S1 eksamen høsten 2022 – løsningsforslag

Vi finner tangenten i \( P \) og ser hvor den skjærer aksene. Trekanten er rettvinklet i \( O\text{,} \) så arealet er halvparten av \( OA \) ganger \( OB\text{.} \)

1. Finn tangenten i P Tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) har stigningstallet \( \textcolor{red}{f'(a)} \) og går gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{a}, f(\textcolor{blue}{a}))\text{:} \) \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + f(\textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er \( {f'(x) = -2x}\text{.} \) I \( P \) er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {f\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right) = \dfrac{3}{4}} \) og \( {\textcolor{red}{f'\left(\dfrac{1}{2}\right)} = \textcolor{red}{-1}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-1} \cdot \left(x - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right) + \dfrac{3}{4} \\ y &= -x + \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

2. Finn A og B \( B \) ligger på \( y \)-aksen, der \( {x = 0}\text{,} \) og \( A \) på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0\text{:} \quad & y = \dfrac{5}{4} \\ y = 0\text{:} \quad & x = \dfrac{5}{4} \end{aligned} \]Altså er \( {OA = \dfrac{5}{4}} \) og \( {OB = \dfrac{5}{4}}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Vinkelen i \( O \) er rett, så \( OA \) er grunnlinja og \( OB \) høyden: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{25}{32} \]

1. Tegn tangenten og trekanten Vi tegner \( f\text{,} \) lager tangenten i \( P \) med Tangent, finner \( A \) og \( B \) med Skjæring og lager trekanten med Mangekant, som gir arealet:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = Funksjon(1 - x^2, 0, 1) P = (1/2, f(1/2)) t = Tangent(P, f) A = Skjæring(t, xAkse) B = Skjæring(t, yAkse) O = (0, 0) T = Mangekant(O, A, B)

GeoGebra gir tangenten \( {y = -x + 1{,}25}\text{,} \) \( {A = (1{,}25,\ 0)} \) og \( {B = (0,\ 1{,}25)}\text{.} \) Arealet \( 0{,}7813 \) er \( {\dfrac{25}{32} = 0{,}78125} \) avrundet.

Vi finner arealet av trekanten for en vilkårlig \( a\text{,} \) som i a). Det minste arealet ligger der den deriverte av arealet er null.

1. Finn tangenten for en vilkårlig a Med \( {f(a) = 1 - a^2} \) og \( {f'(a) = -2a} \) gir formelen for tangenten, \( {y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} y &= -2a(x - a) + 1 - a^2 \\ y &= -2ax + 1 + a^2 \end{aligned} \]

\( B \) ligger der \( {x = 0}\text{,} \) og \( A \) der \( {y = 0}\text{:} \) \[ OB = 1 + a^2 \qquad OA = \dfrac{1 + a^2}{2a} \]

2. Skriv arealet som en funksjon Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ \begin{aligned} T(a) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 + a^2}{2a} \cdot (1 + a^2) \\ T(a) &= \dfrac{(1 + a^2)^2}{4a} \end{aligned} \]der \( a \in \langle 0, 1 \rangle\text{.} \)

3. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Telleren deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \( {\left((1 + a^2)^2\right)' = 2(1 + a^2) \cdot 2a}\text{.} \) For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{(1 + a^2)^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4a(1 + a^2)} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{4a} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{4a})^2 = 16a^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \textcolor{red}{4a(1 + a^2)} \cdot \textcolor{blue}{4a} - \textcolor{red}{(1 + a^2)^2} \cdot \textcolor{blue}{4} \]

Setter vi \( {\textcolor{darkorange}{4(1 + a^2)}} \) utenfor i telleren, trekker sammen i parentesen og forkorter med 4, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{4(1 + a^2)}\big(4a^2 - (1 + a^2)\big)}{16a^2} \\ T'(a) &= \dfrac{(1 + a^2)(3a^2 - 1)}{4a^2} \end{aligned} \]

4. Finn bunnpunktet Det minste arealet ligger der den deriverte er null, som toppunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {1 + a^2 > 0} \) og \( {4a^2 > 0}\text{,} \) er \( {T'(a) = 0} \) bare når: \[ \begin{aligned} 3a^2 - 1 &= 0 \\ a^2 &= \dfrac{1}{3} \\ a &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]Vi bruker bare den positive løsningen, fordi \( a \in \langle 0, 1 \rangle\text{.} \)

\( T'(a) \) har samme fortegn som \( {3a^2 - 1}\text{:} \) negativt når \( {a < \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \) og positivt når \( {a > \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\text{.} \) Arealet avtar og så vokser, så dette er et bunnpunkt.

