Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

289 oppgaver · viser 11–20

Oppgavene

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 11

3 poeng

En bedrift produserer en vare. Kostnadene K(x) K(x) kroner ved produksjon av x x enheter av varen er gitt ved
K(x)=x2+b⋅x+20 000 K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000

Oppgave 11a)

Bestem K(0). K(0)\text{.} Hva forteller denne verdien om kostnadene ved produksjonen?
Vis løsning på oppgave 11a
Svar
Bedriften har faste kostnader på 20 000 20\,000 kroner:
K(0)=20 000‾‾ \underline{\underline{K(0) = 20\,000}}
\( K(0) \) er kostnadene når bedriften produserer \( 0 \) enheter. Vi setter inn \( {x = 0} \) og ser hva som blir igjen.
1. Sett inn null enheter Vi setter inn \( {x = 0}\text{.} \) Leddene med \( x \) blir \( 0\text{,} \) uansett hva \( b \) er: \[ \begin{aligned} K(0) &= \textcolor{blue}{0^2 + b \cdot 0} + \textcolor{red}{20\,000} \\ K(0) &= \textcolor{red}{20\,000} \end{aligned} \]
2. Tolk verdien Selv når bedriften ikke produserer noe, har den kostnader på \( \textcolor{red}{20\,000} \) kroner. Det er de faste kostnadene, for eksempel husleie og maskiner, som bedriften har uansett hvor mye den produserer.
Det koster 30 000 30\,000 kroner å produsere 50 enheter.

Oppgave 11b)

Bestem b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 11b
Svar
b=150‾‾ \underline{\underline{b = 150}}
At det koster \( 30\,000 \) kroner å produsere 50 enheter, betyr at \( {K(50) = 30\,000}\text{.} \) Det gir en likning der \( b \) er den eneste ukjente.
1. Sett opp likningen Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) i \( {K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000} \) og setter uttrykket lik \( 30\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{50}^2 + b \cdot \textcolor{blue}{50} + 20\,000 &= 30\,000 \\ 2500 + 50b + 20\,000 &= 30\,000 \end{aligned} \]
2. Løs likningen Vi trekker sammen tallene på venstre side, trekker fra \( 22\,500 \) på begge sider og deler med \( 50\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50b + 22\,500 &= 30\,000 \\ 50b &= 7500 \\ b &= 150 \end{aligned} \]
Kontroll: Med \( {b = 150} \) er leddene i \( K(50) \) lik \( 2500\text{,} \) \( {150 \cdot 50 = 7500} \) og \( 20\,000\text{,} \) som til sammen er \( 30\,000\text{.} \)

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 12

2 poeng

Lufttetthet er et mål på hvor mye luftmasse det er i et bestemt volum – altså hvor tettpakket luften er.
I tørr luft er sammenhengen mellom lufttettheten L, L\text{,} trykket p p og temperaturen T T gitt ved
L=p287⋅T L = \dfrac{p}{287 \cdot T}
Argumenter for om hver påstand nedenfor er sann eller usann.
Påstand 1 Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.
Påstand 2 Lufttetthet og temperatur er omvendt proporsjonale størrelser.
Vis løsning på oppgave 12

