Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi ser på differansen mellom to ledd som kommer etter hverandre. Den viser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste.

1. Se på differansene Vi trekker hvert ledd fra det neste: \[ \begin{aligned} 2 - 1 &= 1 = \textcolor{red}{1^2} \\ 6 - 2 &= 4 = \textcolor{red}{2^2} \\ 15 - 6 &= 9 = \textcolor{red}{3^2} \\ 31 - 15 &= 16 = \textcolor{red}{4^2} \\ 56 - 31 &= 25 = \textcolor{red}{5^2} \end{aligned} \]Differansene er kvadrattallene.

2. Skriv opp formelen Fra ledd nummer \( n \) til ledd nummer \( {n + 1} \) legger vi til \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \) Med det første leddet \( {a_1 = 1} \) blir den rekursive formelen: \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n^2} \]For eksempel er \( {a_3 = a_2 + 2^2 = 2 + 4 = 6}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive formelen fra a), \( {a_1 = 1} \) og \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi lar en løkke gå \( 30 \) ganger. Hver gang legger vi leddet til summen, og regner så ut neste ledd med formelen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 setter det første leddet \( {\textcolor{blue}{a} = 1} \) og summen \( {\textcolor{red}{S} = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Løkka i linje 3 går for \( {n = 1, 2, \dots, 30}\text{.} \) Linje 4 legger ledd nummer \( n \) til \( \textcolor{red}{S}\text{,} \) og linje 5 regner ut neste ledd \( \textcolor{blue}{a} \) med formelen fra a), \( {\textcolor{blue}{a_{n+1}} = \textcolor{blue}{a_n} + n^2}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene I de tre første rundene legges \( 1\text{,} \) \( 2 \) og \( 6 \) til summen, så \( {S = 9}\text{,} \) og \( a \) blir \( 15\text{,} \) det fjerde leddet. Programmet skriver ut \( 67\,455\text{,} \) som er summen av de \( 30 \) første leddene.

Lånet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi bruker summeformelen og løser for terminbeløpet.

1. Skriv lånet som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) og \( \textcolor{green}{30} \) terminer er lånet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \begin{aligned} 799\,273 = \ &\dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^2} \\ &+ \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{\textcolor{green}{30}}} \end{aligned} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \) og \( {k = \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Plugger vi inn \( a_1 \) og \( k\text{,} \) får vi: \[ 799\,273 = \dfrac{\textcolor{red}{T}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{1 - \dfrac{1}{\textcolor{blue}{1{,}05242}}} \]

Vi ganger teller og nevner i den siste brøken med \( \textcolor{blue}{1{,}05242}\text{,} \) og med renten \( {r = 0{,}05242} \) blir det: \[ 799\,273 = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}}{0{,}05242} \]

3. Løs for terminbeløpet \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{799\,273 \cdot 0{,}05242}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05242}^{-\textcolor{green}{30}}} \\ &\approx 53\,436{,}90 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det 53 437 kr.

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Vi skriver inn \( \textcolor{red}{T} \) fra formelen over og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 799273*0.05242/(1 - 1.05242^(-30))

Terminbeløpet er omtrent \( 53\,437 \) kr.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: terminbeløpet 53 437 kr står i oppgaveteksten i a).

Vi setter opp den samme likningen som i a), med 25 terminer og ukjent rente, og løser den med NLøs.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen for renten kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {r = 0{,}044} \) gir en nåverdi på omtrent \( 800\,595 \) kr og \( {r = 0{,}045} \) omtrent \( 792\,375 \) kr, så renten ligger mellom \( 4{,}4\,\% \) og \( 4{,}5\,\%\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi at lånet er nåverdien av terminbeløpene: \[ 799\,273 = 53\,437 \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]Nå er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{,} \) og renten \( \textcolor{blue}{r} \) er ukjent.

2. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, men med NLøs og en startverdi, fordi \( \textcolor{blue}{r} \) står både i en potens og i nevneren:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - (1 + r)^(-25))/r, r = 0.05)

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{r} \approx 0{,}0442}\text{,} \) altså omtrent \( 4{,}42\,\%\text{.} \)

Vi bruker terminbeløpet 53 437 kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner hvor mye Ole skylder etter 12 år. De økende terminbeløpene etterpå er en ny geometrisk rekke, og vi løser for antall terminer med \( \ln\text{.} \)

1. Finn restgjelden etter 12 år Etter 12 år har lånet vokst med renter, og hvert terminbeløp har også vokst med renter fra det ble betalt. Med \( \textcolor{blue}{1{,}05242} \) som vekstfaktor er restgjelden lånet minus de 12 terminbeløpene, en geometrisk rekke med summeformelen fra a): \[ \begin{aligned} R &= 799\,273 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} \\ &\quad - 53\,437 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}05242}^{12} - 1}{0{,}05242} \\ &\approx 613\,010 \end{aligned} \]

2. Sett opp de økende terminbeløpene Fra år 13 er terminbeløpet \( {53\,437 \cdot \textcolor{red}{1{,}05}^{j}} \) i termin nummer \( j \) etter år 12. Restgjelden er nåverdien av dem, sett fra år 12: \[ R = \sum_{j=1}^{\textcolor{green}{m}} 53\,437 \cdot q^{j}, \quad q = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}05}}{\textcolor{blue}{1{,}05242}} \]Det er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 53\,437q} \) og \( {k = q}\text{.} \) Summeformelen gir: \[ 53\,437q \cdot \dfrac{1 - q^{\textcolor{green}{m}}}{1 - q} = R \]

3. Løs for antall terminer Vi løser for \( q^{\textcolor{green}{m}} \) og bruker at: \[ \dfrac{1 - q}{q} = \dfrac{1{,}05242 - 1{,}05}{1{,}05} = \dfrac{0{,}00242}{1{,}05} \]

Det gir: \[ q^{\textcolor{green}{m}} = 1 - \dfrac{R \cdot 0{,}00242}{53\,437 \cdot 1{,}05} \approx 0{,}97356 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og løser for \( \textcolor{green}{m}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\ln 0{,}97356}{\ln q} \approx 11{,}64 \]Etter 11 økte terminer er det litt igjen, så det trengs en 12. økt termin, men den blir mindre enn et fullt terminbeløp. Til sammen blir det \( {12 + 12 = 24} \) år.

1. Løs likningen i CAS Lånet er nåverdien av de 12 like terminbeløpene pluss nåverdien av de \( \textcolor{green}{m} \) økende:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(799273 = 53437*(1 - 1.05242^(-12))/0.05242 + Sum(53437*1.05^j/1.05242^(12 + j), j, 1, m), m = 10)

Rad 3 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 11{,}64}\text{,} \) så det trengs 12 økte terminer etter de 12 første, til sammen 24 år.

Vi setter \( {p = 30} \) inn i \( E(p)\text{.} \) Etterspørselen er hvor mange varer kundene vil kjøpe ved den prisen.

1. Sett inn prisen \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{30}) &= 300e^{-0{,}01 \cdot \textcolor{blue}{30}} \\ &= 300e^{-0{,}3} \approx 222{,}2 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Etterspørselen er antallet varer kundene vil kjøpe. Med prisen \( \textcolor{blue}{30} \) kr per vare vil de altså kjøpe omtrent 222 varer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( E \) i CAS og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(p) := 300*ℯ^(-0.01p) E(30)

Rad 2 gir \( {E(30) \approx 222{,}2}\text{.} \)

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Antallet er etterspørselen, \( {x = E(p)}\text{,} \) så vi løser for prisen \( p \) og ganger med \( x\text{.} \)

1. Løs for prisen Bedriften selger \( \textcolor{red}{x} \) enheter når prisen er \( \textcolor{blue}{p}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= 300e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \dfrac{\textcolor{red}{x}}{300} &= e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) &= -0{,}01\textcolor{blue}{p} \\ \textcolor{blue}{p} &= -100\ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) \end{aligned} \]Vi tok \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

2. Gang pris med antall Inntekten er pris ganger antall, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {-\ln\left(\dfrac{x}{300}\right) = \ln\left(\dfrac{300}{x}\right)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(x) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} \\ &= 100\textcolor{red}{x}\ln\left(\dfrac{300}{\textcolor{red}{x}}\right) \end{aligned} \]Prisen er positiv, så \( {0 < x < 300}\text{.} \)

