Eksamensoppgaver etter tema

Det som er igjen av hver tablett, blir ganget med 0,9 for hvert døgn. Mengden rett etter en tablett er derfor en geometrisk rekke, og vi finner hvor stor summen kan bli.

1. Sett opp mengden som en rekke Når 10 prosent brytes ned, er 90 prosent igjen, så vekstfaktoren per døgn er \( \textcolor{red}{0{,}9}\text{.} \) Rett etter tablett nummer \( n \) er den nye tabletten \( \textcolor{blue}{7} \) mg, det som er igjen av tabletten fra døgnet før, er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}} \) mg, og så videre: \[ \begin{aligned} S_n = \ &\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^2 \\ &+ \ldots + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^{n - 1} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{7}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \)

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Siden \( {-1 < 0{,}9 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{7}}{1 - \textcolor{red}{0{,}9}} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70 \]

3. Sammenlign med grensen Alle leddene er positive, så hver delsum \( S_n \) er mindre enn den uendelige summen: \[ S_n < S = 70 < 100 \]Rett etter en tablett er det altså alltid mindre enn 70 mg i kroppen, og mellom tablettene er det enda mindre. Legen har derfor rett.