Svar

Påstand 2 gjelder bare når trykket er konstant:
Pa˚stand 1 er sann‾‾Pa˚stand 2 er usann‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Påstand 1 er sann}}} \\ &\underline{\underline{\text{Påstand 2 er usann}}} \end{aligned}
Før vi starter, må vi vite hva proporsjonal og omvendt proporsjonal betyr. Så skriver vi formelen om og ser om den har den formen påstanden sier.
1. Skriv opp hva det betyr To størrelser \( x \) og \( y \) er proporsjonale når forholdet mellom dem er fast, og omvendt proporsjonale når produktet er fast. Med et fast tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \text{Proporsjonale: } & y = k \cdot x \\ \text{Omvendt proporsjonale: } & x \cdot y = k \end{aligned} \]
2. Avgjør påstand 1 Når temperaturen \( T \) er konstant, er \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}} \) et fast tall. Vi skriver formelen som dette tallet ganget med \( p\text{:} \) \[ L = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}} \cdot p \]Det er formen \( {y = k \cdot x} \) med \( {k = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{287 \cdot T}}}\text{,} \) så påstand 1 er sann.
3. Avgjør påstand 2 Vi ganger lufttettheten med temperaturen, og \( \textcolor{darkorange}{T} \) forkortes bort: \[ L \cdot T = \dfrac{p}{287 \cdot \textcolor{darkorange}{T}} \cdot \textcolor{darkorange}{T} = \dfrac{\textcolor{red}{p}}{287} \]Produktet er fast bare hvis trykket \( \textcolor{red}{p} \) er fast, og det sier ikke påstanden noe om.
Dobler vi både trykket og temperaturen, blir lufttettheten den samme: \[ \dfrac{\textcolor{red}{2p}}{287 \cdot 2T} = \dfrac{p}{287 \cdot T} \]Var de omvendt proporsjonale, skulle dobbel temperatur gitt halv lufttetthet. Dette kalles et moteksempel, og påstand 2 er derfor usann.
Merk – Tolkning: Holder vi trykket konstant, er \( {L \cdot T = \dfrac{p}{287}} \) et fast tall, og da er påstanden sann. Påstand 1 har med betingelsen om konstant temperatur, men påstand 2 har ingen betingelse, så vi leser den som en påstand som skal gjelde generelt. Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1P vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 13

4 poeng

I 2026 består en fuglebestand av 20 000 20\,000 individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.

Oppgave 13a)

Gi en praktisk tolkning av modellene f f og g. g\text{.}
Vis løsning på oppgave 13a
Svar
Begge modellene starter på 20 000 20\,000 individer i 2026:
f: minker med 300 per a˚r‾‾g: minker med 1,6 % per a˚r‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f\text{: minker med 300 per år}}} \\ &\underline{\underline{g\text{: minker med } 1{,}6\,\% \text{ per år}}} \end{aligned}
Vi leser hva funksjonene i linje 3 til 7 regner ut. Modellen \( f \) trekker fra det samme antallet hvert år, mens \( g \) ganger med det samme tallet hvert år.
1. Tolk modellen f Linje 4 gir, der \( x \) er antall år etter 2026: \[ f(x) = \textcolor{blue}{20\,000} - \textcolor{red}{300} \cdot x \]Bestanden starter på \( \textcolor{blue}{20\,000} \) individer i 2026, og ifølge \( f \) minker den med \( \textcolor{red}{300} \) individer per år.
2. Tolk modellen g I Python betyr to stjerner etter hverandre «opphøyd i», så linje 7 gir: \[ g(x) = \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \textcolor{green}{0{,}984}^x \]Bestanden starter også på \( \textcolor{blue}{20\,000}\text{,} \) men hvert år ganges den med vekstfaktoren \( \textcolor{green}{0{,}984}\text{.} \)
Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{green}{0{,}984} = 1 - 0{,}016 = 1 - \dfrac{1{,}6}{100} \]Ifølge \( g \) minker bestanden med \( 1{,}6\,\% \) per år.

Oppgave 13b)

Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?
Vis løsning på oppgave 13b
Svar
Sofie vil finne det første året der f f gir færre individer enn g, g\text{,} med g(10) g(10) avrundet til hele individer:
x=10, altsa˚ i 2036‾‾f(10)=17 000 individer‾‾g(10)≈17 021 individer‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = 10\text{, altså i 2036}}} \\ &\underline{\underline{f(10) = 17\,000 \text{ individer}}} \\ &\underline{\underline{g(10) \approx 17\,021 \text{ individer}}} \end{aligned}
Vi bruker tolkningen av \( f \) og \( g \) fra a).
Programmet sammenligner de to modellene år for år i en løkke. Vi går gjennom det linje for linje og ser når løkka stopper, og hva som skrives ut.
1. Les hva løkka gjør Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 starter med \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{,} \) altså 2026. Linje 9 og 10 øker \( \textcolor{blue}{x} \) med \( 1 \) så lenge den lineære modellen \( \textcolor{red}{f} \) gir minst like mange individer som den eksponentielle modellen \( \textcolor{green}{g}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{f(x)} \ge \textcolor{green}{g(x)} \]
Løkka stopper første gang \( {\textcolor{red}{f(x)} < \textcolor{green}{g(x)}}\text{.} \) Sofie vil altså finne ut hvor mange år det tar før \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{.} \)
2. Tolk utskriften Linje 13 til 15 skriver ut \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) \( \textcolor{red}{f(x)} \) og \( \textcolor{green}{g(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{10} \\ \textcolor{red}{f(10)} &= \textcolor{red}{17\,000} \\ \textcolor{green}{g(10)} &\approx \textcolor{green}{17\,021} \end{aligned} \]
Første gang \( \textcolor{red}{f} \) gir færre individer enn \( \textcolor{green}{g}\text{,} \) er altså \( \textcolor{blue}{10} \) år etter 2026, i 2036. Da gir \( \textcolor{red}{f} \) \( \textcolor{red}{17\,000} \) individer og \( \textcolor{green}{g} \) omtrent \( \textcolor{green}{17\,021} \) individer, avrundet til hele individer.