5. Regn ut det minste arealet Med \( {a^2 = \dfrac{1}{3}} \) er \( {1 + a^2 = \dfrac{4}{3}} \) og \( {4a = \dfrac{4}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) &= \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Med arealet \( {T(a) = \dfrac{(1 + a^2)^2}{4a}} \) fra den første ruten løser vi \( {T'(a) = 0} \) i CAS, med eksakte svar. Den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T(a) := (1 + a^2)^2/(4a) Løs(T'(a) = 0, a) T(sqrt(3)/3)

CAS gir \( {a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}}\text{,} \) siden den negative løsningen ligger utenfor \( \langle 0, 1 \rangle\text{,} \) og arealet \( {\dfrac{4}{9}\sqrt{3} \approx 0{,}7698}\text{.} \) Arealet blir svært stort når \( a \) nærmer seg 0, og nærmer seg 1 når \( a \) nærmer seg 1, så dette er det minste.

Vi lar \( x \) være antall år etter 1980, som i modellen for importen senere i oppgaven. Vi lager en lineær og en eksponentiell modell med regresjon, og ser hvilken som følger tallene best de siste årene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å se om tallene vokser med like mye eller med like mange prosent hvert år, og på å lage en lineær modell gjennom to av punktene.

1. Legg punktene inn i GeoGebra 1980 blir \( {x = 0}\text{,} \) 1990 blir \( {x = 10} \) og så videre, til 2018, som blir \( {x = 38}\text{.} \) Vi skriver \( x \) i kolonne A og verdien i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Lag to modeller med regresjon Regresjon finner de tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi lager en lineær og en eksponentiell modell:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegLin(l1) h(x) = RegEksp(l1)

Avrundet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} &\approx \textcolor{blue}{24{,}90x + 36{,}32} \\ \textcolor{red}{h(x)} &\approx \textcolor{red}{109{,}05 \cdot 1{,}0660^x} \end{aligned} \]

3. Velg modellen som passer best Fra 1990 har eksporten økt med omtrent like mye hvert år, 26 til 32 milliarder kroner. Den prosentvise veksten har derimot falt: verdien ble 2,5 ganger så stor fra 1990 til 2000, men bare 1,5 ganger så stor fra 2000 til 2010. Det passer med en lineær modell, som øker med like mye hvert år, og ikke med en eksponentiell, som øker med like mange prosent.

Den lineære modellen \( \textcolor{blue}{g} \) ligger høyst 18 milliarder kroner fra tallene fra 2000 til 2018. Den eksponentielle modellen \( \textcolor{red}{h} \) ligger 237 milliarder kroner for høyt allerede i 2018, og vokser stadig raskere. Vi velger derfor \( \textcolor{blue}{g}\text{.} \) Andre modeller, for eksempel en andregradsfunksjon, kan også være riktige når valget er begrunnet.

Vi bruker de to modellene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

2015 er \( {x = 35} \) og 2025 er \( {x = 45}\text{.} \) Den gjennomsnittlige årlige veksten er endringen i verdi delt på antall år.

1. Skriv opp den gjennomsnittlige veksten Den gjennomsnittlige veksten fra \( {x = 35} \) til \( {x = 45} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y(45) - y(35)}{45 - 35} \]

2. Regn ut for begge modellene I a) fant vi modellene, og vi regner videre med tallene i svaret: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} &\approx \textcolor{blue}{24{,}90x + 36{,}32} \\ \textcolor{red}{h(x)} &\approx \textcolor{red}{109{,}05 \cdot 1{,}0660^x} \end{aligned} \]

\( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så stigningstallet er det samme overalt, \( \textcolor{blue}{24{,}90}\text{.} \) Eksporten øker altså med omtrent 24,9 milliarder kroner hvert år.

