Eksamensoppgaver etter tema

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd: selv med summeformelen er det en likning av grad \( 32 \) i \( k\text{.} \) Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{,} \) slik vi løser en likning i CAS i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Hvert innskudd er \( 6\,\% \) større enn det forrige, men får renter i ett år mindre. Saldoen er summen av innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Det første innskuddet får renter i \( 10 \) år, det andre er \( {10\,000 \cdot 1{,}06} \) og får renter i \( 9 \) år, og så videre, til det siste, \( {10\,000 \cdot 1{,}06^9}\text{,} \) som får renter i ett år. Saldoen er: \[ \begin{aligned} &10\,000 \cdot 1{,}025^{10} \\ &+ 10\,000 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}025^9 \\ &+ \dots + 10\,000 \cdot 1{,}06^9 \cdot 1{,}025 \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( 1{,}06 \) og delt på \( 1{,}025\text{.} \) Dette er altså en geometrisk rekke med \( {n = 10} \) ledd, første ledd og kvotient: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} \end{aligned} \]

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{10} &= \textcolor{blue}{10\,000 \cdot 1{,}025^{10}} \\ &\quad \cdot \dfrac{\left(\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}}\right)^{10} - 1}{\textcolor{red}{\dfrac{1{,}06}{1{,}025}} - 1} \\ &\approx 149\,581 \end{aligned} \]Vi taster hele uttrykket inn i kalkulatoren uten å runde av \( k\text{.} \)

3. Sammenlign med målet Vi trekker saldoen fra målet: \[ 150\,000 - 149\,581 = 419 \]Nora mangler omtrent \( 419 \) kr, så hun når ikke målet.

1. Regn ut summen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b). Innskudd nummer \( {i + 1} \) er \( {10\,000 \cdot 1{,}06^i} \) og får renter i \( {10 - i} \) år, for \( {i = 0} \) til \( 9\text{.} \) Vi summerer med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Sum(10000*1.06^i*1.025^(10 - i), i, 0, 9)

Rad 3 gir omtrent \( 149\,581 \) kr, som er under \( 150\,000 \) kr.

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen og setter inn grensene. Det gir en likning i \( x\text{,} \) som vi løser ved å faktorisere.

1. Integrer og sett inn grensene Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int a \cdot t^n\,dt = \dfrac{a}{n + 1} \cdot t^{n + 1} + C \]Den gjelder for \( {n \neq -1}\text{.} \) Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Den antideriverte til \( {3t^2 - 1} \) er derfor \( {t^3 - t}\text{.} \) Vi setter inn den øvre grensen \( \textcolor{blue}{x} \) og trekker fra den nedre grensen \( {\textcolor{red}{-1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \left(3t^2 - 1\right) dt \\ &= \Big[t^3 - t\Big]_{\textcolor{red}{-1}}^{\textcolor{blue}{x}} \\ &= \left(\textcolor{blue}{x}^3 - \textcolor{blue}{x}\right) - \left((\textcolor{red}{-1})^3 - (\textcolor{red}{-1})\right) \\ &= x^3 - x - 0 \end{aligned} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {x^3 - x = 0} \) og faktoriserer ut \( x\text{.} \) Konjugatsetningen \( {x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)} \) gir: \[ \begin{aligned} x^3 - x &= 0 \\ x\left(x^2 - 1\right) &= 0 \\ x(x - 1)(x + 1) &= 0 \end{aligned} \]Et produkt er 0 når en av faktorene er 0, så \( {x = 0}\text{,} \) \( {x = 1} \) eller \( {x = -1}\text{.} \) Oppgaven krever \( {x > -1}\text{,} \) så vi forkaster \( {x = -1}\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et bestemt integral er arealet over \( t \)-aksen minus arealet under. Er funksjonen en endring per tid, er integralet hvor mye størrelsen har endret seg til sammen.

1. Tolk integralet som areal Grafen til \( {3t^2 - 1} \) ligger under \( t \)-aksen mellom nullpunktene \( {t = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \) og over ellers. At integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er \( 0\text{,} \) betyr at \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) aksen er like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \)

2. Gi et eksempel La \( {3t^2 - 1} \) være hvor fort temperaturen \( T \) i et rom endrer seg, i grader per time, \( t \) timer etter klokka 12. Integralet fra \( {-1} \) til \( x \) er da hvor mye temperaturen har endret seg fra klokka 11, som i videoen Hva er integrasjon: \[ T(x) - T(-1) = \int_{-1}^{x} \left(3t^2 - 1\right) dt \]

Fra b) er integralet \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{:} \) \[ T(0) = T(1) = T(-1) \]Temperaturen klokka 12 og klokka 13 er altså den samme som klokka 11. Økningen og nedgangen veier hverandre opp.