1P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på x km/h, x\,\text{km/h}\text{,} slipper bilen ut U(x) U(x) gram CO₂ per kilometer, der U(x) U(x) er gitt ved
U(x)=5400x+0,0074x2+50,30<x<110 \begin{gathered} U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0{,}0074x^2 + 50, \\ 30 < x < 110 \end{gathered}

Oppgave 1a)

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på 50 km/h? 50\,\text{km/h}\text{?}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Ved 50 km/h 50\,\text{km/h} slipper bilen ut:
176,5 g CO2 per km‾‾ \underline{\underline{176{,}5 \text{ g CO}_2 \text{ per km}}}
Vi setter inn farten \( {x = 50} \) i formelen for \( U(x)\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 \\ U(50) &= 176{,}5 \end{aligned} \]Her er \( {0{,}0074 \cdot 2500 = 18{,}5}\text{.} \)

Oppgave 1b)

Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer? Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele km/h og én desimal:
Fart≈71 km/h‾‾Utslipp≈163,4 g CO2 per km‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Fart} \approx 71\,\text{km/h}}} \\ &\underline{\underline{\text{Utslipp} \approx 163{,}4\,\text{g CO}_2\text{ per km}}} \end{aligned}
Vi leter etter farten mellom \( 30 \) og \( 110\,\text{km/h} \) der \( U(x) \) er minst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.
Metode: Med kalkulator
1. Lag en grov verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hver tiende km/h med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{40}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{40}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{40}^2 + 50 \\ U(40) &= 135 + 11{,}84 + 50 = 196{,}84 \end{aligned} \]
Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 40 & 196{,}84 \\ 50 & 176{,}50 \\ 60 & 166{,}64 \\ \textcolor{red}{70} & \textcolor{red}{163{,}40} \\ 80 & 164{,}86 \\ 90 & 169{,}94 \\ 100 & 178{,}00 \end{array} \]Utslippet synker fram til \( \textcolor{red}{70\,\text{km/h}} \) og stiger etterpå, så det minste utslippet ligger mellom \( 60 \) og \( 80\,\text{km/h}\text{.} \)
2. Lag en finere tabell rundt 70 Vi regner ut \( U(x) \) for hver km/h rundt \( 70\text{,} \) med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 69 & 163{,}492 \\ 70 & 163{,}403 \\ \textcolor{red}{71} & \textcolor{red}{163{,}360} \\ 72 & 163{,}362 \\ 73 & 163{,}407 \end{array} \]Det minste utslippet er ved omtrent \( \textcolor{red}{71\,\text{km/h}}\text{,} \) og da er det omtrent \( \textcolor{red}{163{,}4} \) gram per kilometer.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn bunnpunktet på grafen Vi skriver inn funksjonen med definisjonsmengden og finner bunnpunktet mellom \( 30 \) og \( 110 \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 B = Min(U, 30, 110)
Bunnpunktet er \( {B \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Utslippet er minst ved omtrent \( 71\,\text{km/h}\text{,} \) og da er det omtrent \( 163{,}4 \) gram per kilometer.
Fru Hansen kjører med en fart på 90 km/h 90\,\text{km/h} i 20 minutter.