For \( \textcolor{red}{h} \) regner vi ut verdiene med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{h(35)} &\approx 109{,}05 \cdot 1{,}0660^{35} \approx 1021{,}2 \\ \textcolor{red}{h(45)} &\approx 109{,}05 \cdot 1{,}0660^{45} \approx 1935{,}1 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1935{,}1} - \textcolor{red}{1021{,}2}}{10} \approx 91{,}4 \]

1. Regn ut i CAS For \( g \) er veksten stigningstallet, \( 24{,}8971 \) i Algebrafeltet i a). For \( h \) regner vi ut i CAS med modellen fra a), slik den er lagret med alle desimalene, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (h(45) - h(35))/10

CAS gir \( 91{,}4306\text{.} \)

I 1980 er \( {x = 0}\text{,} \) så verdien var \( {f(0) = 91}\text{.} \) Vi setter \( f(x) \) lik \( {10 \cdot 91} \) og får \( x \) ned fra eksponenten med \( \lg\text{.} \)

1. Sett opp likningen Ti ganger så mye som i 1980 er \( {10 \cdot 91 = 910}\text{.} \) Vi deler begge sider på 91: \[ \begin{aligned} 91 \cdot 1{,}057^{\textcolor{green}{x}} &= 910 \\ 1{,}057^{\textcolor{green}{x}} &= 10 \end{aligned} \]

2. Løs med lg Vi tar \( \lg \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg\left(a^{\textcolor{green}{x}}\right) = \textcolor{green}{x} \cdot \lg a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Regneregler med Logaritmer.

Med \( {\lg 10 = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \lg 1{,}057 &= 1 \\ \textcolor{green}{x} &= \dfrac{1}{\lg 1{,}057} \approx 41{,}54 \end{aligned} \]Det er \( {1980 + 41{,}5 = 2021{,}5}\text{,} \) altså midt i 2021.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(91*1.057^x = 10*91, x)

CAS gir \( {x \approx 41{,}5369}\text{,} \) altså midt i 2021.

Vi bruker modellen \( g \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Norge har handelsoverskudd når eksporten er større enn importen, altså når \( {g(x) > f(x)}\text{.} \) Vi finner skjæringspunktene mellom grafene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {g(x) = f(x)} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan vi regne ut \( g(x) \) og \( f(x) \) for noen \( x \) med kalkulatoren: \( g \) er mindre enn \( f \) i \( {x = 2}\text{,} \) større i \( {x = 3} \) og i \( {x = 46}\text{,} \) og mindre igjen i \( {x = 47}\text{.} \)

1. Finn skjæringspunktene I a) fant vi \( {\textcolor{blue}{g(x)} \approx \textcolor{blue}{24{,}8971x + 36{,}3169}} \) med regresjon. Vi skriver inn modellen for importen og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafene, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = 91*1.057^x

Skjæringspunktene er \( {P \approx (2{,}8132,\ 106{,}36)} \) og \( {Q \approx (46{,}3992,\ 1191{,}52)}\text{.} \)

2. Vurder når det er overskudd Mellom \( P \) og \( Q \) ligger den blå linja \( \textcolor{blue}{g} \) over den røde grafen \( \textcolor{red}{f}\text{,} \) så eksporten er større enn importen når: \[ 2{,}8 < x < 46{,}4 \]Det er fra slutten av 1982 til våren 2026. Etter det vokser importen, som er eksponentiell, forbi den lineære eksporten. Modellene bygger på tall fram til 2018, så hvor lenge overskuddet varer, er usikkert.

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der produktet blir over 60. Vi lar programmet kaste terningen to ganger svært mange ganger og telle.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive et kast som en funksjon, og en løkke med en teller.

1. Forklar programmet Programmet står i svaret, med utskriften fra én kjøring. Linje 3 setter \( {n = 10}\text{.} \) Funksjonen \( \texttt{kast()} \) i linje 5 til 11 kaster terningen to ganger med \( {\texttt{randint(1, n + 1)}}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får tallene 1 til \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Funksjonen returnerer produktet \( X\text{.} \)

2. Tell forsøkene med produkt over 60 Løkka i linje 16 til 20 kaster \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) ganger og øker telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_60}} \) med 1 hver gang \( {X > 60}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen: \[ P(X > 60) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall over } 60}}{\textcolor{red}{\text{antall forsøk}}} \]Linje 22 ganger også med 100, så programmet skriver ut andelen i prosent. Utskriften viser at produktet ble over 60 i omtrent \( 13{,}0\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 13\,\%\text{.} \)

Kontroll: Teller vi alle de 100 like sannsynlige utfallene, har 13 av dem produkt over 60, så \( {P(X > 60) = \dfrac{13}{100} = 0{,}13}\text{.} \)

Jo flere sider terningen har, jo større blir \( {P(X > 60)}\text{.} \) Vi lar et program regne ut sannsynligheten for \( {n = 1, 2, 3} \) og så videre, og stoppe første gang den er større enn 0,5.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive løkker som går gjennom alle utfallene, og en while-løkke som stopper når et krav er oppfylt.