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Summen er da: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_1} \) og \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

Hvert frø spirer eller spirer ikke, med samme sannsynlighet, så antallet som spirer er binomisk fordelt. Vi regner ut forventningen og standardavviket og ser hvilken kurve som har den spredningen.

1. Regn ut forventning og standardavvik La \( X \) være antall frø som spirer. Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1000}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} = 700 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} \cdot 0{,}3} = \sqrt{210} \end{aligned} \]Siden \( {14^2 = 196} \) og \( {15^2 = 225}\text{,} \) er \( {14 < \sigma < 15}\text{.} \)

2. Sammenlign med figurene Begge kurvene har toppen i 700. Med så mange frø er \( X \) tilnærmet normalfordelt, og tabellen i vedlegget gir \( {P(Z \le -3) = 0{,}0013}\text{.} \) Nesten alt ligger derfor innenfor tre standardavvik fra forventningen: \[ 1 - 2 \cdot 0{,}0013 = 0{,}9974 \]

Siden \( {3\sigma < 3 \cdot 15 = 45}\text{,} \) er det mellom omtrent: \[ \begin{aligned} 700 - 45 &= 655 \\ 700 + 45 &= 745 \end{aligned} \]

Kurven i figur 2 har toppen i 700 og ligger innenfor dette området. Kurven i figur 1 ligger over aksen fra omtrent 100 til 1300 og er altfor bred, som i videoen Varians og Standardavvik. Den har dessuten mye areal over 1000, men det kan ikke spire flere enn 1000 frø.

Begge kurvene har toppen i forventningen 50. Vi ser hvor bred kurven skal være når standardavviket er 10.

1. Finn hvor nesten alt ligger Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{10}} \) ligger nesten alt, \( 99{,}7\,\%\text{,} \) innenfor tre standardavvik fra forventningen, som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} - 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 20 \\ \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} + 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 80 \end{aligned} \]

2. Sammenlign med figurene Kurven i figur 3 ligger over aksen fra omtrent 20 til 80. Kurven i figur 4 er bare halvparten så bred, fra omtrent 35 til 65. Den har standardavvik omtrent 5, og er for smal, som i videoen Varians og Standardavvik.

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(x)\text{,} \) og enhetskostnaden er kostnaden per enhet, \( \dfrac{K(x)}{x}\text{.} \) Vi setter dem like og løser for \( x\text{.} \)

1. Finn grensekostnaden og enhetskostnaden Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}6x + 10} \]

Vi deler hvert ledd i \( K(x) \) på \( x \) og får \( \textcolor{blue}{\text{enhetskostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E(x)} = \dfrac{K(x)}{x} = \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \]

2. Sett dem like \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}6x + 10} &= \textcolor{blue}{0{,}3x + 10 + \dfrac{3000}{x}} \\ 0{,}3x &= \dfrac{3000}{x} \\ 0{,}3x^2 &= 3000 \\ x^2 &= 10\,000 \\ x &= \pm 100 \end{aligned} \]Vi forkaster \( {x = -100}\text{,} \) fordi antall enheter ikke kan være negativt.

3. Tolk svaret For \( {x = 100} \) er begge kostnadene \( 70 \) kr: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(100)} &= 60 + 10 = 70 \\ \textcolor{blue}{E(100)} &= 30 + 10 + 30 = 70 \end{aligned} \]

Er grensekostnaden lavere enn enhetskostnaden, koster neste enhet mindre enn snittet, og snittet synker. Er den høyere, stiger snittet. Vi ser det også av den deriverte til \( \textcolor{blue}{E}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{E'(x)} = 0{,}3 - \dfrac{3000}{x^2} \]Den er negativ for \( {x < 100} \) og positiv for \( {x > 100}\text{,} \) så enhetskostnaden er lavest i \( {x = 100}\text{.} \)

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon, og vi finner toppunktet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Inntekten er \( {\textcolor{blue}{I(x) = 400x}}\text{.} \) Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{400x} \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{0{,}3x^2 + 10x + 3000}\right) \\ &= -0{,}3x^2 + 390x - 3000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} O'(x) = -0{,}6x + 390 &= 0 \\ 0{,}6x &= 390 \\ x &= 650 \end{aligned} \]\( O \) er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, så grafen vender nedover og \( {x = 650} \) gir toppunktet.

