Eksamensoppgaver etter tema

Vi deriverer \( f \) og ser hvilke verdier \( f'(x) \) kan ha. Likningen \( {f'(x) = k} \) har løsning når \( k \) er en av dem.

1. Deriver f \( {2x + 5} \) derivert blir \( \underline{2}\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x - 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 1}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 1})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{1}{(x - 1)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \quad \text{for } x \neq 1 \]

2. Sett den deriverte lik k Vi setter \( {f'(x) = k} \) og samler brøken på én side: \[ \begin{aligned} 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= 2 - k \end{aligned} \]

\( {(x - 1)^2} \) er positiv for alle \( {x \neq 1}\text{,} \) så venstresiden er alltid positiv, og den kan bli et hvilket som helst positivt tall. Likningen har derfor løsning når \( {2 - k > 0}\text{,} \) altså når \( {k < 2}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} (x - 1)^2 &= \dfrac{1}{2 - k} \\ x &= 1 \pm \dfrac{1}{\sqrt{2 - k}} \end{aligned} \]

Vi bruker løsningene av \( {f'(x) = k} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi velger noen verdier av \( k \) som er mindre enn 2, finner de to løsningene og ser hvor de ligger i forhold til hverandre.

1. Velg noen verdier av k I a) fant vi at \( {f'(x) = k} \) har løsningene: \[ x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{2 - k}}} \quad \text{når } k < 2 \]

Vi velger \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{,} \) som gir kvadratrøtter som går opp: \[ \begin{aligned} k = 1\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{1} \\ k = -2\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ k = \dfrac{7}{4}\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Løsningene er \( 0 \) og \( 2\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) og \( {-1} \) og \( 3\text{.} \)

2. Beskriv symmetrien For hver av de tre verdiene ligger løsningene like langt fra \( \textcolor{blue}{1} \) på hver side. Det gjelder alle \( {k < 2}\text{,} \) fordi løsningene er \( \textcolor{blue}{1} \) pluss og minus det samme tallet, \( {\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{2 - k}}}}\text{.} \) Løsningene ligger altså symmetrisk om linja \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) som er den loddrette asymptoten til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Jo nærmere \( k \) er 2, jo lenger fra hverandre ligger de to løsningene. Andre valg av \( k \) gir den samme symmetrien.

Vi deriverer \( g \) på samme måte som \( f \) i a), og ser når likningen \( {g'(x) = 4} \) har løsning.

1. Deriver g \( {a \cdot x + b} \) derivert blir \( a\text{.} \) Med kvotientregelen, \( {\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}\text{,} \) med \( {u = 1} \) og \( {v = x + d}\text{,} \) er \( {\left(\dfrac{1}{x + d}\right)' = -\dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{,} \) som i videoen Kvotientregelen. Det gir: \[ g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2} \quad \text{for } x \neq -d \]

2. Sett den deriverte lik 4 \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 4 \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= \textcolor{blue}{a} - 4 \end{aligned} \]Venstresiden er alltid positiv, og den kan bli et hvilket som helst positivt tall. Likningen har derfor løsning når \( {\textcolor{blue}{a} - 4 > 0}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} > 4}\text{,} \) uansett hva \( b \) og \( d \) er.

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), nå med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med \( {a = 3} \) ser vi for hvilke \( k \) likningen \( {g'(x) = k} \) har løsninger, og hvor løsningene ligger, som for \( f \) i a) og b).

1. Løs likningen I c) fant vi \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Med \( {a = 3} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 3 - k \end{aligned} \]Venstresiden er alltid positiv, så likningen har løsning bare når \( {k < 3}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} (x + d)^2 &= \dfrac{1}{3 - k} \\ x &= \textcolor{blue}{-d} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}} \end{aligned} \]

2. Beskriv løsningene For \( {k < 3} \) er det to løsninger. De ligger like langt, \( {\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}}}\text{,} \) fra \( {\textcolor{blue}{-d}} \) på hver side, altså symmetrisk om linja \( {x = \textcolor{blue}{-d}}\text{,} \) den loddrette asymptoten til \( g\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. For eksempel gir \( {k = 2} \) løsningene \( {x = \textcolor{blue}{-d} - \textcolor{red}{1}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{-d} + \textcolor{red}{1}}\text{.} \)

Jo nærmere \( k \) er 3, jo lenger fra hverandre ligger løsningene. For \( {k \ge 3} \) er det ingen løsning. Tallet \( b \) påvirker ikke løsningene, fordi det forsvinner når vi deriverer.

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kravet \( {g'(-1) = g'(5)} \) gir en likning for \( d\text{,} \) og så gir \( {g(1) = 7} \) tallet \( b\text{.} \)

1. Bruk kravet til den deriverte Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -1} \) og \( {x = 5}\text{,} \) trekker fra 3 på begge sider og snur brøkene: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(d - 1)^2} &= 3 - \dfrac{1}{(d + 5)^2} \\ (d - 1)^2 &= (d + 5)^2 \\ d^2 - 2d + 1 &= d^2 + 10d + 25 \\ -12d &= 24 \\ d &= \textcolor{blue}{-2} \end{aligned} \]Det passer med d): \( {-1} \) og \( 5 \) ligger like langt fra \( {2 = -d} \) på hver side.

2. Bruk kravet til funksjonsverdien Med \( {d = \textcolor{blue}{-2}} \) er \( {g(x) = 3x + b + \dfrac{1}{x \textcolor{blue}{{}- 2}}}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot 1 + b + \dfrac{1}{1 \textcolor{blue}{{}- 2}} &= 7 \\ 3 + b - 1 &= 7 \\ b &= \textcolor{red}{5} \end{aligned} \]

1. Løs kravene i CAS Vi skriver inn \( g \) med \( {a = 3} \) og løser de to kravene i CAS, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) Løs({g'(-1) = g'(5), g(1) = 7}, {b, d})

CAS gir \( {b = 5} \) og \( {d = -2}\text{.} \)