Eksamensoppgaver etter tema

Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.

1. Tilbud 1 Hver uke får hun \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]

2. Tilbud 2 Hver uke får hun \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det hun fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.

Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)

1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Formlene for ledd nummer \( n \) er: \[ \begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \\ b_n &= b_1 \cdot \textcolor{blue}{k}^{n - 1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {a_1 = b_1 = 100} \) får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse med algebra, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]

I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Etter det øker tilbud 2 med \( 5\,\% \) av over \( 373 \) kroner, altså mer enn \( 18 \) kroner i uka, mens tilbud 1 øker med \( 10\text{.} \) Tilbud 2 holder seg derfor foran.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)

Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)

Det hun har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.

1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. Med \( {a_1 = 100} \) og \( {a_n = 100 + 10(n - 1)} \) får vi for tilbud 1: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]

Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = b_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. Med \( {b_1 = 100} \) og \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1{,}05}} \) får vi for tilbud 2: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]

2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]

Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.

1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)

Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)