Universitetseksamen etter tema

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]

Vi kaller avstanden langs stranda for \( x \) og skriver tiden som en funksjon av \( x\text{.} \) Så deriverer vi og sammenligner bunnen med endepunktene.

1. Sett opp tiden Vi lar \( x \) være avstanden fra punktet nærmest holmen til stedet båten treffer stranda, med \( {0 \le x \le 3}\text{.} \)

Pytagoras gir oss strekningen \( \textcolor{red}{s} \) vi ror, og resten, \( \textcolor{blue}{g}\text{,} \) går vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s}^2 &= 2^2 + x^2 \\ \textcolor{red}{s} &= \textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}} \\ \textcolor{blue}{g} &= \textcolor{blue}{3 - x} \end{aligned} \]

Tiden er strekning delt på fart, så tiden i timer er: \[ T(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}}}{3} + \dfrac{\textcolor{blue}{3 - x}}{5} \]

2. Deriver tiden Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sqrt{\textcolor{green}{u}})' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du kan se regelen i videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} T'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2x}}{3 \cdot 2\sqrt{\textcolor{green}{4 + x^2}}} - \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{x}{3\sqrt{4 + x^2}} - \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {T'(x) = 0} \) og ganger opp nevnerne: \[ 5x = 3\sqrt{4 + x^2} \]

Opphøyer vi begge sider i andre, får vi: \[ \begin{aligned} 25x^2 &= 9(4 + x^2) \\ 16x^2 &= 36 \\ x^2 &= \dfrac{9}{4} \end{aligned} \]

Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) får vi \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Den passer i likningen over, for begge sider blir \( \dfrac{15}{2}\text{.} \)

4. Sammenlign med endepunktene \( T \) er kontinuerlig på \( [0, 3]\text{,} \) så det globale minimumet ligger der \( {T' = 0} \) eller i et endepunkt. Du kan se forskjellen på globalt og lokalt i videoen Hva er et kritisk punkt.

Vi regner ut alle tre: \[ \begin{aligned} T(0) &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{19}{15} \\ T\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{5/2}{3} + \dfrac{3/2}{5} = \dfrac{17}{15} \\ T(3) &= \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{5\sqrt{13}}{15} \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( T(3) \) med \( \dfrac{17}{15}\text{:} \) \[ 5\sqrt{13} = \sqrt{325} > \sqrt{289} = 17 \]Altså er \( {T\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{17}{15}} \) minst.

5. Finn avstanden fra hytta Avstanden fra hytta er \( {3 - x}\text{:} \) \[ 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} \]

Tiden i minutter er: \[ \dfrac{17}{15} \cdot 60 = 68 \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate. Radien er avstanden fra grafen ned til aksen \( {y = -1}\text{,} \) så den blir \( {\cosh x + 1}\text{.} \)

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{r(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{r(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \cosh x - (-1) = \textcolor{red}{\cosh x + 1} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{\sinh x} \end{aligned} \]Den deriverte av \( \cosh x \) er \( \sinh x\text{,} \) og den deriverte av \( \sinh x \) er \( \cosh x\text{.} \)

Siden \( {\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} \) og \( {\cosh x > 0}\text{,} \) blir roten: \[ \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2 x}} = \cosh x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{\cosh x + 1}) \cosh x\,dx \\ &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{green}{\cosh^2 x} + \textcolor{darkorange}{\cosh x})\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{green}{\cosh^2 x}\text{:} \) med identiteten fra tipset får vi: \[ \textcolor{green}{\cosh^2 x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cosh 2x) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \textcolor{green}{\cosh^2 x}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 (1 + \cosh 2x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[x + \dfrac{1}{2}\sinh 2x\right]_0^1 \\ &= \underline{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2} \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{\cosh x}\text{:} \) siden \( {\sinh 0 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \int_0^1 \textcolor{darkorange}{\cosh x}\,dx = \Big[\sinh x\Big]_0^1 = \underline{\sinh 1} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2 + \sinh 1\right) \\ &= \pi + \dfrac{\pi}{2}\sinh 2 + 2\pi\sinh 1 \end{aligned} \]

En følge som vokser og aldri kommer over et tall, må konvergere. Vi viser begge deler, og finner grensen ved å la \( n \) vokse i formelen for følgen.

1. Vis at følgen er under tre Vi bruker induksjon: vi viser at påstanden stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den i så fall også stemmer for neste \( n\text{.} \)

Start: \[ a_1 = 1 < 3 \]

Antakelsen for en \( k \) er: \[ \textcolor{red}{a_k} < \textcolor{red}{3} \]

Da gir formelen for følgen: \[ a_{k+1} = \sqrt{6 + \textcolor{red}{a_k}} < \sqrt{6 + \textcolor{red}{3}} = 3 \]

Altså får vi, for alle \( {n \ge 1}\text{:} \) \[ a_n < 3 \]

2. Vis at følgen vokser Siden \( {a_1 = 1} \) og resten er kvadratrøtter, er alle leddene positive, så \( {0 < a_n < 3}\text{.} \) Vi ser på differansen mellom kvadratene: \[ \begin{aligned} a_{n+1}^2 - a_n^2 &= 6 + a_n - a_n^2 \\ &= (\textcolor{darkorange}{3 - a_n})(\textcolor{magenta}{2 + a_n}) \end{aligned} \]

Med \( {0 < a_n < 3} \) er begge faktorene positive: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{3 - a_n} &> 0 \\ \textcolor{magenta}{2 + a_n} &> 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {a_{n+1}^2 > a_n^2}\text{,} \) og siden leddene er positive: \[ a_n < a_{n+1} \]

3. Begrunn at følgen konvergerer Vi bruker denne regelen: \[ \begin{aligned} &\text{voksende og begrenset oppover} \\ &\Rightarrow \ \text{konvergerer} \end{aligned} \]Hva det betyr at en følge konvergerer, ser du i videoen Konvergens og divergens følger.

