Eksamensoppgaver etter tema

Levetiden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi skriver «mer enn» som 1 minus «mindre enn eller lik». Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & P(X > 600) \\ &= 1 - P(X \le 600) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{600 - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}}\right) \\ &= 1 - P(Z \le 2) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) så: \[ P(X > 600) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Vi bruker tabellen baklengs: vi finner \( z \) der sannsynligheten i tabellen er \( {1 - 0{,}758}\text{,} \) og regner om fra \( z \) til timer.

1. Skriv om til mindre enn Tabellen gir sannsynligheter for «mindre enn eller lik», så vi skriver om: \[ \begin{aligned} P(X > t) &= 0{,}758 \\ P(X \le t) &= 1 - 0{,}758 = 0{,}242 \end{aligned} \]

2. Let opp verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}2420 \) inne i tabellen og leser av raden og kolonnen, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, bare baklengs. Tallet står på raden \( {-0{,}7} \) og i kolonnen \( 0{,}00\text{:} \) \[ P(Z \le -0{,}70) = 0{,}2420 \]

Når vi standardiserer, er: \[ z = \dfrac{t - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Her er \( {z = -0{,}70}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{t - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}} &= -0{,}70 \\ t &= \textcolor{blue}{500} - 0{,}70 \cdot \textcolor{red}{50} \\ t &= 465 \end{aligned} \]

Grafen til en normalfordeling har toppen i forventningen, og nesten alle verdiene ligger mindre enn tre standardavvik fra den.

1. Se hvor toppen er Toppen må være i forventningen, \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}}\text{.} \) B har toppen i 300 og C i 50, så de passer ikke. Både A og D har toppen i 500.

2. Se på spredningen Fra tabellen er \( {P(Z \le -3{,}00) = 0{,}0013}\text{,} \) så andelen som ligger mindre enn tre standardavvik fra forventningen, er: \[ \begin{aligned} P(-3 < Z < 3) &= 1 - 2 \cdot 0{,}0013 \\ &= 0{,}9974 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}} \) ligger altså nesten alle levetidene mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{500} - 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 350 \\ \textcolor{blue}{500} + 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 650 \end{aligned} \]Grafen i A er nesten null utenfor 350 til 650. Grafen i D ligger tydelig over \( x \)-aksen både ved 350 og ved 650, så den har et større standardavvik, som i videoen Varians og Standardavvik, der den bredeste grafen har størst spredning.

Lånebeløpet er lik summen av nåverdiene av de 36 terminbeløpene. Den summen er en geometrisk rekke, som vi løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Terminbeløpet \( T \) er det Anders betaler hver måned, som forklart i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, og i et annuitetslån er det like stort hver gang.

Med renten \( 0{,}49\,\% \) er vekstfaktoren \( 1{,}0049 \) per måned, så et terminbeløp som betales etter \( n \) måneder, er verdt \( \dfrac{T}{1{,}0049^n} \) i dag. Lånet er summen av disse nåverdiene: \[ \begin{aligned} 150\,000 = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{36}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{36}} \) ledd.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{n}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, med \( {\textcolor{blue}{k}^{\textcolor{green}{36}} = 1{,}0049^{-36}}\text{,} \) og ganger med \( 1{,}0049 \) over og under brøkstreken, får vi: \[ \begin{aligned} 150\,000 &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{T}{1{,}0049}}\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{36}}\right)}{1 - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{1{,}0049}}} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{1{,}0049 - 1} \\ &= \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-36}\right)}{0{,}0049} \end{aligned} \]

3. Løs for terminbeløpet Vi ganger med \( 0{,}0049 \) og deler på parentesen: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0049}{1 - 1{,}0049^{-36}} \\ &\approx 4555{,}14 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen av nåverdiene med Sum og løser for \( T \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(150000 = Sum(T/1.0049^k, k, 1, 36), T)

Rad 1 gir \( {T \approx 4555{,}14} \) kr.

