Eksamensoppgaver etter tema

Hver oppgave blir riktig med sannsynlighet \( \dfrac{1}{3} \) og feil med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) uavhengig av de andre. Vi regner ut én rekkefølge med ett riktig svar, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Ole velger ett av tre alternativer, og ett av dem er riktig: \[ P(\text{riktig}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \qquad P(\text{feil}) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \]

Valgene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hver oppgave, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Riktig på den første oppgaven og feil på de to andre gir: \[ P(\text{RFF}) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{4}{27} \]

2. Tell rekkefølgene Det ene riktige svaret kan være på oppgave 1, 2 eller 3, altså RFF, FRF eller FFR. Alle tre har sannsynligheten \( \dfrac{4}{27}\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot \dfrac{4}{27} = \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9} \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) forsøk og \( {p = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi finner hvor mange elever som har valgt minst ett av fagene. Resten har valgt verken tysk eller S1.

1. Tell elevene med minst ett fag Legger vi sammen de \( \textcolor{blue}{8} \) som har tysk og de \( \textcolor{red}{10} \) som har S1, teller vi de \( \textcolor{darkorange}{3} \) som har begge fagene, to ganger. Vi trekker dem derfor fra én gang: \[ \textcolor{blue}{8} + \textcolor{red}{10} - \textcolor{darkorange}{3} = 15 \]Altså har 15 elever valgt tysk, S1 eller begge.

2. Regn ut sannsynligheten Da har \( {20 - 15 = 5} \) elever valgt verken tysk eller S1. Hver elev har samme sannsynlighet for å bli valgt, så: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 5 elever gunstige og 20 mulige: \[ P(\text{verken tysk eller S1}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} \]

Når vi vet hvilke to som sover på tomannsrommet, sover de tre andre på tremannsrommet. Vi teller derfor hvor mange måter vi kan velge 2 av de 5 jentene på.

1. Tell parene til tomannsrommet Den første plassen på tomannsrommet kan gå til \( 5 \) jenter, og den andre til de \( 4 \) som er igjen. Antall måter å fylle plassene på er: \[ 5 \cdot 4 = 20 \]

Men vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass, så hvert par er telt \( \textcolor{blue}{2} \) ganger. Vi deler derfor på \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{5}{2}\text{,} \) «5 over 2»: \[ \binom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{\textcolor{blue}{2} \cdot 1} = 10 \]

Anastasia velger det rommet der det er minst sannsynlig at Elena havner. Vi regner ut sannsynligheten for begge valgene og tar den minste.

1. Regn ut sannsynligheten for hvert rom Når Anastasia har valgt, trekker de fire andre om de fire ledige plassene, så Elena kan få hver av dem med samme sannsynlighet. Sannsynligheten for at Elena havner på samme rom som Anastasia, er derfor: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Velger Anastasia \( \textcolor{blue}{\text{tomannsrommet}}\text{,} \) er \( 1 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{blue}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{1}{4}} \]

Velger hun \( \textcolor{red}{\text{tremannsrommet}}\text{,} \) er \( 2 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{red}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \]

2. Velg det minste Siden \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) velger Anastasia tomannsrommet. Da er sannsynligheten \( \dfrac{1}{4} \) for at hun må sove på samme rom som Elena.

Vi bryr oss bare om hvem som sover sammen. Vi finner derfor gruppestørrelsene som får plass i rommene, teller hver av dem for seg og legger sammen.

1. Finn gruppestørrelsene Det er 7 plasser til 5 jenter, så noen plasser blir tomme. Ingen gruppe kan ha mer enn 3 jenter, og det er bare tre rom, så de fem jentene kan deles i grupper på: \[ \textcolor{blue}{3 + 2} \qquad \textcolor{red}{3 + 1 + 1} \qquad \textcolor{green}{2 + 2 + 1} \]

2. Tell hver oppdeling for seg \( {\textcolor{blue}{3 + 2}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover sammen. Det er antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{red}{3 + 1 + 1}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover alene. Det er igjen antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \textcolor{red}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{green}{2 + 2 + 1}}\text{:} \) Vi velger hvem som sover alene, på 5 måter. Av de 4 andre kan den første sove sammen med 3 ulike, og da er det andre paret gitt: \[ 5 \cdot 3 = \textcolor{green}{\underline{15}} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{10} + \textcolor{red}{10} + \textcolor{green}{15} = 35 \]