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon, som gjelder for \( {\textcolor{blue}{n} \neq -1}\text{,} \) forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd, med \( {a = -1}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}} \) i \( {-x^3} \) og \( {a = 3}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1}} \) i \( 3x\text{:} \) \[ F(x) = -\dfrac{x^{\textcolor{blue}{4}}}{\textcolor{blue}{4}} + \dfrac{3x^{\textcolor{blue}{2}}}{\textcolor{blue}{2}} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 1 \) er \( {3 - x^2 > 0}\text{,} \) så \( f(x) \) har samme fortegn som \( x\text{.} \) Grafen ligger under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) og over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \) Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra \( 0 \) til \( 1 \) ligger grafen over aksen, og integralet er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}}\text{:} \) \[ \int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \]

Fra \( {-1} \) til \( 0 \) ligger grafen under aksen, så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) er minus integralet fra a). Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= -\int_{-1}^{0} f(x)\,dx + \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Løkka stopper første gang \( {S > 200}\text{,} \) altså når: \[ \begin{aligned} 2n^2 &> 200 \\ n^2 &> 100 \\ n &> 10 \end{aligned} \]Med \( {n = 10} \) er \( {S = 200}\text{,} \) som ikke er større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{.} \)

Vi gjør vekten \( X \) om til en standard normalfordelt \( Z\text{.} \) Tabellen i vedlegget gir hvilken \( z \) som hører til 5300 gram, og den gir oss \( \sigma\text{.} \)

1. Skriv om til «mindre eller lik» Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi bruker den motsatte hendelsen: \[ \begin{aligned} P(X \le 5300) &= 1 - P(X > 5300) \\ &= 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \end{aligned} \]

2. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\sigma} \) er det vi leter etter. Plugger vi inn \( {x = 5300}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P\left(Z \le \dfrac{5300 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) = 0{,}885 \end{aligned} \]

3. Les av tabellen og løs I tabellen over standard normalfordeling står: \[ P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849 \approx 0{,}885 \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}} &\approx 1{,}20 \\ \textcolor{red}{\sigma} &\approx \dfrac{600}{1{,}20} = 500 \end{aligned} \]Standardavviket er altså omtrent 500 gram.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: standardavviket 500 gram står i oppgaveteksten.

Vi standardiserer med \( {\sigma = 500} \) og slår opp i tabellen.

1. Standardiser og slå opp Vi standardiserer som i a), se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]

Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{500}} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(X < 4500) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{4500 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{500}}\right) \\ &= P(Z \le -0{,}40) \end{aligned} \]For en normalfordeling er det ingen forskjell på \( {<} \) og \( {\le}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446}\text{.} \)

Hver av de seks verdiene har sannsynlighet \( \dfrac{1}{6}\text{.} \) Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den.

1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien til en stokastisk variabel er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Her er \( {x = 1, 2, \dots, 6}\text{,} \) og hver har \( {P(X = x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 1 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + \dots + 6 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} \\ &= \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} \\ &= \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]

Summen av mange kast er tilnærmet normalfordelt. Vi finner hvor mange standardavvik 17 må være for at sannsynligheten skal bli \( 32\,\%\text{,} \) og løser for antall kast.

1. Finn fordelingen til summen La \( S \) være summen av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige kast, hvert med standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{1{,}7}}\text{.} \) Siden kastene er uavhengige, er standardavviket til summen: \[ SD(S) = \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{\sigma} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet, der formelen for summen står på lysarket. Etter sentralgrenseteoremet er \( S \) dessuten tilnærmet normalfordelt.

2. Finn hvor mange standardavvik 17 er For en standard normalfordelt \( Z \) står \( {P(Z \le -1{,}00) = 0{,}1587} \) i tabellen. Normalfordelingen er symmetrisk, så sannsynligheten for å havne mer enn ett standardavvik unna forventningen, til den ene eller den andre siden, er: \[ \begin{aligned} P(|Z| > 1) &= 2 \cdot 0{,}1587 \\ &= 0{,}3174 \approx 32\,\% \end{aligned} \]

Vi standardiserer avstanden 17 på samme måte: \[ \begin{aligned} & P\left(|S - E(S)| > 17\right) \\ &\approx P\left(|Z| > \dfrac{17}{SD(S)}\right) \end{aligned} \]Sannsynligheten blir omtrent \( 32\,\% \) når \( {\dfrac{17}{SD(S)} = 1}\text{,} \) altså når \( {SD(S) = 17}\text{.} \)

3. Løs for antall kast Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{1{,}7} &= 17 \\ \sqrt{\textcolor{green}{n}} &= 10 \\ \textcolor{green}{n} &= 100 \end{aligned} \]