Oppgave 1c)

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til hele gram:
Omtrent 5098 g CO2‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5098 \text{ g CO}_2}}
Vi finner hvor langt bilen kjører på 20 minutter, og ganger strekningen med utslippet per kilometer ved \( 90\,\text{km/h}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{red}{30\,\text{km}} \]
2. Finn utslippet Ved \( \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \) er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{90}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{90}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{90}^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{green}{169{,}94} \end{aligned} \]
På \( \textcolor{red}{30} \) kilometer blir det: \[ \textcolor{green}{169{,}94}\,\text{g/km} \cdot \textcolor{red}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]

1P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra 4,25 % 4{,}25\,\% til 4 %. 4\,\%\text{.}

Oppgave 2a)

Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
0,25 prosentpoeng‾‾ \underline{\underline{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}}
Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosenttall. Vi trekker den nye renten fra den gamle.
Metode: For hånd
1. Trekk fra den nye renten Den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25\,\%}\text{,} \) og den nye er \( 4\,\%\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{4{,}25\,\%} - 4\,\% = \textcolor{red}{0{,}25} \text{ prosentpoeng} \]

Oppgave 2b)

Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til én desimal:
Satt ned med omtrent 5,9 %‾‾ \underline{\underline{\text{Satt ned med omtrent } 5{,}9\,\%}}
Nå skal vi finne hvor stor endringen er sammenlignet med den gamle renten. Vi deler endringen på den gamle renten.
Metode: For hånd
1. Del endringen på den gamle renten Hvor mange prosent noe endres med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Her er endringen \( {4{,}25 - 4 = \textcolor{red}{0{,}25}} \) prosentpoeng, og den gamle renten er \( \textcolor{blue}{4{,}25}\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0{,}25}}{\textcolor{blue}{4{,}25}} \cdot 100\,\% \approx 5{,}88\,\% \]

1P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

Vipa er en kritisk truet fugleart i Norge.
I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.
A˚rVipebestand(par)2013900020222500 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Vipebestand} \\ & \text{(par)} \\ \hline 2013 & 9000 \\ 2022 & 2500 \end{array}
Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.
La x x være antall år etter 2013.

Oppgave 3a)

Lag en modell f f som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Med stigningstallet avrundet til én desimal minker bestanden med omtrent 722 722 par per år og er borte etter omtrent 12,5 12{,}5 år:
f(x)≈−722,2x+9000‾‾ \underline{\underline{f(x) \approx -722{,}2x + 9000}}
Lineær nedgang betyr at bestanden minker med like mange par hvert år. Vi finner konstantleddet og stigningstallet fra de to målingene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn konstantleddet og stigningstallet En lineær modell har formen: \[ f(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]Her er \( \textcolor{blue}{b} \) verdien når \( {x = 0}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{a} \) er hvor mye \( f \) endrer seg når \( x \) øker med \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp fra to punkter.
I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{9000}}\text{.} \) Stigningstallet er endringen i bestanden delt på antall år fra 2013 til 2022: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \dfrac{2500 - 9000}{9 - 0} = \dfrac{-6500}{9} \\ \textcolor{red}{a} &\approx \textcolor{red}{-722{,}2} \end{aligned} \]
2. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ f(x) \approx \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} \]Ifølge modellen minker bestanden med omtrent \( 722 \) par hvert år.
Fortsetter nedgangen slik, er bestanden borte når \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{-722{,}2}x + \textcolor{blue}{9000} &= 0 \\ x &= \dfrac{\textcolor{blue}{9000}}{722{,}2} \approx 12{,}5 \end{aligned} \]Modellen sier at vipa er borte etter omtrent \( 12{,}5 \) år, altså mellom 2025 og 2026. Etter det gir den et negativt antall par, så den kan bare brukes fram til da.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellen med regresjon Vi lager en liste med de to punktene og bruker lineær regresjon, RegLin, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} f(x) = RegLin(l1)
GeoGebra gir \( {y \approx -722{,}2222x + 9000}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 722 \) par per år.