1. Skriv programmet Alle de \( n^2 \) parene av kast er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(X > 60) = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{gunstige par}}}{\textcolor{red}{n^2}} \]De gunstige parene er de med produkt over 60. For \( {n = 17} \) er sannsynligheten bare litt over 0,5, og da kan en simulering med for få kast gi feil svar. Vi teller derfor alle parene i stedet for å simulere. Her er programmet, med utskriften:

2. Forklar programmet Funksjonen \( \texttt{sannsynlighet(n)} \) i linje 1 til 9 går gjennom alle parene med to løkker. \( {\texttt{range(1, n + 1)}} \) gir tallene 1 til \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Funksjonen teller parene med produkt over 60 i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_60}} \) og deler på \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \)

While-løkka i linje 13 og 14 øker \( n \) med 1 så lenge sannsynligheten er 0,5 eller mindre, som i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Den stopper på \( {n = 17}\text{.} \) Linje 17 og 18 skriver ut sannsynligheten for \( {n = 16}\text{,} \) \( {\dfrac{119}{256} \approx 0{,}465}\text{,} \) og for \( {n = 17}\text{,} \) \( {\dfrac{146}{289} \approx 0{,}505}\text{.} \)

Vi setter \( {t = 24} \) inn i modellen.

1. Sett inn i modellen Vi setter \( {t = \textcolor{blue}{24}} \) inn i \( f(t)\text{.} \) Med tasten for \( e^x \) på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{24}) &= 100 \cdot e^{-0{,}012 \cdot \textcolor{blue}{24}} \\ &= 100 \cdot e^{-0{,}288} \approx 74{,}98 \end{aligned} \]Det er igjen omtrent 75 av de 100 mg, altså omtrent 75 %.

1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut \( f(24) \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 100*e^(-0.012t) f(24)

CAS gir \( {f(24) \approx 74{,}9762}\text{.} \)

Vi bruker \( {f(24) \approx 75{,}0} \) mg fra a).

Hver morgen tar Arnt en ny tablett, og da øker mengden med 100 mg med én gang. Vi ser på \( g \) rett før og rett etter at han tar den andre tabletten, når \( {t = 24}\text{.} \)

1. Se på den andre tabletten Rett før \( {t = 24} \) har han bare den første tabletten i kroppen, og i a) fant vi at det da er igjen omtrent 75,0 mg. Når han tar den andre tabletten, kommer det 100 mg til: \[ \begin{aligned} \lim_{t \to 24^-} g(t) &\approx \textcolor{blue}{75{,}0} \\ g(24) &\approx \textcolor{blue}{75{,}0} + \textcolor{red}{100} = 175{,}0 \end{aligned} \]

2. Avgjør om g er kontinuerlig \( g \) er kontinuerlig i \( {t = 24} \) bare hvis grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{t \to 24^-} g(t) = \lim_{t \to 24^+} g(t) = g(24) \]

Her er grenseverdien fra venstre omtrent 75,0, mens \( {g(24) \approx 175{,}0}\text{.} \) Grafen gjør et sprang på 100 mg, som grafen i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Det samme skjer hver morgen, når \( {t = 48}\text{,} \) \( {t = 72} \) og så videre. \( g \) er derfor ikke kontinuerlig.

Den sjette tabletten tar han 5 døgn, altså 120 timer, etter den første. Like før har han igjen litt av hver av de fem første tablettene, og vi legger restene sammen.

1. Finn tiden for hver tablett Han tar de fem første tablettene når \( {t = 0}\text{,} \) 24, 48, 72 og 96. Like før \( {t = 120} \) har de vært i kroppen i \( \textcolor{blue}{120}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{96}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{72}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{48} \) og \( \textcolor{blue}{24} \) timer.

2. Legg sammen restene Av hver tablett er det igjen \( f(\text{antall timer i kroppen})\text{,} \) så like før den sjette tabletten har han: \[ \begin{aligned} &f(\textcolor{blue}{120}) + f(\textcolor{blue}{96}) + f(\textcolor{blue}{72}) \\ &\quad + f(\textcolor{blue}{48}) + f(\textcolor{blue}{24}) \\ &\approx 23{,}69 + 31{,}60 + 42{,}15 \\ &\quad + 56{,}21 + 74{,}98 \\ &\approx 228{,}6 \end{aligned} \]

1. Legg sammen restene i CAS Restene er \( f(24k) \) for \( {k = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) der \( 24k \) er timene tabletten har vært i kroppen. Vi legger dem sammen med Sum og knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 100*e^(-0.012t) Sum(f(24k), k, 1, 5)

CAS gir \( 228{,}6309\text{.} \)

Mengden er størst rett etter hver tablett. Over lang tid nærmer den seg en mengde der det forsvinner like mye i løpet av et døgn som en tablett tilfører.

