Eksamensoppgaver etter tema

Med bunnsider på 5 dm blir volumet større jo høyere kassen er. Høyden begrenses av at platene til sammen kan være høyst \( 120\,\text{dm}^2\text{.} \)

1. Skriv opp volum og areal 1:15 Vi kaller sidene i bunnen \( \textcolor{blue}{s} \) og høyden \( \textcolor{red}{h}\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden. Platene er bunnen og de fire sideflatene, men ikke lokket: \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} \\ A &= \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} \end{aligned} \]

2. Finn den største høyden 4:30 Med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{5}} \) kan arealet være høyst 120: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}^2 + 4 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{h} &\le 120 \\ 20\textcolor{red}{h} &\le 95 \\ \textcolor{red}{h} &\le 4{,}75 \end{aligned} \]

3. Regn ut volumet 6:30 Volumet er størst når \( \textcolor{red}{h} \) er størst, altså \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm}}\text{.} \) Vi ganger tallene og enhetene hver for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{blue}{5}\,\text{dm} \cdot \textcolor{red}{4{,}75}\,\text{dm} \\ V &= 118{,}75\,\text{dm}^3 \end{aligned} \]

Volumet blir størst når hele arealet på \( 120\,\text{dm}^2 \) brukes. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver volumet som en funksjon av \( s \) og finner toppunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:36 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Vi setter arealet lik 120 og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h} &= 120 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \end{aligned} \]

2. Skriv volumet som en funksjon 1:36 Plugger vi høyden inn i volumet og stryker en \( s\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V(s) &= s^2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{120 - s^2}{4s}} \\ V(s) &= \dfrac{s(120 - s^2)}{4} = 30s - \dfrac{1}{4}s^3 \end{aligned} \]Sidene må være mellom 0 og \( {\sqrt{120} \approx 10{,}95} \) dm, ellers blir høyden negativ.

3. Finn toppunktet 3:20 Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V'(s) = 30 - \dfrac{3}{4}s^2 &= 0 \\ s^2 &= 40 \\ s &= \sqrt{40} \approx 6{,}32 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt{40} \approx 6{,}32}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V'(6) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 36 = 3 > 0 \\ V'(7) &= 30 - \dfrac{3}{4} \cdot 49 = -6{,}75 < 0 \end{aligned} \]Volumet vokser før og avtar etter, så det er et toppunkt.

4. Regn ut volumet Vi setter \( {s = \sqrt{40}} \) inn i \( V(s)\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{40})^3 = 40\sqrt{40}}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} V(\sqrt{40}) &= 30\sqrt{40} - \dfrac{1}{4} \cdot 40\sqrt{40} \\ V(\sqrt{40}) &= 20\sqrt{40} \approx 126{,}49 \end{aligned} \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra 2:16 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {V(s) = s^2 \cdot \dfrac{120 - s^2}{4s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le \sqrt{120}} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: V(s) = Funksjon(s^2*(120 - s^2)/(4s), 0, sqrt(120)) T = Ekstremalpunkt(V, 0, 10)

Toppunktet er \( {T \approx (6{,}3246,\ 126{,}4911)}\text{.} \) Det største volumet er omtrent \( 126{,}49\,\text{dm}^3\text{.} \)

Nå er volumet fast. Vi uttrykker høyden ved \( s\text{,} \) skriver arealet som en funksjon av \( s \) og finner bunnpunktet.

1. Uttrykk høyden ved sidene 0:56 Med sidene \( \textcolor{blue}{s} \) i bunnen og høyden \( \textcolor{red}{h} \) er volumet \( {V = \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h}} \) og arealet \( {A = \textcolor{blue}{s}^2 + 4\textcolor{blue}{s}\textcolor{red}{h}}\text{.} \) Volumet skal være 80: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{s}^2 \cdot \textcolor{red}{h} &= 80 \\ \textcolor{red}{h} &= \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \end{aligned} \]

2. Skriv arealet som en funksjon 1:39 Plugger vi høyden inn i arealet, får vi: \[ \begin{aligned} A(s) &= s^2 + 4s \cdot \textcolor{red}{\dfrac{80}{s^2}} \\ A(s) &= s^2 + \dfrac{320}{s} \end{aligned} \]for \( {s > 0}\text{.} \)

3. Finn bunnpunktet 3:48 Vi skriver \( {\dfrac{320}{s} = 320s^{-1}}\text{,} \) så potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) gir: \[ \begin{aligned} A'(s) = 2s - \dfrac{320}{s^2} &= 0 \\ 2s^3 &= 320 \\ s^3 &= 160 \\ s &= \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43 \end{aligned} \]Vi sjekker fortegnet på hver side av \( {s = \sqrt[3]{160} \approx 5{,}43}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A'(5) &= 10 - \dfrac{320}{25} = -2{,}8 < 0 \\ A'(6) &= 12 - \dfrac{320}{36} \approx 3{,}11 > 0 \end{aligned} \]Arealet avtar før og vokser etter, så det er et bunnpunkt.

4. Regn ut arealet Vi setter \( {s = \sqrt[3]{160}} \) inn i \( A(s) \) med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} A\left(\sqrt[3]{160}\right) &= \left(\sqrt[3]{160}\right)^2 + \dfrac{320}{\sqrt[3]{160}} \\ A\left(\sqrt[3]{160}\right) &\approx 88{,}42 \end{aligned} \]

1. Finn bunnpunktet i GeoGebra 2:40 Med høyden fra kalkulatorruten er \( {A(s) = s^2 + \dfrac{320}{s}}\text{.} \) Vi tegner funksjonen for \( {0 \le s \le 20} \) og finner bunnpunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: A(s) = Funksjon(s^2 + 320/s, 0, 20) B = Ekstremalpunkt(A, 0, 20)

Bunnpunktet er \( {B \approx (5{,}4288,\ 88{,}4168)}\text{.} \) Det minste arealet er omtrent \( 88{,}42\,\text{dm}^2\text{.} \)