Eksamensoppgaver etter tema

Lånet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi bruker summeformelen og løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) og \( \textcolor{green}{30} \) terminer er lånet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \begin{aligned} 799\,273 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{\textcolor{green}{30}}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \) og \( {k = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Plugger vi inn \( a_1 \) og \( k\text{,} \) får vi: \[ 799\,273 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{1 - \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \]

Vi ganger teller og nevner i den siste brøken med \( \textcolor{blue}{1{,}05242}\text{,} \) og med renten \( {r = 0{,}05242} \) blir det: \[ 799\,273 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{0{,}05242} \]

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{799\,273 \cdot 0{,}05242}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 53\,436{,}90 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det 53 437 kr.

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Vi skriver inn \( \textcolor{red}{T} \) fra formelen over og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 799273*0.05242/(1 - 1.05242^(-30))

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,437 \) kr.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: terminbeløpet 53 437 kr står i oppgaveteksten i a).

Vi setter opp den samme likningen som i a), med 25 terminer og ukjent rente, og løser den med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}044} \) gir en nåverdi på omtrent \( 800\,595 \) kr og \( {r = 0{,}045} \) omtrent \( 792\,375 \) kr, så renten ligger mellom \( 4{,}4\,\% \) og \( 4{,}5\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi at lånet er nåverdien av terminbeløpene: \[ 799\,273 = 53\,437 \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]Nå er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{,} \) og renten \( \textcolor{blue}{r} \) er ukjent.

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, men med NLøs og en startverdi, fordi \( \textcolor{blue}{r} \) står både i en potens og i nevneren:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - (1 + r)^(-25))/r, r = 0.05)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0442}\text{,} \) altså omtrent \( 4{,}42\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet 53 437 kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mye Ole skylder etter 12 år. De økende terminbeløpene etterpå er en ny geometrisk rekke, og vi løser for antall terminer med \( \ln\text{.} \)

1. Finn restgjelden etter 12 år Etter 12 år har lånet vokst med renter, og hvert terminbeløp har også vokst med renter fra det ble betalt. Med \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) som vekstfaktor er restgjelden lånet minus de 12 terminbeløpene, en geometrisk rekke med summeformelen fra a): \[ \begin{aligned} R &= 799\,273 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} \\ &\quad - 53\,437 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} - 1}{0{,}05242} \\ &\approx 613\,010 \end{aligned} \]

2. Sett opp de økende terminbeløpene Fra år 13 er terminbeløpet \( {53\,437 \cdot \textcolor{red}{1{,}05}^{j}} \) i termin nummer \( j \) etter år 12. Restgjelden er nåverdien av dem, sett fra år 12: \[ R = \sum_{j=1}^{\textcolor{green}{m}} 53\,437 \cdot q^{j}, \quad q = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}05}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 53\,437q} \) og \( {k = q}\text{.} \) Summeformelen gir: \[ 53\,437q \cdot \dfrac{1 - q^{\textcolor{green}{m}}}{1 - q} = R \]

3. Løs for antall terminer Vi løser for \( q^{\textcolor{green}{m}} \) og bruker at: \[ \dfrac{1 - q}{q} = \dfrac{1{,}05242 - 1{,}05}{1{,}05} = \dfrac{0{,}00242}{1{,}05} \]

Det gir: \[ q^{\textcolor{green}{m}} = 1 - \dfrac{R \cdot 0{,}00242}{53\,437 \cdot 1{,}05} \approx 0{,}97356 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og løser for \( \textcolor{green}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\ln 0{,}97356}{\ln q} \approx 11{,}64 \]Etter 11 økte terminer er det litt igjen, så det trengs en 12. økt termin, men den blir mindre enn et fullt terminbeløp. Til sammen blir det \( {12 + 12 = 24} \) år.

1. Løs likningen i CAS Lånet er nåverdien av de 12 like terminbeløpene pluss nåverdien av de \( \textcolor{green}{m} \) økende:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - 1.05242^(-12))/0.05242 + Sum(53437*1.05^j/1.05242^(12 + j), j, 1, m), m = 10)

Rad 3 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 11{,}64}\text{,} \) så det trengs 12 økte terminer etter de 12 første, til sammen 24 år.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi summerer rekken og løser for terminbeløpet.