Oppgave 3b)

Lag en modell g g som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Med vekstfaktoren avrundet til fire desimaler minker bestanden med omtrent 13,3 % 13{,}3\,\% per år og nærmer seg 0: 0\text{:}
g(x)≈9000⋅0,8673x‾‾ \underline{\underline{g(x) \approx 9000 \cdot 0{,}8673^x}}
Eksponentiell nedgang betyr at bestanden minker med den samme prosenten hvert år. Vi finner vekstfaktoren fra de to målingene.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor. I 2013 er \( {x = 0}\text{,} \) så startverdien er \( \textcolor{blue}{9000}\text{:} \) \[ g(x) = \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]
I 2022 er \( {x = 9}\text{,} \) og bestanden er \( 2500 \) par. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{k}^9 = 2500 \]
2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{9000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{9}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^9 &= \dfrac{2500}{9000} \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{2500}{9000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}8673} \end{aligned} \]
3. Forklar hva modellen forteller Det gir modellen: \[ g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x \]Siden \( {\textcolor{red}{0{,}8673} = 1 - 0{,}1327}\text{,} \) minker bestanden med omtrent \( 13{,}3\,\% \) hvert år.
Fordi bestanden minker med en fast prosent, blir det færre par som forsvinner for hvert år. Ifølge modellen nærmer bestanden seg \( 0\text{,} \) men blir aldri helt borte.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellen med regresjon Vi bruker eksponentiell regresjon på de to punktene, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{,} \) der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 9000), (9, 2500)} g(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {g(x) \approx \textcolor{blue}{9000} \cdot \textcolor{red}{0{,}8673}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator, så bestanden minker med omtrent \( 13{,}3\,\% \) per år.
Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.
Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen p. p\text{.} Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen q. q\text{.} Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Oppgave 3c)

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen q. q\text{.} Bestem p(x) p(x) og q(x). q(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Bestanden stabiliserer seg på 2000 par, og delen over 2000 par minker med en fast prosent hvert år (vekstfaktoren avrundet til fire desimaler):
p(x)≈7000⋅0,7459x‾‾q(x)≈7000⋅0,7459x+2000‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{p(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x}} \\ &\underline{\underline{q(x) \approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000}} \end{aligned}
Vi sammenligner punktene på de to grafene og ser hvor grafen til \( q \) flater ut. Så finner vi \( p \) fra de to punktene på grafen, og \( q \) fra \( p\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av antakelsene Punktene på \( q \) ligger \( \textcolor{green}{2000} \) over punktene på \( p\text{:} \) \[ \begin{aligned} 7000 + \textcolor{green}{2000} &= 9000 \\ 500 + \textcolor{green}{2000} &= 2500 \end{aligned} \]Grafen til \( q \) er grafen til \( p \) flyttet \( \textcolor{green}{2000} \) opp, så \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \)
Egil antar altså at bestanden stabiliserer seg på \( \textcolor{green}{2000} \) par, der den stiplede linja ligger. Delen av bestanden over \( 2000 \) par minker med en fast prosent hvert år, slik \( p \) gjør, og modellen passer med \( 9000 \) par i 2013 og \( 2500 \) par i 2022.
2. Finn uttrykket for p Modellen \( p \) er eksponentiell og starter i \( 7000\text{,} \) så den er startverdien ganget med en vekstfaktor \( \textcolor{red}{c} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ p(x) = \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^x \]
Punktet \( (9, 500) \) gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{c}^9 = 500 \]
Vi deler med \( \textcolor{blue}{7000} \) på begge sider og tar niende rot med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{c}^9 &= \dfrac{500}{7000} \\ \textcolor{red}{c} &= \left(\dfrac{500}{7000}\right)^{1/9} \approx \textcolor{red}{0{,}7459} \end{aligned} \]
3. Skriv opp p og q Det gir: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x \\ q(x) &\approx \textcolor{blue}{7000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7459}^x + \textcolor{green}{2000} \end{aligned} \]Siden \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7459} = 0{,}2541}\text{,} \) minker delen over \( 2000 \) par med omtrent \( 25{,}4\,\% \) hvert år.
Metode: Med GeoGebra
1. Lag p og q med regresjon Som i kalkulatorruten er \( {q(x) = p(x) + \textcolor{green}{2000}}\text{.} \) Vi bruker eksponentiell regresjon på punktene til \( p\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, og legger til \( \textcolor{green}{2000}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l2 = {(0, 7000), (9, 500)} p(x) = RegEksp(l2) q(x) = p(x) + 2000
GeoGebra gir det samme som med kalkulator: \[ \begin{aligned} p(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x \\ q(x) &\approx 7000 \cdot 0{,}7459^x + 2000 \end{aligned} \]