Søkerne trekkes uten tilbakelegging fra 80 søkere, der 66 er 16 år eller eldre. Antallet av dem blant de 10 som trekkes, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Av de 80 søkerne er \( {80 - 14 = \textcolor{blue}{66}} \) søkere 16 år eller eldre. Vi kaller antallet av dem blant de 10 som trekkes, for \( X\text{.} \)

I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan den samme søkeren ikke trekkes to ganger, så sannsynligheten endrer seg litt for hver søker, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{10 - k}}{\binom{80}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{blue}{66} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{red}{14} \) under 16 år på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle 80 på.

2. Legg sammen 8, 9 og 10 «Minst 8» betyr 8, 9 eller 10. Med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 8) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{8} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{2}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3174 \\ P(X = 9) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{9} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{1}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3147 \\ P(X = 10) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{10} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{0}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}1281 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 8) \approx 0{,}7603 \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 80, antall treff 66, utvalget 10 og true til slutt gir \( {P(X \le 7)}\text{.} \) Vi regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 10, 7, true)

CAS gir \( {P(X \ge 8) \approx 0{,}7603}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med hypergeometrisk fordeling, gir det samme.

Nå er antallet som intervjues, \( n\text{,} \) ukjent. Vi tester verdier av \( n \) til sannsynligheten for minst 10 søkere som er 16 år eller eldre, blir minst \( 0{,}90\text{.} \)

1. Sett opp kravet Med \( n \) søkere er \( X \) hypergeometrisk fordelt som i a), med \( n \) i stedet for 10: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{n - k}}{\binom{80}{n}} \]

Vi skal finne den minste \( n \) der: \[ P(X \ge 10) \ge 0{,}90 \]Jo flere som intervjues, jo større blir sannsynligheten, så vi tester oss fram ved å endre \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Test 13 og 14 søkere I snitt er \( 82{,}5\,\% \) av søkerne 16 år eller eldre (66 av 80), så med 12 søkere venter vi bare \( {12 \cdot 0{,}825 = 9{,}9} \) av dem. Vi starter derfor med \( {n = 13}\text{,} \) der «10 eller flere» betyr 10, 11, 12 eller 13. Vi regner ut de fire leddene med nCr og legger sammen med alle desimalene: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}2437 + 0{,}3102 \\ &\quad + 0{,}2187 + 0{,}0649 \\ &\approx 0{,}837 \end{aligned} \]

Med \( {n = 14} \) betyr det 10, 11, 12, 13 eller 14: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}1400 + 0{,}2592 \\ &\quad + 0{,}2970 + 0{,}1898 \\ &\quad + 0{,}0513 \\ &\approx 0{,}937 \end{aligned} \]Med 13 søkere er sannsynligheten under \( 0{,}90\text{,} \) og med 14 er den over.

1. Test n i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \]og regner ut for \( {n = 13} \) og \( {n = 14} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 13, 9, true) 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 14, 9, true)

CAS gir \( 0{,}8374 \) for \( {n = 13} \) og \( 0{,}9375 \) for \( {n = 14}\text{.} \) Ledelsen må altså intervjue minst 14 søkere.

Erik får poenget når terningen hans viser mer enn den høyeste av Kris sine to. Vi teller de like sannsynlige utfallene der det skjer.

1. Tell utfallene der Erik vinner Vi deler opp etter den høyeste terningen til Kris, \( m\text{.} \) Av de 16 parene Kris kan få, har \( {\textcolor{blue}{2m - 1}} \) høyeste verdi \( m\text{,} \) for eksempel har (1, 2), (2, 1) og (2, 2) høyeste verdi 2. Erik vinner når han får mer enn \( m\text{,} \) altså på \( {\textcolor{red}{6 - m}} \) av sidene: \[ \begin{array}{l|cccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{par til Kris} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{7} \\ \text{Erik over } m & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} \\ \hline \text{gunstige} & 5 & 12 & 15 & 14 \end{array} \]Til sammen er det \( {5 + 12 + 15 + 14 = 46} \) gunstige utfall.