Vi bruker terminbeløpet \( {T \approx 4555{,}14} \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Restlånet etter 24 terminer er nåverdien av de 12 terminbeløpene som er igjen. Vi regner det ut med summeformelen og sammenligner med 55 000 kr.

1. Sett opp restlånet Etter terminbeløp 24 er det \( {36 - 24 = \textcolor{green}{12}} \) terminer igjen. Restlånet er det banken skal ha i dag for dem, altså summen av nåverdiene deres: \[ \begin{aligned} R = \ &\dfrac{T}{1{,}0049} + \dfrac{T}{1{,}0049^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{T}{1{,}0049^{\textcolor{green}{12}}} \end{aligned} \]

I a) fant vi at summeformelen, som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, gjør en slik sum om til: \[ R = \dfrac{T\left(1 - 1{,}0049^{-\textcolor{green}{12}}\right)}{0{,}0049} \]

2. Regn ut og sammenlign Med \( {T \approx 4555{,}14} \) fra a) får vi: \[ \begin{aligned} R &= \dfrac{4555{,}14 \cdot \left(1 - 1{,}0049^{-12}\right)}{0{,}0049} \\ &\approx \textcolor{blue}{52\,960} \end{aligned} \]Restlånet er omtrent \( \textcolor{blue}{52\,960} \) kr, mindre enn \( \textcolor{red}{55\,000} \) kr. Utbetalingen var altså nok, og Anders har omtrent \( {55\,000 - 52\,960 = 2040} \) kr til overs.

1. Summer nåverdiene i CAS Vi legger sammen nåverdiene av de 12 siste terminbeløpene med Sum, med terminbeløpet fra a) med fire desimaler:

Skriv inn i GeoGebra: Sum(4555.1392/1.0049^k, k, 1, 12)

Rad 2 gir \( 52\,959{,}7863\text{.} \) Restlånet er omtrent \( 52\,960 \) kr, mindre enn \( 55\,000 \) kr, så utbetalingen var nok.

Tallene vokser sakte, så raskt og så saktere igjen, som en logistisk modell. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

Merk – Andre modeller: Oppgaven lar oss velge modell selv. En annen modell kan også være riktig når valget er begrunnet, men et polynom passer dårlig for årene etterpå, fordi det ikke flater ut.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år. Med to desimaler, og fire i eksponenten, er modellen: \[ F(x) \approx \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralene regner vi ut med en antiderivert av modellen. Summen og differansekvotienten regner vi ut ved å sette inn i modellen.

1. Finn en antiderivert I a) fant vi modellen, med konstantene avrundet som i svaret: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}} \]

Ganger vi med \( e^{0{,}7066x} \) over og under brøkstreken, får vi: \[ F(x) \approx \dfrac{660{,}36\,e^{0{,}7066x}}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \]

Telleren er en konstant ganger den deriverte av nevneren. Integrasjon med substitusjon forteller oss at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{\textcolor{green}{u}}\,dx = \ln \textcolor{green}{u} + C \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{0{,}7066\,e^{0{,}7066x}} \end{aligned} \]

Telleren er \( \dfrac{660{,}36}{0{,}7066} \) ganger \( \textcolor{green}{u'}\text{,} \) så en antiderivert er: \[ H(x) = \dfrac{660{,}36}{0{,}7066}\ln\left(\textcolor{green}{e^{0{,}7066x} + 30{,}72}\right) \]

2. Regn ut de fire tallene Integralene er differanser av \( H\text{:} \) \[ \begin{aligned} I &= H(10{,}5) - H(-0{,}5) \approx 3728{,}9 \\ G &= \dfrac{H(7{,}5) - H(2{,}5)}{5} \approx 344{,}5 \end{aligned} \]

\( S \) og \( D \) regner vi ut med \( F \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} S &= F(0) + F(1) + \ldots + F(10) \\ &\approx 3729{,}0 \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \approx 116{,}3 \end{aligned} \]