1P vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

For å varme opp 1 liter vann 1 grad celsius kreves en energi på 4184 joule (J).
Når kaldt vann kommer inn i en varmtvannstank, er temperaturen omtrent 10 ∘C. 10\,^\circ\text{C}\text{.} I varmtvannstanken varmes vannet opp til 70 ∘C. 70\,^\circ\text{C}\text{.}

Oppgave 4a)

Vis at å varme opp 100 L 100\,\text{L} vann fra 10 ∘C 10\,^\circ\text{C} til 70 ∘C 70\,^\circ\text{C} krever en energi på 2,51⋅107 J. {2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Siden 4184⋅100⋅60=25 104 000, {4184 \cdot 100 \cdot 60 = 25\,104\,000}\text{,} er:
E≈2,51⋅107 J‾‾ \underline{\underline{E \approx 2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J}}}
Energien øker med både antall liter og antall grader vannet varmes opp. Vi ganger derfor energien per liter og grad med literne og med gradene.
Metode: For hånd
1. Gang sammen Det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad, så energien er: \[ E = \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \cdot \textcolor{green}{\text{liter}} \cdot \textcolor{red}{\text{grader}} \]
Her er det \( \textcolor{green}{100} \) liter, og vannet varmes opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{100} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 25\,104\,000\,\text{J} \end{aligned} \]
Vi skriver energien på standardform, som i videoen Hva er Standardform?, med to desimaler: \[ \begin{aligned} E &= 2{,}5104 \cdot 10^7\,\text{J} \\ E &\approx 2{,}51 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]
Når Martin dusjer, bruker han 15 liter vann per minutt. Vannet i dusjen er en blanding av varmt vann fra varmtvannstanken og kaldt vann med en temperatur på 10 ∘C. 10\,^\circ\text{C}\text{.} Vannet i dusjen har en temperatur på 40 ∘C. 40\,^\circ\text{C}\text{.}
Martin har funnet ut at han kan bruke formelen nedenfor til å finne ut hvor mange liter vann V V fra varmtvannstanken han bruker per minutt når temperaturen på vannet i dusjen er T ∘C T\,^\circ\text{C}
V=T−104 V = \dfrac{T - 10}{4}
En dag dusjer Martin i 10 minutter. Vannet i dusjen har en temperatur på 40 ∘C. 40\,^\circ\text{C}\text{.}

Oppgave 4b)

Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
75 liter‾‾ \underline{\underline{75 \text{ liter}}}
Vi setter inn \( {T = 40} \) i formelen og finner liter per minutt. Så ganger vi med de 10 minuttene.
Metode: For hånd
1. Sett inn temperaturen Med \( {T = \textcolor{red}{40}} \) gir formelen: \[ V = \dfrac{\textcolor{red}{40} - 10}{4} = \dfrac{30}{4} = \textcolor{green}{7{,}5} \]Martin bruker \( \textcolor{green}{7{,}5} \) liter fra varmtvannstanken per minutt.
2. Gang med tiden På \( 10 \) minutter blir det: \[ \textcolor{green}{7{,}5}\,\text{L/min} \cdot 10\,\text{min} = \textcolor{green}{75\,\text{L}} \]

Oppgave 4c)

Hvor mye energi kreves for å varme opp vannet han bruker fra varmtvannstanken?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Energien er 18 828 000 J, 18\,828\,000\,\text{J}\text{,} på standardform med to desimaler:
E≈1,88⋅107 J‾‾ \underline{\underline{E \approx 1{,}88 \cdot 10^7\,\text{J}}}
Vi bruker de 75 literne fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vannet fra tanken er varmet opp fra 10 °C til 70 °C. Vi regner som i a), med 75 liter i stedet for 100.
Metode: For hånd
1. Regn ut energien I b) fant vi at Martin bruker \( \textcolor{green}{75} \) liter fra tanken. Hver liter er varmet opp \( {70 - 10 = \textcolor{red}{60}} \) grader, og det kreves \( \textcolor{blue}{4184}\,\text{J} \) for hver liter og hver grad: \[ \begin{aligned} E &= \textcolor{blue}{4184} \cdot \textcolor{green}{75} \cdot \textcolor{red}{60}\,\text{J} \\ E &= 18\,828\,000\,\text{J} \\ E &\approx 1{,}88 \cdot 10^7\,\text{J} \end{aligned} \]
Når vi betaler for den elektriske energien vi bruker, betaler vi per kilowattime (kWh).
1 kWh=3,6⋅106 J 1\,\text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\,\text{J}
En morgen var strømprisen 134 øre per kWh.

