + 9x^4}\,dx \end{aligned} \]

2. Bruk substitusjon Vi setter uttrykket under roten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 + 9x^4} \\ du &= 36x^3\,dx \\ x^3\,dx &= \dfrac{1}{36}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = \dfrac{2}{3} &\Rightarrow u = 1 + 9 \cdot \dfrac{16}{81} = \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{2\pi}{36} \int_1^{25/9} \sqrt{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{\pi}{18} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{25/9} \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \left(\dfrac{25}{9}\right)^{3/2} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \left( \dfrac{125}{27} - 1 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac{98}{27} = \dfrac{98\pi}{729} \end{aligned} \]

Vi setter punktet inn i likningen for å vise at det ligger på kurven. Stigningstallet finner vi med implisitt derivasjon, siden vi ikke får \( y \) alene.

1. Vis at punktet ligger på kurven Med \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}} \) er: \[ \begin{aligned} xy &= e \cdot e^{-1} = 1 \\ \dfrac{x}{y} &= \dfrac{e}{e^{-1}} = e^2 \end{aligned} \]

Vi setter inn på hver side: \[ \begin{aligned} \text{venstre} &= e^1 \ln(e^2) = 2e \\ \text{høyre} &= e + \dfrac{1}{e^{-1}} = e + e = 2e \end{aligned} \]Sidene er like, så punktet ligger på kurven.

2. Skriv om logaritmen Logaritmeregelen for en brøk gjør derivasjonen enklere, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y \]

Kurven er altså: \[ e^{xy}(\ln x - \ln y) = x + \dfrac{1}{y} \]

3. Deriver begge sider Vi deriverer med hensyn på \( x\text{.} \) Siden \( y \) er en funksjon av \( x\text{,} \) får hvert ledd med \( y \) en ekstra faktor \( y'\text{,} \) som i videoen Finn stigningstallet ved hjelp av Implisitt Derivasjon.

Venstre side er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{e^{xy}}} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{xy}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{g}})' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Det er regelen i videoen Kjerneregelen.

Kjernen er selv et produkt, så produktregelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g} &= \textcolor{green}{xy} \\ \textcolor{green}{g'} &= \textcolor{green}{1 \cdot y + x \cdot y'} = \textcolor{green}{y + xy'} \end{aligned} \]

Faktorene i venstre side er da: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{xy}} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^{xy}}(\textcolor{green}{y + xy'}) \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x - \ln y} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}} \end{aligned} \]

Høyre side deriverer vi ledd for ledd: \[ \left(x + \dfrac{1}{y}\right)' = 1 - \dfrac{y'}{y^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{e^{xy}(y + xy')}\textcolor{blue}{(\ln x - \ln y)} \\ &+ \textcolor{red}{e^{xy}}\textcolor{blue}{\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{y'}{y}\right)} \\ &= 1 - \dfrac{y'}{y^2} \end{aligned} \]

4. Sett inn punktet I punktet er \( {xy = 1}\text{,} \) \( {x = e} \) og \( {y = e^{-1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} e^{xy} &= e \\ \ln x - \ln y &= 1 - (-1) = 2 \\ \dfrac{y'}{y} &= e\,y' \\ \dfrac{y'}{y^2} &= e^2 y' \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &e(e^{-1} + e\,y') \cdot 2 + e(e^{-1} - e\,y') \\ &= 1 - e^2 y' \end{aligned} \]

Vi ganger ut og samler \( y' \) på én side: \[ \begin{aligned} 2 + 2e^2 y' + 1 - e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 3 + e^2 y' &= 1 - e^2 y' \\ 2e^2 y' &= -2 \\ y' &= -\dfrac{1}{e^2} \end{aligned} \]