Eksamensoppgaver etter tema

Summen av alle sannsynlighetene i en fordeling er 1. Det gir oss \( k\text{,} \) og så legger vi sammen sannsynlighetene for \( {X = 2} \) og \( {X = 3}\text{.} \)

1. Finn den ukjente sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene \( X \) kan ha, blir til sammen 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \begin{aligned} & P(X = 0) + P(X = 1) \\ &+ P(X = 2) + P(X = 3) = 1 \end{aligned} \]

Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k} + 0{,}3 + (\textcolor{blue}{k} - 0{,}2) + 0{,}1 &= 1 \\ 2\textcolor{blue}{k} + 0{,}2 &= 1 \\ \textcolor{blue}{k} &= \textcolor{blue}{0{,}4} \end{aligned} \]

2. Legg sammen sannsynlighetene \( {X > 1} \) betyr at \( X \) er 2 eller 3: \[ \begin{aligned} & P(X > 1) \\ &= P(X = 2) + P(X = 3) \\ &= (\textcolor{blue}{0{,}4} - 0{,}2) + 0{,}1 \\ &= 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {k = 0{,}4} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin. Variansen finner vi med forventningen til \( X^2\text{.} \)

1. Regn ut forventningen I a) fant vi \( {k = 0{,}4}\text{,} \) så sannsynlighetene for \( {X = 0, 1, 2, 3} \) er \( 0{,}4\text{,} \) \( 0{,}3\text{,} \) \( 0{,}2 \) og \( 0{,}1\text{.} \) Forventningen er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 \\ &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

2. Regn ut variansen Variansen er forventningen til \( X^2 \) minus kvadratet av forventningen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]

Vi finner \( \textcolor{green}{E(X^2)} \) på samme måte som \( E(X)\text{,} \) med \( x^2 \) i stedet for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X^2) &= 0^2 \cdot 0{,}4 + 1^2 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}9 \\ &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{2} - \textcolor{red}{1}^2 = 1 \]

Levetiden \( X \) er normalfordelt. Vi gjør den om til en standard normalfordelt \( Z \) og slår opp i tabellen i vedlegget.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi skriver «mer enn» som 1 minus «mindre enn eller lik». Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & P(X > 600) \\ &= 1 - P(X \le 600) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{600 - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}}\right) \\ &= 1 - P(Z \le 2) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen I tabellen over standard normalfordeling står \( {P(Z \le 2{,}00) = 0{,}9772}\text{,} \) så: \[ P(X > 600) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228 \]

Vi bruker tabellen baklengs: vi finner \( z \) der sannsynligheten i tabellen er \( {1 - 0{,}758}\text{,} \) og regner om fra \( z \) til timer.

1. Skriv om til mindre enn Tabellen gir sannsynligheter for «mindre enn eller lik», så vi skriver om: \[ \begin{aligned} P(X > t) &= 0{,}758 \\ P(X \le t) &= 1 - 0{,}758 = 0{,}242 \end{aligned} \]

2. Let opp verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}2420 \) inne i tabellen og leser av raden og kolonnen, som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, bare baklengs. Tallet står på raden \( {-0{,}7} \) og i kolonnen \( 0{,}00\text{:} \) \[ P(Z \le -0{,}70) = 0{,}2420 \]

Når vi standardiserer, er: \[ z = \dfrac{t - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Her er \( {z = -0{,}70}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{t - \textcolor{blue}{500}}{\textcolor{red}{50}} &= -0{,}70 \\ t &= \textcolor{blue}{500} - 0{,}70 \cdot \textcolor{red}{50} \\ t &= 465 \end{aligned} \]

Grafen til en normalfordeling har toppen i forventningen, og nesten alle verdiene ligger mindre enn tre standardavvik fra den.

1. Se hvor toppen er Toppen må være i forventningen, \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{500}}\text{.} \) B har toppen i 300 og C i 50, så de passer ikke. Både A og D har toppen i 500.