1. Finn andelen som er igjen Etter 24 timer er andelen som er igjen av virkestoffet: \[ \textcolor{red}{q} = e^{-0{,}012 \cdot 24} = e^{-0{,}288} \approx \textcolor{red}{0{,}7498} \]

Har Arnt \( \textcolor{blue}{M} \) mg rett etter en tablett, har han \( {\textcolor{red}{q} \cdot \textcolor{blue}{M}} \) mg neste morgen, og \( {\textcolor{red}{q} \cdot \textcolor{blue}{M} + 100} \) mg rett etter neste tablett. Rett etter de tre første tablettene er det 100, 175,0 og 231,2 mg. Mengden vokser, men stadig mindre.

2. Finn mengden over lang tid Over lang tid blir mengden rett etter en tablett nesten den samme hver morgen. Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{M} &= \textcolor{red}{q} \cdot \textcolor{blue}{M} + 100 \\ \textcolor{blue}{M}(1 - \textcolor{red}{q}) &= 100 \\ \textcolor{blue}{M} &= \dfrac{100}{1 - e^{-0{,}288}} \approx 399{,}6 \end{aligned} \]Mengden kommer stadig nærmere 399,6 mg, men blir aldri større. Er den mindre enn \( {\dfrac{100}{1 - \textcolor{red}{q}}} \) rett etter en tablett, er den det også rett etter neste, fordi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{q} \cdot \textcolor{blue}{M} + 100 &< \textcolor{red}{q} \cdot \dfrac{100}{1 - \textcolor{red}{q}} + 100 \\ &= \dfrac{100}{1 - \textcolor{red}{q}} \end{aligned} \]Den første tabletten gir 100 mg, som er mindre, så mengden er alltid under 399,6 mg.

1. Legg sammen alle restene i CAS Rett etter en tablett har Arnt 100 mg fra den nye tabletten og \( f(24)\text{,} \) \( f(48) \) og så videre igjen av de tidligere. Over lang tid tar vi med alle leddene \( f(24k)\text{,} \) fra \( {k = 0}\text{,} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 100*e^(-0.012t) Sum(f(24k), k, 0, ∞)

CAS gir \( 399{,}6189\text{.} \)

Vi deriverer \( f \) og ser hvilke verdier \( f'(x) \) kan ha. Likningen \( {f'(x) = k} \) har løsning når \( k \) er en av dem.

1. Deriver f \( {2x + 5} \) derivert blir \( \underline{2}\text{.} \) Brøken deriverer vi med kvotientregelen, som forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{x - 1}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 1}) - \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 1})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{1}{(x - 1)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} \quad \text{for } x \neq 1 \]

2. Sett den deriverte lik k Vi setter \( {f'(x) = k} \) og samler brøken på én side: \[ \begin{aligned} 2 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x - 1)^2} &= 2 - k \end{aligned} \]

\( {(x - 1)^2} \) er positiv for alle \( {x \neq 1}\text{,} \) så venstresiden er alltid positiv, og den kan bli et hvilket som helst positivt tall. Likningen har derfor løsning når \( {2 - k > 0}\text{,} \) altså når \( {k < 2}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} (x - 1)^2 &= \dfrac{1}{2 - k} \\ x &= 1 \pm \dfrac{1}{\sqrt{2 - k}} \end{aligned} \]

Vi bruker løsningene av \( {f'(x) = k} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi velger noen verdier av \( k \) som er mindre enn 2, finner de to løsningene og ser hvor de ligger i forhold til hverandre.

1. Velg noen verdier av k I a) fant vi at \( {f'(x) = k} \) har løsningene: \[ x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{2 - k}}} \quad \text{når } k < 2 \]

Vi velger \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = -2} \) og \( {k = \dfrac{7}{4}}\text{,} \) som gir kvadratrøtter som går opp: \[ \begin{aligned} k = 1\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{1} \\ k = -2\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ k = \dfrac{7}{4}\text{:} \quad & x = \textcolor{blue}{1} \pm \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Løsningene er \( 0 \) og \( 2\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) og \( {-1} \) og \( 3\text{.} \)

2. Beskriv symmetrien For hver av de tre verdiene ligger løsningene like langt fra \( \textcolor{blue}{1} \) på hver side. Det gjelder alle \( {k < 2}\text{,} \) fordi løsningene er \( \textcolor{blue}{1} \) pluss og minus det samme tallet, \( {\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{2 - k}}}}\text{.} \) Løsningene ligger altså symmetrisk om linja \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) som er den loddrette asymptoten til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Jo nærmere \( k \) er 2, jo lenger fra hverandre ligger de to løsningene. Andre valg av \( k \) gir den samme symmetrien.