2. Regn ut sannsynligheten Eriks terning har 6 sider og hver av Kris sine 4, så det er \( {6 \cdot 4 \cdot 4 = 96} \) like sannsynlige utfall. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{46}{96} = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}479 \]

Vi lager et program som spiller hele spillet mange ganger, og teller hvor ofte Erik når 100 poeng først. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive en runde og et spill som funksjoner, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Programmet har tre deler: én runde, ett spill og mange spill. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar en runde og et spill Funksjonen \( \texttt{runde()} \) i linje 3 til 11 kaster Eriks terning med \( \texttt{randint(1, 7)} \) og Kris sine med \( \texttt{randint(1, 5)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får 1 til 6 og 1 til 4, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 sammenligner Eriks terning med den høyeste av Kris sine.

Funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 13 til 23 spiller runder så lenge begge har under 100 poeng, og gir poenget til den som vinner runden. Den returnerer Eriks poeng, som er 100 når han kom først.

3. Tell spillene Erik vinner Løkka i linje 28 til 30 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_erik\_vinner}} \) hvor mange Erik vinner, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 32 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{spill Erik vinner}}}{\textcolor{red}{\text{alle spill}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Erik nådde 100 poeng først i omtrent \( 27{,}7\,\% \) av spillene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 28\,\%\text{.} \)

Kontroll: Erik når 100 poeng først nøyaktig når han vinner minst 100 av de 199 første rundene. Med \( {p = \dfrac{23}{48}} \) fra a) gir sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med binomisk fordeling og \( {n = 199}\text{,} \) den eksakte verdien \( {P(X \ge 100) \approx 0{,}2780}\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.

1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.

Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)

2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.

1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]

2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)

«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.

1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]

Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]

2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

Sander tar 2 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Antallet gule han får, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Det er \( {3 + 8 + 7 = 18} \) drops i posen. \( \textcolor{blue}{8} \) av dem er gule, og \( \textcolor{red}{10} \) er grønne eller røde. Vi kaller antallet gule Sander tar, for \( X\text{.} \) I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan det samme dropset ikke tas to ganger, så sannsynligheten endrer seg, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{8}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{10}}{2 - k}}{\binom{18}{2}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de gule og \( {2 - k} \) av de andre på. Nevneren er antall måter å velge 2 av alle 18 på.

2. Regn ut for to gule To gule betyr \( {k = 2}\text{,} \) og da tar han ingen av de andre: \( {\binom{\textcolor{red}{10}}{0} = 1}\text{.} \) For hånd eller med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{8}}{2} &= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \\ \binom{18}{2} &= \dfrac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ P(X = 2) = \dfrac{28 \cdot 1}{153} = \dfrac{28}{153} \approx 0{,}183 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(8, 2)/nCr(18, 2)

CAS gir \( {P(X = 2) \approx 0{,}183}\text{.} \)

Henny tar 3 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Vi teller utvalgene med ett drops av hver farge, og deler på alle måtene å ta 3 av 18 på.

1. Tell de gunstige utvalgene Ett av hver farge betyr ett av de \( \textcolor{green}{3} \) grønne, ett av de \( \textcolor{blue}{8} \) gule og ett av de \( \textcolor{red}{7} \) røde. Hvert valg kan kombineres med hvert av de andre: \[ \binom{\textcolor{green}{3}}{1} \cdot \binom{\textcolor{blue}{8}}{1} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{1} = \textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{7} = 168 \]

2. Del på alle utvalgene Antall måter å velge 3 av de 18 dropsene på er: \[ \binom{18}{3} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816 \]

Alle utvalgene er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{168}{816} = \dfrac{7}{34} \approx 0{,}206 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (nCr(3, 1)*nCr(8, 1)*nCr(7, 1))/nCr(18, 3)

CAS gir \( {P \approx 0{,}2059}\text{.} \)