2. Se på spredningen Fra tabellen er \( {P(Z \le -3{,}00) = 0{,}0013}\text{,} \) så andelen som ligger mindre enn tre standardavvik fra forventningen, er: \[ \begin{aligned} P(-3 < Z < 3) &= 1 - 2 \cdot 0{,}0013 \\ &= 0{,}9974 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{50}} \) ligger altså nesten alle levetidene mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{500} - 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 350 \\ \textcolor{blue}{500} + 3 \cdot \textcolor{red}{50} &= 650 \end{aligned} \]Grafen i A er nesten null utenfor 350 til 650. Grafen i D ligger tydelig over \( x \)-aksen både ved 350 og ved 650, så den har et større standardavvik, som i videoen Varians og Standardavvik, der den bredeste grafen har størst spredning.

Når Marte tipper, er hvert svar riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi sjekker at \( X \) da er binomisk fordelt, og bruker formelen for \( {P(X = k)}\text{.} \)

1. Sjekk antagelsene \( X \) er binomisk fordelt når de fire punktene i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 holder. Det er antagelsene vi gjør: • To utfall for hvert glass: riktig eller galt svar. • Et fast antall forsøk: \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}} \) glass. • Samme sannsynlighet hver gang: \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}5}}\text{,} \) fordi hun tipper mellom to colatyper. • Uavhengige svar: det hun svarer på ett glass, påvirker ikke de andre.

2. Regn ut sannsynligheten Formelen for binomisk sannsynlighet er: \[ P(X = \textcolor{green}{k}) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{red}{p}^{\textcolor{green}{k}} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - \textcolor{green}{k}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) og \( {\binom{10}{6} = 210} \) med nCr på kalkulatoren. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(X = \textcolor{green}{6}) &= \binom{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{\textcolor{green}{6}} \cdot \textcolor{red}{0{,}5}^{4} \\ &= \dfrac{210}{1024} \approx 0{,}205 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Med de samme antagelsene bruker vi FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}5} \) og \( {k = 6}\text{.} \) «false» gir \( {P(X = 6)} \) og ikke \( {P(X \le 6)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(10, 0.5, 6, false)

Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}205\text{.} \)

Den alternative hypotesen er det Marte påstår: at hun svarer riktig oftere enn når hun tipper. Vi regner ut sannsynligheten for minst 8 riktige hvis hun bare tipper.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at hun bare tipper, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. La \( p \) være sannsynligheten for at Marte svarer riktig på et glass: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } p = 0{,}5} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } p > 0{,}5} \]Signifikansnivået er \( {\alpha = 0{,}05}\text{.} \)

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}5}\text{,} \) som i a). P-verdien er sannsynligheten for et resultat minst like godt som 8 riktige: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 8) \\ &= P(X = 8) + P(X = 9) \\ &\quad + P(X = 10) \\ &= \dfrac{\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}}{2^{10}} \\ &= \dfrac{45 + 10 + 1}{1024} \\ &= \dfrac{56}{1024} \approx 0{,}0547 \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10 - k} = \dfrac{1}{2^{10}}} \) for alle \( k\text{.} \)

3. Konkluder P-verdien \( 0{,}0547 \) er større enn \( {\alpha = 0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med 10 glass er det ikke grunnlag for å si at Marte kan gjenkjenne colatypene, selv om 8 riktige er mye.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)}\text{.} \) «true» gir \( {P(X \le 7)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.5, 7, true)

P-verdien er omtrent \( 0{,}0547\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med 30 glass ser vi etter det minste antallet riktige \( m \) der sannsynligheten for minst \( m \) riktige ved tipping er under 0,05. Vi prøver oss fram.