Vi regner ut hva modellen gir for ukene i tabellen og sammenligner med målingene. Modellen er logistisk, så den vokser og flater ut mot et tak.

1. Regn ut modellverdiene Vi setter ukene fra tabellen inn i \( L(t)\text{,} \) og runder av til én desimal: \[ \begin{aligned} L(1) &\approx 14{,}7 & L(5) &\approx 33{,}4 \\ L(10) &\approx 74{,}2 & L(15) &\approx 117{,}2 \\ L(20) &\approx 142{,}0 \end{aligned} \]Målingene er 14, 32, 80, 115 og 145 km. Modellen bommer med under 6 km hver uke, og den følger både den raske økningen og at den avtar mot slutten.

2. Forklar modelltypen Modellen har formen \[ L(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]med \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{156{,}31}}\text{.} \) Den vokser sakte først, så raskt, og flater så ut mot \( \textcolor{red}{C}\text{.} \)

Det passer for løpetrening. Marco starter forsiktig og øker mer og mer når kroppen tåler det. Men han har bare så mye tid og så mye kroppen tåler, så antall kilometer per uke kan ikke vokse uten grense. \( \textcolor{red}{C} \) er taket, omtrent 156 km per uke.

1. Lag logistisk regresjon Vi legger punktene i en liste og lager logistisk regresjon, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den finner tallene i modellen som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi tegner også \( L \) fra oppgaven:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 14), (5, 32), (10, 80), (15, 115), (20, 145)} f(x) = RegLogist(l1) L(x) = 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24x))

Regresjonen gir: \[ f(x) \approx \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24x}} \]med tallene avrundet til to desimaler. Det er modellen \( L\text{,} \) og grafen går nær alle punktene.

Økningen er den deriverte \( L'(t)\text{.} \) En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet, der den er kommet halvveis til taket \( 156{,}31\text{.} \)

1. Finn når modellen er halvveis Vi setter \( {L(t) = \dfrac{156{,}31}{2}}\text{.} \) Det skjer når nevneren er 2, altså når \( {\textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}} = 1}\text{.} \) Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}24t} &= \dfrac{1}{12{,}21} \\ -0{,}24t &= -\ln 12{,}21 \\ t &= \dfrac{\ln 12{,}21}{0{,}24} \approx 10{,}43 \end{aligned} \]

2. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {L(t) = 156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{12{,}21e^{-0{,}24t}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = -0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}\text{.} \) Den ytre funksjonen er \( {g(\textcolor{green}{u}) = 156{,}31(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}}\text{:} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \big(g(\textcolor{green}{u})\big)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Det gir: \[ \begin{aligned} L'(t) &= -156{,}31 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \\ &\quad \cdot (-0{,}24\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot \textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut økningen I \( {t \approx 10{,}43} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ L'(10{,}43) = \dfrac{156{,}31 \cdot 0{,}24 \cdot 1}{2^2} \approx 9{,}38 \]

Det er den største økningen, for brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Da økte antallet kilometer per uke med omtrent 9,4 km for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Vendepunktet er der \( {L''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( L'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(L''(t) = 0, t = 10) L'(10.4261)

Rad 2 gir \( {t \approx 10{,}43} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 9{,}38 \) km per uke per uke.

\( L \) er kilometer per uke, så integralet av \( L \) er hvor langt Marco har løpt. Vi løser likningen der integralet er 500, og deler 500 km på antall uker.