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) terminer er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} & k &= \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} \end{aligned} \]

Nevneren i summeformelen blir: \[ 1 - k = 1 - \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} = \dfrac{\textcolor{blue}{r}}{1 + \textcolor{blue}{r}} \]

Plugger vi dette inn, forkortes \( {1 + \textcolor{blue}{r}} \) bort, og vi får: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

3. Løs for terminbeløpet Her er lånet \( 2\,500\,000 \) kr, \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}055}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{2\,500\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{25}}} \\ &\approx \textcolor{red}{186\,373{,}38} \end{aligned} \]

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Med den samme formelen regner vi ut terminbeløpet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 2500000*0.055/(1 - 1.055^(-25))

Terminbeløpet er omtrent \( \textcolor{red}{186\,373} \) kr.

Vi bruker terminbeløpet og formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Restgjelden etter 5 år er nåverdien av de 20 terminene som er igjen. Vi legger til 500 000 kr og finner terminbeløpet for den nye gjelden over 20 år.

1. Finn restgjelden etter 5 år I a) fant vi formelen \[ \text{lån} = T \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]og terminbeløpet \( {T \approx 186\,373{,}38} \) kr.

Etter 5 terminer er det \( {25 - 5 = 20} \) terminer igjen. Restgjelden er nåverdien av dem, en geometrisk rekke vi summerer som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel: \[ \begin{aligned} R &= \textcolor{red}{186\,373{,}38} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}}{\textcolor{blue}{0{,}055}} \\ &\approx 2\,227\,233{,}18 \end{aligned} \]

2. Finn de nye terminbeløpene Den nye gjelden er: \[ \begin{aligned} & 2\,227\,233{,}18 + 500\,000 \\ &= 2\,727\,233{,}18 \end{aligned} \]Den skal betales ned på de samme 20 årene: \[ \begin{aligned} T_{\text{ny}} &= \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}} \\ &\approx 228\,213{,}05 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut restgjelden og så terminbeløpet for den nye gjelden, \( {2\,227\,233{,}18 + 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 186373.38*(1 - 1.055^(-20))/0.055 2727233.18*0.055/(1 - 1.055^(-20))

Rad 2 gir restgjelden \( 2\,227\,233{,}18 \) kr, og rad 3 gir de nye terminbeløpene, omtrent \( 228\,213 \) kr.

Vi bruker den nye gjelden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den nye gjelden er nåverdien av alle terminene på 200 000 kr. Vi løser likningen for antallet terminer ved å ta \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I b) fant vi den nye gjelden, \( 2\,727\,233{,}18 \) kr. Med \( \textcolor{green}{m} \) terminer på \( \textcolor{red}{200\,000} \) kr gir formelen fra a): \[ \begin{aligned} & 2\,727\,233{,}18 \\ &= \textcolor{red}{200\,000} \cdot \dfrac{1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}{0{,}055} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi ganger med \( 0{,}055 \) og deler på \( \textcolor{red}{200\,000}\text{.} \) På høyre side står da \( {1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}\text{,} \) og på venstre: \[ \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot 0{,}055}{\textcolor{red}{200\,000}} \approx 0{,}75 \]

Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og bruker at: \[ \ln a^x = x \ln a \]

Det gir: \[ \begin{aligned} 1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}75 \\ 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}25 \\ -\textcolor{green}{m} \cdot \ln 1{,}055 &\approx \ln 0{,}25 \\ \textcolor{green}{m} &\approx \dfrac{\ln 0{,}25}{-\ln 1{,}055} \approx 25{,}89 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Det trengs 25 hele terminer på 200 000 kr og en mindre termin til slutt, altså 26 terminer etter utvidelsen. Sammen med de 5 årene før utvidelsen blir nedbetalingstiden: \[ 5 + 26 = 31 \text{ år} \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) løser vi likningen for \( \textcolor{green}{m} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(2727233.18 = 200000*(1 - 1.055^(-m))/0.055, m = 25)

Rad 4 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 25{,}89}\text{,} \) altså 26 terminer etter utvidelsen og \( {5 + 26 = 31} \) år i alt.