1. Sett opp kravet til P-verdien I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}5 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}5 \]Hvis \( H_0 \) er sann, er \( X \) nå binomisk fordelt med \( {n = 30} \) og \( {p = 0{,}5}\text{.} \) Marte overbeviser Birger hvis P-verdien \( {P(X \ge m)} \) er under 0,05. Ved tipping kan hun forvente 15 riktige, så vi prøver litt over det, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Prøv oss fram Som i b) er hvert ledd \( \binom{30}{k} \) delt på \( 2^{30}\text{.} \) Vi legger sammen binomialkoeffisientene med nCr på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} & P(X \ge 19) \\ &= \dfrac{\binom{30}{19} + \binom{30}{20} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{107\,636\,402}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{red}{0{,}1002} \\ & P(X \ge 20) \\ &= \dfrac{\binom{30}{20} + \binom{30}{21} + \ldots + \binom{30}{30}}{2^{30}} \\ &= \dfrac{53\,009\,102}{1\,073\,741\,824} \approx \textcolor{green}{0{,}0494} \end{aligned} \]

3. Konkluder Med 19 riktige er P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, så \( H_0 \) forkastes ikke. Med 20 riktige er den \( \textcolor{green}{0{,}0494}\text{,} \) under 0,05, så da forkastes \( H_0\text{.} \) Med flere riktige blir P-verdien enda mindre.

1. Prøv oss fram i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut \( {P(X \ge 19)} \) som 1 minus \( {P(X \le 18)}\text{,} \) og \( {P(X \ge 20)} \) som 1 minus \( {P(X \le 19)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 18, true) 1 - FordelingBinomial(30, 0.5, 19, true)

Rad 3 gir \( {P(X \ge 19) \approx 0{,}1002}\text{,} \) over 0,05, og rad 4 gir \( {P(X \ge 20) \approx 0{,}0494}\text{,} \) under 0,05. Marte må altså ha minst 20 riktige.

For hver av de 20 elevene trekker vi først en skole, og så en karakter fra normalfordelingen til den skolen. Vi legger sammen karakterene og deler på 20.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 lagrer forventningene og standardavvikene til skole A, B og C i to lister, på plass 0, 1 og 2. Linje 6 starter summen på 0, og løkka i linje 7 går én gang for hver av de 20 elevene.

Linje 8 trekker en tilfeldig skole: \( \texttt{randint(0, 3)} \) gir 0, 1 eller 2 med like stor sannsynlighet, på samme måte som terningen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 9 trekker en karakter fra normalfordelingen med forventningen og standardavviket til \( \textcolor{blue}{\texttt{skole}}\text{,} \) og linje 10 legger den til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)

2. Regn ut gjennomsnittet Etter løkka skriver linje 12 ut gjennomsnittet: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{x_1 + x_2 + \ldots + x_{20}}}{20} \]Hver kjøring gir et nytt tilfeldig gjennomsnitt, som regel mellom \( 3{,}2 \) og \( 4{,}3\text{.} \)

Vi bruker programmet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi gjør simuleringen fra a) mange ganger og teller hvor ofte snittet blir høyere enn 4. Andelen er et estimat for sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Lag en funksjon av simuleringen Vi legger linje 6 til 12 fra a) inn i en funksjon, \( \texttt{snitt()}\text{,} \) som gir tilbake gjennomsnittet av 20 tilfeldige elever i stedet for å skrive det ut:

2. Tell og regn ut andelen Løkka i linje 16 gjør \( \textcolor{blue}{100\,000} \) forsøk, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang snittet er høyere enn 4, øker linje 18 telleren \( \textcolor{red}{\texttt{over\_4}} \) med 1. Linje 20 skriver ut andelen av forsøkene der snittet var over 4. Én kjøring ga \( \textcolor{red}{20\,635} \) slike snitt: \[ P(\bar{x} > 4) \approx \dfrac{\textcolor{red}{20\,635}}{\textcolor{blue}{100\,000}} = 0{,}20635 \]Med så mange forsøk varierer svaret lite fra kjøring til kjøring, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Kontroll: Forventningen til én elev er \( {\dfrac{3{,}8 + 3{,}4 + 4{,}1}{3} \approx 3{,}77}\text{,} \) under 4. Et snitt over 4 skal derfor skje i mindre enn halvparten av forsøkene, og det gjør det.