Oppgave 4d)

Hvor mye kostet det Martin å ta en dusj på 10 minutter denne morgenen?
Vis løsning på oppgave 4d
Svar
Avrundet til hele øre:
Omtrent 7,01 kroner‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 7{,}01 \text{ kroner}}}
Vi bruker energien fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi gjør om energien fra joule til kilowattimer, og ganger med prisen per kilowattime.
Metode: For hånd
1. Gjør om til kilowattimer I c) fant vi at energien er \( 18\,828\,000\,\text{J}\text{.} \) Siden \( {1\,\text{kWh} = 3\,600\,000\,\text{J}}\text{,} \) deler vi med \( 3\,600\,000\text{:} \) \[ \dfrac{18\,828\,000\,\text{J}}{3\,600\,000\,\text{J/kWh}} = \textcolor{blue}{5{,}23\,\text{kWh}} \]
2. Gang med prisen Strømmen koster \( \textcolor{red}{134} \) øre per kWh: \[ \begin{aligned} \text{Pris} &= \textcolor{blue}{5{,}23}\,\text{kWh} \cdot \textcolor{red}{134}\,\text{øre/kWh} \\ \text{Pris} &= 700{,}82\,\text{øre} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 7{,}01 \) kroner.

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Løs ulikheten
x2+7x+6≤0 x^2 + 7x + 6 \le 0
Vis løsning på oppgave 1

Svar

Ulikheten gjelder for
−6≤x≤−1‾‾ \underline{\underline{-6 \le x \le -1}}
Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer. Så ser vi i et fortegnsskjema hvor uttrykket er negativt eller \( 0\text{.} \)
1. Finn nullpunktene med abc-formelen Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]
Det gir nullpunktene: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-7 + 5}{2} = \textcolor{darkorange}{-1} \\ x_2 &= \dfrac{-7 - 5}{2} = \textcolor{magenta}{-6} \end{aligned} \]
2. Faktoriser uttrykket Med nullpunktene kan vi faktorisere uttrykket, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - \textcolor{darkorange}{x_1})(x - \textcolor{magenta}{x_2}) \]
Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{x_1} = \textcolor{darkorange}{-1}} \) og \( {\textcolor{magenta}{x_2} = \textcolor{magenta}{-6}}\text{.} \) Vi kaller venstre side \( P(x)\text{,} \) så ulikheten blir: \[ P(x) = (\textcolor{darkorange}{x + 1})(\textcolor{magenta}{x + 6}) \le 0 \]
3. Sett opp et fortegnsskjema Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{x + 1}} \) skifter fortegn i \( {x = -1}\text{,} \) og \( {\textcolor{magenta}{x + 6}} \) i \( {x = -6}\text{.} \) Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 6}", "expr": "x + 6"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 1)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)
Produktet er negativt mellom nullpunktene og \( 0 \) i dem. Ulikheten har \( {\le}\text{,} \) så nullpunktene er med: \[ -6 \le x \le -1 \]

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

4 poeng

Gitt likningssystemet
[−x2+4=yx−y=2] \left[ \begin{aligned} -x^2 + 4 &= y \\ x - y &= 2 \end{aligned} \right]

Oppgave 2a)