De tre tar ett drops hver fra hver sin pose, uavhengig av hverandre. Alle får samme farge hvis alle får grønn, alle gul eller alle rød, så vi regner ut de tre tilfellene og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Dropsene er lagt tilbake, så hver pose har 18 drops. Hver av de tre får grønn med sannsynlighet \( \textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\text{,} \) gul med \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}} \) og rød med \( \textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\text{.} \) Trekkene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\text{alle grønne}) &= \left(\textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\right)^3 = \dfrac{27}{5832} \\ P(\text{alle gule}) &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}}\right)^3 = \dfrac{512}{5832} \\ P(\text{alle røde}) &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\right)^3 = \dfrac{343}{5832} \end{aligned} \]

2. Legg sammen Tilfellene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{27 + 512 + 343}{5832} = \dfrac{882}{5832} \\ P &= \dfrac{49}{324} \approx 0{,}151 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver summen inn i CAS og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (3/18)^3 + (8/18)^3 + (7/18)^3

CAS gir \( {P \approx 0{,}1512}\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som skjer med terningene i hver runde.

1. Les starten og løkkene Linje 4 og 5 starter med \( {\texttt{runder} = 0} \) og \( {\texttt{terninger} = 100}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge det er terninger igjen, som while-løkka i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang den går, er én runde.

Løkka i linje 7 kaster én gang for hver terning Ola har når runden starter. \( \texttt{randint(1,6)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, altså et vanlig terningkast, slik kommentaren i linje 2 sier.

2. Les hva hvert kast gjør Viser terningen 6, legger linje 9 til \( \textcolor{green}{3} \) terninger. Terningen selv blir, så Ola får \( \textcolor{green}{3} \) terninger til. Viser den noe annet, trekker linje 11 fra \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så den terningen er borte.

Linje 12 teller rundene. Når det ikke er flere terninger igjen, stopper løkka, og linje 14 skriver ut hvor mange runder spillet varte.

Vi bygger videre på programmet til Ola og reglene fra a).

Vi lar et program spille spillet mange ganger og regner ut gjennomsnittet av antall runder.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å gjøre et spill om til en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Gjør spillet om til en funksjon Vi flytter linje 4 til 12 fra programmet til Ola inn i funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13. Den spiller ett spill og returnerer antall runder, som funksjonen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her er hele programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Regn ut gjennomsnittet Løkka i linje 18 og 19 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og legger sammen antall runder i \( \textcolor{blue}{\texttt{sum\_runder}}\text{,} \) som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 deler summen på antall spill: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{alle rundene}}}{\textcolor{red}{\text{antall spill}}} \]Utskriften viser at et spill i gjennomsnitt varte omtrent \( 8{,}52 \) runder. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 8{,}5\text{.} \)

Skuddene er uavhengige av hverandre, så vi ganger sannsynlighetene for de to skuddene. Det tredje skuddet spiller ingen rolle her.

1. Gang sannsynlighetene Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) på hvert skudd. Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Treff på det første og treff på det andre skuddet gir: \[ P(\text{treff, treff}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} = 0{,}64 \]Det tredje skuddet kan bli treff eller bom, så det kommer ikke inn.

Bommen kan komme på det første, det andre eller det tredje skuddet. Vi regner ut én rekkefølge, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) og bommer med \( {1 - 0{,}8 = \textcolor{red}{0{,}2}}\text{.} \) Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Treff, treff og så bom gir: \[ P(\text{TTB}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}128 \]

2. Tell rekkefølgene Bommen kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså BTT, TBT eller TTB. Alle tre har sannsynligheten \( 0{,}128\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384 \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = 0{,}8}\text{.} \)

«Høyst ett» betyr null eller ett treff. Vi regner ut begge sannsynlighetene og legger dem sammen.

1. Regn ut null treff Null treff betyr bom på alle tre skuddene. Arne bommer med sannsynlighet \( \textcolor{red}{0{,}2}\text{,} \) og skuddene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{BBB}) = \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = \underline{0{,}008} \]

2. Regn ut ett treff Treffet kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså TBB, BTB eller BBT. Hver rekkefølge har sannsynligheten: \[ \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}032 \]Tre rekkefølger gir \( {3 \cdot 0{,}032 = \underline{0{,}096}}\text{.} \)

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ 0{,}008 + 0{,}096 = 0{,}104 \]

Hvert av de tre sifrene kan være ett av de seks sifrene 1 til 6. Vi teller hvor mange koder som er mulige, og bare én av dem er riktig.

