Eksamensoppgaver etter tema

Vi regner ut brøken på høyre side med \( {a = 1} \) og \( {b = 3}\text{,} \) og finner \( c \) der den deriverte er lik brøken.

1. Regn ut brøken Brøken \( {\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}} \) er stigningstallet til linja gjennom \( (a, f(a)) \) og \( (b, f(b))\text{,} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Vi regner ut funksjonsverdiene: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{1}) &= 1 + 3 + 1 = \textcolor{blue}{5} \\ f(\textcolor{red}{3}) &= 9 + 9 + 1 = \textcolor{red}{19} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \dfrac{f(\textcolor{red}{3}) - f(\textcolor{blue}{1})}{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{19} - \textcolor{blue}{5}}{2} = 7 \]

2. Finn c Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Vi setter \( {f'(c) = 7}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= 7 \\ 2c &= 4 \\ c &= 2 \end{aligned} \]Det ligger i \( \langle 1, 3 \rangle\text{,} \) som setningen sier.

Vi gjør det samme som i a), men med \( a \) og \( b \) som bokstaver.

Programmet regner ut brøken på høyre side og løser \( {f'(c) =} \) brøken, slik vi gjorde for hånd i a).

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon og noen regnelinjer.

1. Løs likningen for c Vi kaller brøken \( \textcolor{blue}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{m} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

I a) fant vi \( {f'(x) = 2x + 3}\text{.} \) Da gir \( {f'(c) = \textcolor{blue}{m}} \) at: \[ \begin{aligned} 2c + 3 &= \textcolor{blue}{m} \\ c &= \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2} \end{aligned} \]

2. Skriv programmet Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. I linje 4 og 5 gir vi verdier til \( a \) og \( b\text{.} \)

Linje 7 regner ut \( \textcolor{blue}{m}\text{,} \) linje 9 regner ut \( {c = \dfrac{\textcolor{blue}{m} - 3}{2}}\text{,} \) og linje 11 skriver ut \( c\text{.} \) Med \( {a = 1} \) og \( {b = 3} \) skriver programmet ut \( {c = 2}\text{,} \) som i a). Andre programmer er også riktige, for eksempel et som prøver seg fram med en løkke.

Vi bygger videre på programmet fra b).

Vi lar programmet regne ut \( c \) for flere par \( a \) og \( b\text{,} \) og ser etter et mønster.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig løkker som går gjennom flere verdier.

1. Kjør programmet for flere verdier Vi bytter ut linje 4 og 5 i programmet fra b) med en liste med fire par \( a \) og \( b\text{,} \) og en løkke som går gjennom dem, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

2. Se etter et mønster I hver linje ligger \( \textcolor{green}{c} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) for eksempel er \( {\dfrac{\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{8}}{2} = \textcolor{green}{5}} \) og \( {\dfrac{\textcolor{blue}{0{,}5} + \textcolor{red}{2}}{2} = \textcolor{green}{1{,}25}}\text{.} \) Sammenhengen er: \[ \textcolor{green}{c} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Påstanden gjelder alle andregradsfunksjoner, så vi regner med en generell andregradsfunksjon og ser om vi alltid får \( {c = 5}\text{.} \)

1. Skriv en generell andregradsfunksjon Bokstavene \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) er brukt, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} \quad \text{der } \textcolor{blue}{p} \neq 0 \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er \( {g'(x) = 2\textcolor{blue}{p}x + \textcolor{red}{q}}\text{.} \)

2. Regn ut brøken Med \( {a = 2} \) og \( {b = 8} \) er: \[ \begin{aligned} g(8) &= 64\textcolor{blue}{p} + 8\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \\ g(2) &= 4\textcolor{blue}{p} + 2\textcolor{red}{q} + \textcolor{green}{r} \end{aligned} \]

Konstantleddet \( \textcolor{green}{r} \) forsvinner når vi trekker fra, så brøken blir: \[ \dfrac{g(8) - g(2)}{8 - 2} = \dfrac{60\textcolor{blue}{p} + 6\textcolor{red}{q}}{6} = 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \]

3. Løs for c Vi setter \( g'(c) \) lik brøken: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{p}c + \textcolor{red}{q} &= 10\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q} \\ 2\textcolor{blue}{p}c &= 10\textcolor{blue}{p} \\ c &= 5 \end{aligned} \]Vi kan dele på \( 2\textcolor{blue}{p}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{blue}{p} \neq 0}\text{.} \) Vi får \( {c = 5} \) uansett hva \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r} \) er, så påstanden er riktig. Det passer med mønsteret i c), siden \( 5 \) er midt mellom \( 2 \) og \( 8\text{.} \)