Vi deriverer \( g \) på samme måte som \( f \) i a), og ser når likningen \( {g'(x) = 4} \) har løsning.

1. Deriver g \( {a \cdot x + b} \) derivert blir \( a\text{.} \) Med kvotientregelen, \( {\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}}\text{,} \) med \( {u = 1} \) og \( {v = x + d}\text{,} \) er \( {\left(\dfrac{1}{x + d}\right)' = -\dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{,} \) som i videoen Kvotientregelen. Det gir: \[ g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2} \quad \text{for } x \neq -d \]

2. Sett den deriverte lik 4 \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 4 \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= \textcolor{blue}{a} - 4 \end{aligned} \]Venstresiden er alltid positiv, og den kan bli et hvilket som helst positivt tall. Likningen har derfor løsning når \( {\textcolor{blue}{a} - 4 > 0}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} > 4}\text{,} \) uansett hva \( b \) og \( d \) er.

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), nå med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med \( {a = 3} \) ser vi for hvilke \( k \) likningen \( {g'(x) = k} \) har løsninger, og hvor løsningene ligger, som for \( f \) i a) og b).

1. Løs likningen I c) fant vi \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Med \( {a = 3} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2} &= k \\ \dfrac{1}{(x + d)^2} &= 3 - k \end{aligned} \]Venstresiden er alltid positiv, så likningen har løsning bare når \( {k < 3}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} (x + d)^2 &= \dfrac{1}{3 - k} \\ x &= \textcolor{blue}{-d} \pm \textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}} \end{aligned} \]

2. Beskriv løsningene For \( {k < 3} \) er det to løsninger. De ligger like langt, \( {\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{3 - k}}}}\text{,} \) fra \( {\textcolor{blue}{-d}} \) på hver side, altså symmetrisk om linja \( {x = \textcolor{blue}{-d}}\text{,} \) den loddrette asymptoten til \( g\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. For eksempel gir \( {k = 2} \) løsningene \( {x = \textcolor{blue}{-d} - \textcolor{red}{1}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{-d} + \textcolor{red}{1}}\text{.} \)

Jo nærmere \( k \) er 3, jo lenger fra hverandre ligger løsningene. For \( {k \ge 3} \) er det ingen løsning. Tallet \( b \) påvirker ikke løsningene, fordi det forsvinner når vi deriverer.

Vi bruker \( {g'(x) = a - \dfrac{1}{(x + d)^2}} \) fra c), med \( {a = 3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kravet \( {g'(-1) = g'(5)} \) gir en likning for \( d\text{,} \) og så gir \( {g(1) = 7} \) tallet \( b\text{.} \)

1. Bruk kravet til den deriverte Med \( {a = 3} \) er \( {g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x + d)^2}}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -1} \) og \( {x = 5}\text{,} \) trekker fra 3 på begge sider og snur brøkene: \[ \begin{aligned} 3 - \dfrac{1}{(d - 1)^2} &= 3 - \dfrac{1}{(d + 5)^2} \\ (d - 1)^2 &= (d + 5)^2 \\ d^2 - 2d + 1 &= d^2 + 10d + 25 \\ -12d &= 24 \\ d &= \textcolor{blue}{-2} \end{aligned} \]Det passer med d): \( {-1} \) og \( 5 \) ligger like langt fra \( {2 = -d} \) på hver side.

2. Bruk kravet til funksjonsverdien Med \( {d = \textcolor{blue}{-2}} \) er \( {g(x) = 3x + b + \dfrac{1}{x \textcolor{blue}{{}- 2}}}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot 1 + b + \dfrac{1}{1 \textcolor{blue}{{}- 2}} &= 7 \\ 3 + b - 1 &= 7 \\ b &= \textcolor{red}{5} \end{aligned} \]

1. Løs kravene i CAS Vi skriver inn \( g \) med \( {a = 3} \) og løser de to kravene i CAS, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := 3x + b + 1/(x + d) Løs({g'(-1) = g'(5), g(1) = 7}, {b, d})

CAS gir \( {b = 5} \) og \( {d = -2}\text{.} \)