1. Tell de mulige kodene Uten 7, 8, 9 og 0 er det seks sifre igjen: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvert av de tre sifrene i koden kan være hvilket som helst av dem, så antall mulige koder er: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} = 216 \]

2. Regn ut sannsynligheten Peder prøver én av kodene, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er da: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 1 kode gunstig og 216 mulige: \[ P = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}0046 \]Det er det samme som å treffe riktig siffer på hvert av de tre hjulene, \( {\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}}\text{,} \) slik vi ganger sannsynligheter i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi lar et program trekke en tilfeldig kode og et tilfeldig forsøk svært mange ganger, og teller hvor ofte forsøket åpner låsen. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive ett forsøk som en funksjon, og en løkke som teller.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett forsøk og mange forsøk. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett forsøk Funksjonen «forsøk()» i linje 3 til 15 trekker en tilfeldig kode i linje 4 til 6 og et tilfeldig forsøk i linje 8 til 10. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 12 sjekker om alle tre sifrene er like, og da åpner låsen.

3. Tell forsøkene som åpner låsen Løkka i linje 20 til 22 gjør \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) forsøk og teller i «antall_åpnet» hvor mange av dem som åpner låsen, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 24 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk som åpnet}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at låsen åpnet seg i omtrent \( 0{,}47\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 0{,}46\,\%\text{,} \) som er \( \dfrac{1}{216} \) fra a).

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange måter vi kan velge 4 av de 10 elevene på.

1. Tell gruppene Trekker vi lappene én om gangen, er det \( 10 \) muligheter for den første, \( 9 \) for den andre, \( 8 \) for den tredje og \( 7 \) for den fjerde: \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \]

Men rekkefølgen spiller ingen rolle, og de fire elevene i en gruppe kan trekkes i \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{24}} \) rekkefølger. Hver gruppe er derfor telt \( \textcolor{blue}{24} \) ganger, så vi deler på \( \textcolor{blue}{24}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{10}{4}\text{,} \) «10 over 4»: \[ \binom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \dfrac{5040}{\textcolor{blue}{24}} = 210 \]

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Det er 3 gutter og 7 jenter. «Minst to gutter» betyr to eller tre gutter. Vi teller gruppene med to og med tre gutter, og deler på alle gruppene.

1. Tell gruppene med minst to gutter Det er \( {10 - 7 = 3} \) gutter. En gruppe med \( \textcolor{blue}{2} \) gutter har \( \textcolor{red}{2} \) jenter. Vi velger guttene og jentene hver for seg, og ganger: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{2}} = 3 \cdot \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 3 \cdot 21 = \underline{63} \]

En gruppe med \( \textcolor{blue}{3} \) gutter har \( \textcolor{red}{1} \) jente: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{1}} = 1 \cdot 7 = \underline{7} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) mulige grupper, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{63 + 7}{210} = \dfrac{70}{210} = \dfrac{1}{3} \]Elevene trekkes uten tilbakelegging, så dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.

1. Regn ut i CAS La \( X \) være antall gutter i gruppen. Minst to gutter er det motsatte av høyst én: \[ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 10, antall gutter 3, utvalget 4, verdien 1 og true til slutt gir \( {P(X \le 1)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(10, 3, 4, 1, true)

CAS gir \( {P(X \ge 2) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler elevene i to: Emma og Marie, og de 8 andre. Gruppen skal ha én av de to og tre av de åtte andre.

1. Tell de gunstige gruppene Vi velger én av \( \textcolor{green}{\text{Emma og Marie}} \) og tre av de \( 8 \) andre elevene, og ganger: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{1}} \cdot \binom{8}{3} &= 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 2 \cdot 56 = 112 \end{aligned} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) like sannsynlige grupper: \[ P = \dfrac{112}{210} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533 \]

1. Regn ut i CAS Nå er Emma og Marie det vi teller: populasjonen er 10, antall treff 2 og utvalget 4. Vi vil ha nøyaktig 1, så vi skriver false til slutt:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(10, 2, 4, 1, false)

CAS gir \( \dfrac{8}{15}\text{.} \)