Løs likningssystemet ved regning.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Likningssystemet har to løsninger:
x=−3 og y=−5‾‾x=2 og y=0‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = -3 \text{ og } y = -5}} \\ &\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}} \end{aligned}
Den nederste likningen gir \( y \) uttrykt ved \( x\text{.} \) Vi setter det inn i den øverste, så får vi en andregradslikning med bare \( x\text{.} \)
1. Løs den nederste likningen for y Vi flytter \( y \) og \( 2 \) over i den nederste likningen: \[ \begin{aligned} x - y &= 2 \\ y &= \textcolor{darkorange}{x - 2} \end{aligned} \]
2. Sett inn i den øverste likningen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}} \) inn for \( y\text{,} \) som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ -x^2 + 4 = \textcolor{darkorange}{x - 2} \]
Vi samler alt på venstre side og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -x^2 - x + 6 &= 0 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 2} \) eller \( {x = -3}\text{.} \)
4. Finn y-verdiene Vi setter \( x \) inn i \( {y = \textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= 2: & y &= 2 - 2 = 0 \\ x &= -3: & y &= -3 - 2 = -5 \end{aligned} \]
Kontroll: Begge punktene passer i den øverste likningen: \( {-2^2 + 4 = -4 + 4 = 0} \) og \( {-(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Løs likningssystemet grafisk.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Grafene skjærer hverandre i (−3,−5) {(-3, -5)} og (2,0): (2, 0)\text{:}
x=−3 og y=−5‾‾x=2 og y=0‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = -3 \text{ og } y = -5}} \\ &\underline{\underline{x = 2 \text{ og } y = 0}} \end{aligned}
Vi skriver begge likningene på formen \( {y = \ldots}\text{,} \) tegner grafene i samme koordinatsystem og leser av skjæringspunktene.
1. Skriv likningene som funksjoner Den øverste likningen er en parabel. Den nederste skriver vi om til en rett linje ved å flytte \( y \) og \( 2 \) over: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-x^2 + 4} \\ y &= \textcolor{blue}{x - 2} \end{aligned} \]
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( y \) for noen verdier av \( x\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{red}{-x^2 + 4} & \textcolor{blue}{x - 2} \\ \hline -3 & -5 & -5 \\ -2 & 0 & -4 \\ -1 & 3 & -3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 1 \end{array} \]
3. Tegn grafene og les av Vi tegner punktene og trekker grafene gjennom dem. Parabelen har toppunktet \( (0, 4)\text{,} \) og linja har stigningstall \( 1\text{:} \)
Grafene skjærer hverandre i to punkter. Der har begge likningene samme \( x \) og \( y\text{,} \) så skjæringspunktene er løsningene: \[ (-3, -5) \quad \text{og} \quad (2, 0) \]Det ser vi i verditabellen også: for \( {x = -3} \) og \( {x = 2} \) gir de to uttrykkene samme verdi.

1T vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Løs likningen
2x3+3x2−18x+8=0 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Likningen har tre løsninger:
x=−4,x=12ellerx=2‾‾ \underline{\underline{x = -4, \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = 2}}
Dette er en tredjegradslikning. Vi prøver oss fram til én løsning, deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen som blir igjen.
1. Prøv små heltall Vi kaller venstre side \( P(x)\text{.} \) Dette er del 1, så en av løsningene er nok et lite heltall. Vi prøver oss fram, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} P(1) &= 2 + 3 - 18 + 8 = -5 \\ P(2) &= 16 + 12 - 36 + 8 = 0 \end{aligned} \]
Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ P(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{P(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 2} \) går divisjonen \( {P(x) : (x - 2)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.
2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 2)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.
Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 2) &= 2x^3 - 4x^2 \\ -(2x^3 - 4x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 4x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & 7x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 4x^2 = 7x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-18x} \) og \( 8\text{.} \)
Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{7x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{7x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{7x} \\ \textcolor{magenta}{7x} \cdot (x - 2) &= 7x^2 - 14x \\ -(7x^2 - 14x) &= \textcolor{magenta}{-7x^2 + 14x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 8 \end{array} \end{array} \]\( 7x^2 \) strykes mot \( {-7x^2}\text{,} \) \( {-18x + 14x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 8\text{.} \) Linja \( {-4x + 8} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.
Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 2) &= -4x + 8 \\ -(-4x + 8) &= \textcolor{blue}{4x - 8} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8) : (\textcolor{green}{x} - 2) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 7x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 18x & {}+ 8 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 4x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{7x^2}} & {}- 18x & {}+ 8 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-7x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 14x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 8 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 8} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {8 - 8 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 \\ &= (x - 2)(2x^2 + 7x - 4) \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( {x - 2} \) gir \( {x = 2}\text{,} \) og \( {2x^2 + 7x - 4 = 0} \) løser vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ x &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{-7 \pm 9}{4} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \) eller \( {x = \dfrac{-16}{4} = -4}\text{.} \)