1. Sett opp likningen Modellen fra a) er: \[ L(t) = \dfrac{156{,}31}{1 + 12{,}21e^{-0{,}24t}} \]

Strekningen er integralet av farten, som i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker har Marco løpt 500 km når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} L(t)\,dt = 500 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}24t}\text{:} \) \[ L(t) = \dfrac{156{,}31 \cdot e^{0{,}24t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}24t} + 12{,}21}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}24e^{0{,}24t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int L(t)\,dt &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 13{,}21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{156{,}31}{0{,}24}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln \textcolor{green}{u(0)}\right) = 500 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}24}{156{,}31} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 13{,}21 + \dfrac{120}{156{,}31} \\ &\approx 3{,}3487 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} + 12{,}21 &\approx e^{3{,}3487} \approx 28{,}47 \\ e^{0{,}24\textcolor{blue}{x}} &\approx 16{,}26 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 16{,}26}{0{,}24} \approx \textcolor{blue}{11{,}62} \end{aligned} \]

4. Regn ut gjennomsnittet Han løp 500 km på \( \textcolor{blue}{11{,}62} \) uker, altså i uke 12. I gjennomsnitt er det: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]km per uke.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {\int_0^{x} L(t)\,dt = 500} \) med NLøs. Rad 1 er modellen fra a), og rad 3 deler 500 km på antall uker:

Skriv inn i GeoGebra: L(t) := 156.31/(1 + 12.21*ℯ^(-0.24t)) NLøs(Integral(L(t), t, 0, x) = 500, x = 12) 500/11.6184

Rad 2 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{11{,}62}} \) uker. Før skokjøpet løp han altså 500 km på 11,62 uker, og rad 3 gir gjennomsnittet: \[ \dfrac{500}{\textcolor{blue}{11{,}62}} \approx 43{,}0 \]

\( H_1 \) er det fagforeningen mistenker, at ledelsen velger menn. \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra et tilfeldig utvalg.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at det ikke er noen forskjell, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( p \) være sannsynligheten for at den som blir invitert, er en mann. Velges det tilfeldig, er \( {\textcolor{blue}{p = \dfrac{40}{100} = 0{,}4}}\text{.} \) Velger ledelsen bevisst menn, er \( {\textcolor{red}{p > 0{,}4}}\text{.} \) Testen er ensidig.

2. Forklar valget av fordeling La \( X \) være antall menn blant de 20 som blir invitert. En binomisk fordeling krever lik sannsynlighet og uavhengige forsøk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Her trekkes 20 av bare 100 søkere, og ingen kan trekkes to ganger. Sannsynligheten endrer seg derfor merkbart for hver trekning. Er de 12 første som trekkes, menn, er det bare \( {\dfrac{28}{88} \approx 0{,}32} \) sannsynlig at neste er en mann. Den hypergeometriske fordelingen teller nettopp trekning uten tilbakelegging fra to grupper: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi bruker hypotesene og den hypergeometriske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut P-verdien: sannsynligheten for minst 12 menn hvis utvalget er tilfeldig. Er den under \( 5\,\%\text{,} \) forkaster vi \( H_0\text{.} \)

1. Regn ut P-verdien I a) satte vi opp \( {H_0\text{: } p = 0{,}4} \) og \( {H_1\text{: } p > 0{,}4}\text{.} \) Med \( X \) som antall menn blant de 20 er: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi regner ut leddene med nCr på kalkulatoren og runder av til fem desimaler: \[ \begin{aligned} P(X = 12) &\approx 0{,}02667 \\ P(X = 13) &\approx 0{,}00867 \\ P(X = 14) &\approx 0{,}00217 \\ P(X = 15) &\approx 0{,}00041 \\ P(X = 16) &\approx 0{,}00006 \end{aligned} \]Leddene for 17 til 20 er til sammen under \( 0{,}00001\text{.} \) P-verdien er: \[ P(X \ge 12) \approx \textcolor{red}{0{,}0380} \]

2. Konkluder P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}0380} \) er mindre enn signifikansnivået \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Det er grunnlag for å si at ledelsen bevisst velger menn.

Merk – Binomisk fordeling gir et annet svar: Med binomisk fordeling, \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}4}\text{,} \) blir P-verdien omtrent \( 0{,}057\text{,} \) over \( 5\,\%\text{.} \) Den binomiske fordelingen gjelder trekning med tilbakelegging, og her trekkes 20 av bare 100 søkere uten. Det er derfor den hypergeometriske P-verdien som gjelder.

1. Regn ut P-verdien i CAS \( {P(X \ge 12)} \) er \( {1 - P(X \le 11)}\text{.} \) Vi bruker den kumulative hypergeometriske fordelingen med 100 søkere, 40 menn og 20 trukket. Det samme kan gjøres i sannsynlighetskalkulatoren, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(100, 40, 20, 11, true)

P-verdien er \( \textcolor{red}{0{,}0380}\text{,} \) under \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \)