Eksamensoppgaver etter tema

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten. Vi tegner tangenten i \( {x = 40} \) og leser av stigningstallet.

1. Tegn tangenten Vi kaller kostnadsfunksjonen \( K\text{.} \) Grensekostnaden ved 40 enheter er \( K'(40)\text{,} \) stigningstallet til tangenten til grafen i \( {x = 40}\text{.} \) Den forteller omtrent hvor mye én enhet til koster, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Grafen går gjennom \( (40, 3000)\text{.} \) Der legger vi en linjal inntil grafen, slik at den bare så vidt rører den, og tegner den grønne tangenten:

2. Les av stigningstallet Stigningstallet til en linje gjennom \( (x_1, y_1) \) og \( (x_2, y_2) \) er: \[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Den grønne tangenten går gjennom \( (40, 3000) \) og omtrent gjennom \( (100, 7600)\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} K'(40) &\approx \dfrac{7600 - 3000}{100 - 40} \\ &= \dfrac{4600}{60} \approx \textcolor{green}{77} \end{aligned} \]Når det produseres 40 enheter, koster én enhet til altså omtrent 77 kr. Tangenten er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Overskuddet er avstanden fra kostnadsgrafen opp til inntektsgrafen. Vi sammenligner stigningstallene til de to grafene og ser hvor avstanden slutter å øke.

1. Sammenlign stigningstallene Med inntektsfunksjonen \( I \) og kostnadsfunksjonen \( K \) er overskuddet inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]

Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{I'(x)} - \textcolor{red}{K'(x)} \]

Inntektsgrafen er en rett linje gjennom \( (0, 0) \) og \( (100, 10\,000)\text{,} \) så stigningstallet er det samme overalt: \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \dfrac{10\,000}{100} = \textcolor{blue}{100} \]

Kostnadsgrafen krummer oppover, så stigningstallet \( \textcolor{red}{K'(x)} \) øker. Der det er mindre enn \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) øker overskuddet, og der det er større, minker overskuddet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(x)} < \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ \textcolor{red}{K'(x)} > \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som for ekstremalpunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det er der \( {\textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) altså der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja.

2. Finn punktet på figuren Vi skyver en linjal parallelt med inntektslinja ned til den så vidt rører kostnadsgrafen. Den grønne linja rører grafen omtrent i \( {x = 57{,}5}\text{:} \)

Der er den prikkede avstanden opp til inntektslinja størst. Bedriften må altså produsere og selge omtrent 57 eller 58 enheter. Linja er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.