Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen og setter inn grensene. Det gir en likning i \( x\text{,} \) som vi løser ved å faktorisere.

1. Integrer og sett inn grensene Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int a \cdot t^n\,dt = \dfrac{a}{n + 1} \cdot t^{n + 1} + C \]Den gjelder for \( {n \neq -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Den antideriverte til \( {3t^2 - 1} \) er derfor \( {t^3 - t}\text{.} \) Vi setter inn den øvre grensen \( \textcolor{blue}{x} \) og trekker fra den nedre grensen \( {\textcolor{red}{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \left(3t^2 - 1\right) dt \\ &= \Big[t^3 - t\Big]_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \\ &= \left(\textcolor{blue}{x}^3 - \textcolor{blue}{x}\right) - \left((\textcolor{red}{-1})^3 - (\textcolor{red}{-1})\right) \\ &= x^3 - x - 0 \end{aligned} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {x^3 - x = 0} \) og faktoriserer ut \( x\text{.} \) Konjugatsetningen \( {x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)} \) gir: \[ \begin{aligned} x^3 - x &= 0 \\ x\left(x^2 - 1\right) &= 0 \\ x(x - 1)(x + 1) &= 0 \end{aligned} \]Et produkt er 0 når en av faktorene er 0, så \( {x = 0}\text{,} \) \( {x = 1} \) eller \( {x = -1}\text{.} \) Oppgaven krever \( {x > -1}\text{,} \) så vi forkaster \( {x = -1}\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et bestemt integral er arealet over \( t \)-aksen minus arealet under. Er funksjonen en endring per tid, er integralet hvor mye størrelsen har endret seg til sammen.

1. Tolk integralet som areal Grafen til \( {3t^2 - 1} \) ligger under \( t \)-aksen mellom nullpunktene \( {t = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \) og over ellers. At integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er \( 0\text{,} \) betyr at \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) aksen er like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \)

2. Gi et eksempel La \( {3t^2 - 1} \) være hvor fort temperaturen \( T \) i et rom endrer seg, i grader per time, \( t \) timer etter klokka 12. Integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er da hvor mye temperaturen har endret seg fra klokka 11, som i videoen Hva er integrasjon: \[ T(x) - T(-1) = \int_{-1}^{x} \left(3t^2 - 1\right) dt \]

Fra b) er integralet \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{:} \) \[ T(0) = T(1) = T(-1) \]Temperaturen klokka 12 og klokka 13 er altså den samme som klokka 11. Økningen og nedgangen veier hverandre opp.