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

Det gir: \[ \begin{aligned} I &\approx 3728{,}74 & G &\approx 344{,}45 \\ S &\approx 3728{,}82 & D &\approx 116{,}31 \end{aligned} \]

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene \( F \) gir millioner kroner per år, så integralet av \( F \) over et tidsrom er det som ble brukt i det tidsrommet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( G \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( D \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

Når Marte tipper, er hvert svar riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi sjekker at \( X \) da er binomisk fordelt, og bruker formelen for \( {P(X = k)}\text{.} \)

1. Sjekk antagelsene \( X \) er binomisk fordelt når de fire punktene i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 holder. Det er antagelsene vi gjør: • To utfall for hvert glass: riktig eller galt svar. • Et fast antall forsøk: \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}} \) glass. • Samme sannsynlighet hver gang: \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}5}}\text{,} \) fordi hun tipper mellom to colatyper. • Uavhengige svar: det hun svarer på ett glass, påvirker ikke de andre.

2. Regn ut sannsynligheten Formelen for binomisk sannsynlighet er: \[ P(X = \textcolor{green}{k}) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{red}{p}^{\textcolor{green}{k}} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) og \( {\binom{10}{6} = 210} \) med nCr på kalkulatoren. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(X = \textcolor{green}{6}) &= \binom{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{4} \\ &= \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Med de samme antagelsene bruker vi FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}5} \) og \( {k = 6}\text{.} \) «false» gir \( {P(X = 6)} \) og ikke \( {P(X \le 6)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(10, 0.5, 6, false)

Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}205\text{.} \)

Den alternative hypotesen er det Marte påstår: at hun svarer riktig oftere enn når hun tipper. Vi regner ut sannsynligheten for minst 8 riktige hvis hun bare tipper.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at hun bare tipper, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være sannsynligheten for at Marte svarer riktig på et glass: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}5} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}5} \]Signifikansnivået er \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}5}\text{,} \) som i a). P-verdien er sannsynligheten for et resultat minst like godt som 8 riktige: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 8) \\ &= P(X = 8) + P(X = 9) \\ &\quad + P(X = 10) \\ &= \dfrac{\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}}{2^{10}} \\ &= \dfrac{45 + 10 + 1}{1024} \\ &= \dfrac{56}{1024} \approx 0{,}0547 \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10 - k} = \dfrac{1}{2^{10}}} \) for alle \( k\text{.} \)

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}0547 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med 10 glass er det ikke grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne colatypene, selv om 8 riktige er mye.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)}\text{.} \) «true» gir \( {P(X \le 7)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.5, 7, true)

P-verdien er omtrent \( 0{,}0547\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med 30 glass ser vi etter det minste antallet riktige \( m \) der sannsynligheten for minst \( m \) riktige ved tipping er under 0,05. Vi prøver oss fram.

1. Sett opp kravet til P-verdien I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}5 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}5 \]Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) nå binomisk fordelt med \( {n = 30} \) og \( {p = 0{,}5}\text{.} \) Marte overbeviser Birger hvis P-verdien \( {P(X \ge m)} \) er under 0,05. Ved tipping kan hun forvente 15 riktige, så vi prøver litt over det, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Prøv oss fram Som i b) er hvert ledd \( \binom{30}{k} \) delt på \( 2^{30}\text{.} \) Vi legger sammen binomialkoeffisientene med nCr på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 19) \\ &= \dfrac{\binom{30}{19} + \binom{30}{20} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{107\,636\,402}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{red}{0{,}1002} \\ & P(X \ge 20) \\ &= \dfrac{\binom{30}{20} + \binom{30}{21} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{53\,009\,102}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{green}{0{,}0494} \end{aligned} \]

3. Konkluder Med 19 riktige er P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, så \( H_0 \) forkastes ikke. Med 20 riktige er den \( \textcolor{green}{0{,}0494}\text{,} \) under 0,05, så da forkastes \( H_0\text{.} \) Med flere riktige blir P-verdien enda mindre.