Her har vi: \[ a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < 3 \]Følgen konvergerer derfor.

4. Finn grenseverdien Når \( n \) vokser, går både \( a_n \) og \( {a_{n+1}} \) mot \( a\text{.} \) Kvadratroten er kontinuerlig, så formelen for følgen gir: \[ \begin{aligned} a &= \sqrt{6 + a} \\ a^2 &= 6 + a \\ a^2 - a - 6 &= 0 \end{aligned} \]

\( a \) er allerede tatt, så vi kaller konstantene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{-6} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \!\sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {a = 3} \) eller \( {a = -2}\text{.} \) Følgen vokser fra \( {a_1 = 1}\text{,} \) så grensen kan ikke være negativ: \[ a_n \ge a_1 = 1 \ \Rightarrow \ a \ge 1 \ \Rightarrow \ a = 3 \]

Vi deriverer, faktoriserer \( f'(x) \) og leser av fortegnet. Symmetrien ser vi når vi skriver \( f \) som et kvadrat.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n x^{n-1} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 \\ &= 2(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) \end{aligned} \]

Vi prøver \( {x = 1} \) i parentesen: \[ 2 + 3 - 3 - 2 = 0 \]Altså er \( {(x - 1)} \) en faktor.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 3x - 2} \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 1) &= 2x^3 - 2x^2 \\ -(2x^3 - 2x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & 5x^2 & {}- 3x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 2x^2 = 5x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3x} \) og \( {-2}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5x} \\ \textcolor{magenta}{5x} \cdot (x - 1) &= 5x^2 - 5x \\ -(5x^2 - 5x) &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & 2x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-3x + 5x = 2x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-2}\text{.} \) Linja \( {2x - 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{2} \cdot (x - 1) &= 2x - 2 \\ -(2x - 2) &= \textcolor{blue}{-2x + 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \textcolor{blue}{{}+ 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x}} & {}- 2 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-2x}} & \textcolor{blue}{{}+ 2} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 2x \) strykes mot \( {-2x}\text{,} \) og \( {-2 + 2 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 \\ &= (x - 1)(2x^2 + 5x + 2) \end{aligned} \]

3. Faktoriser videre abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {2x^2 + 5x + 2} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{5} \pm \sqrt{\textcolor{red}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} = \dfrac{-5 \pm 3}{4} \]

Det gir \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x = -2}\text{.} \) Så faktoriserer vi, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ \begin{aligned} 2x^2 + 5x + 2 &= 2(x + 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \\ &= (x + 2)(2x + 1) \end{aligned} \]

Altså er: \[ f'(x) = 2(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{2x + 1})(\textcolor{green}{x - 1}) \]

4. Finn hvor funksjonen vokser og avtar Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, -0.5, 1], "labels": ["-2", "-\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2(x + 2)(2x + 1)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er positiv, vokser \( f\text{,} \) og der den er negativ, avtar \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{vokser: } &\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \text{ og } [1, \infty) \\ \text{avtar: } &(-\infty, -2] \text{ og } \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{aligned} \]

5. Finn største og minste verdi Når \( x \) vokser i begge retninger, vinner \( x^4 \) over de andre leddene: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty \]Så \( f \) har ingen største verdi.

Fra fortegnet ser vi at den minste verdien må ligge i \( {x = -2} \) eller \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} f(-2) &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0 \\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0 \end{aligned} \]Den minste verdien er altså \( 0\text{.} \)

6. Vis symmetrien Grafen er symmetrisk om \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) når punktene like langt til hver side har samme verdi, for alle \( t\text{:} \) \[ f\left(-\dfrac{1}{2} + t\right) = f\left(-\dfrac{1}{2} - t\right) \]

Siden \( f \) har minimum \( 0 \) i både \( {x = -2} \) og \( {x = 1}\text{,} \) er begge dobbeltrøtter. Vi prøver derfor kvadratet av \( {(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(x^2 + x - 2)^2 \\ &= x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4 \\ &= x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratet inne i parentesen: \[ f(x) = \left(\left(\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]

Med \( {x = -\dfrac{1}{2} + t} \) er \( {\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}} = \textcolor{red}{t}}\text{,} \) og med \( {x = -\dfrac{1}{2} - t} \) er det \( {\textcolor{red}{-t}}\text{.} \) Begge gir samme kvadrat: \[ f\left(-\dfrac{1}{2} \pm t\right) = \left(\textcolor{red}{t}^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]