Eksamensoppgaver etter tema

Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.

1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]

Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]

Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]

Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]

2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]

\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.