Eksamensoppgaver etter tema

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(x)\text{,} \) og enhetskostnaden er kostnaden per enhet, \( \dfrac{K(x)}{x}\text{.} \) Vi setter dem like og løser for \( x\text{.} \)

1. Finn grensekostnaden og enhetskostnaden Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}6x + 10} \]

Vi deler hvert ledd i \( K(x) \) på \( x \) og får \( \textcolor{blue}{\text{enhetskostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E(x)} = \dfrac{K(x)}{x} = \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \]

2. Sett dem like \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}6x + 10} &= \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \\ 0{,}3x &= \dfrac{3000}{x} \\ 0{,}3x^2 &= 3000 \\ x^2 &= 10\,000 \\ x &= \pm 100 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {x = -100}\text{,} \) fordi antall enheter ikke kan være negativt.

3. Tolk svaret For \( {x = 100} \) er begge kostnadene \( 70 \) kr: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(100)} &= 60 + 10 = 70 \\ \textcolor{blue}{E(100)} &= 30 + 10 + 30 = 70 \end{aligned} \]

Er grensekostnaden lavere enn enhetskostnaden, koster neste enhet mindre enn snittet, og snittet synker. Er den høyere, stiger snittet. Vi ser det også av den deriverte til \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E'(x)} = 0{,}3 - \dfrac{3000}{x^2} \]Den er negativ for \( {x < 100} \) og positiv for \( {x > 100}\text{,} \) så enhetskostnaden er lavest i \( {x = 100}\text{.} \)

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon, og vi finner toppunktet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Inntekten er \( {\textcolor{blue}{I(x) = 400x}}\text{.} \) Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{400x} \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{0{,}3x^2 + 10x + 3000}\right) \\ &= -0{,}3x^2 + 390x - 3000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} O'(x) = -0{,}6x + 390 &= 0 \\ 0{,}6x &= 390 \\ x &= 650 \end{aligned} \]\( O \) er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, så grafen vender nedover og \( {x = 650} \) gir toppunktet.