1. Prøv oss fram i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {P(X \ge 19)} \) som 1 minus \( {P(X \le 18)}\text{,} \) og \( {P(X \ge 20)} \) som 1 minus \( {P(X \le 19)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 18, true) 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 19, true)

Rad 3 gir \( {P(X \ge 19) \approx 0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, og rad 4 gir \( {P(X \ge 20) \approx 0{,}0494}\text{,} \) under 0,05. Marte må altså ha minst 20 riktige.

Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.

1. Tilbud 1 Hver uke får hun \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]

2. Tilbud 2 Hver uke får hun \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det hun fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.

Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)

1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Formlene for ledd nummer \( n \) er: \[ \begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \\ b_n &= b_1 \cdot \textcolor{blue}{k}^{n - 1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {a_1 = b_1 = 100} \) får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse med algebra, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]

I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Etter det øker tilbud 2 med \( 5\,\% \) av over \( 373 \) kroner, altså mer enn \( 18 \) kroner i uka, mens tilbud 1 øker med \( 10\text{.} \) Tilbud 2 holder seg derfor foran.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)

Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)

Det hun har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.

1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. Med \( {a_1 = 100} \) og \( {a_n = 100 + 10(n - 1)} \) får vi for tilbud 1: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]

Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Med \( {b_1 = 100} \) og \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}05}} \) får vi for tilbud 2: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]

Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.

1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)

Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)

For hver av de 20 elevene trekker vi først en skole, og så en karakter fra normalfordelingen til den skolen. Vi legger sammen karakterene og deler på 20.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 lagrer forventningene og standardavvikene til skole A, B og C i to lister, på plass 0, 1 og 2. Linje 6 starter summen på 0, og løkka i linje 7 går én gang for hver av de 20 elevene.

Linje 8 trekker en tilfeldig skole: \( \texttt{randint(0, 3)} \) gir 0, 1 eller 2 med like stor sannsynlighet, på samme måte som terningen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 9 trekker en karakter fra normalfordelingen med forventningen og standardavviket til \( \textcolor{blue}{\texttt{skole}}\text{,} \) og linje 10 legger den til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)

2. Regn ut gjennomsnittet Etter løkka skriver linje 12 ut gjennomsnittet: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{x_1 + x_2 + \ldots + x_{20}}}{20} \]Hver kjøring gir et nytt tilfeldig gjennomsnitt, som regel mellom \( 3{,}2 \) og \( 4{,}3\text{.} \)

Vi bruker programmet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi gjør simuleringen fra a) mange ganger og teller hvor ofte snittet blir høyere enn 4. Andelen er et estimat for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Lag en funksjon av simuleringen Vi legger linje 6 til 12 fra a) inn i en funksjon, \( \texttt{snitt()}\text{,} \) som gir tilbake gjennomsnittet av 20 tilfeldige elever i stedet for å skrive det ut:

2. Tell og regn ut andelen Løkka i linje 16 gjør \( \textcolor{blue}{100\,000} \) forsøk, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang snittet er høyere enn 4, øker linje 18 telleren \( \textcolor{red}{\texttt{over\_4}} \) med 1. Linje 20 skriver ut andelen av forsøkene der snittet var over 4. Én kjøring ga \( \textcolor{red}{20\,635} \) slike snitt: \[ P(\bar{x} > 4) \approx \dfrac{\textcolor{red}{20\,635}}{\textcolor{blue}{100\,000}} = 0{,}20635 \]Med så mange forsøk varierer svaret lite fra kjøring til kjøring, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Kontroll: Forventningen til én elev er \( {\dfrac{3{,}8 + 3{,}4 + 4{,}1}{3} \approx 3{,}77}\text{,} \) under 4. Et snitt over 4 skal derfor skje i mindre enn halvparten av forsøkene, og det gjør det.