Eksamensoppgaver etter tema

Hvert år blir beløpet ganget med vekstfaktoren 1,03. Vi setter opp en likning for beløpet etter 8 år og løser den for beløpet Per setter inn.

1. Sett opp likningen 1:51 Med 3 % rente har Per 100 % + 3 % av beløpet etter ett år. Vekstfaktoren er derfor: \[ V = 1 + \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{1{,}03} \]

Hvert år ganges beløpet med vekstfaktoren, så etter \( x \) år er det ganget med \( \textcolor{blue}{1{,}03}^x\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Per setter inn \( \textcolor{red}{b} \) kroner og skal ha \( 30\,000 \) kroner etter 8 år: \[ \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^8 = 30\,000 \]

2. Løs for beløpet Vi deler begge sider på \( \textcolor{blue}{1{,}03}^8\text{:} \) \[ \textcolor{red}{b} = \dfrac{30\,000}{\textcolor{blue}{1{,}03}^8} \approx 23\,682{,}28 \]

1. Løs likningen i CAS 0:30 Vi løser likningen \( {b \cdot 1{,}03^8 = 30\,000} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(b*1.03^8 = 30000, b)

CAS gir \( {b \approx 23\,682{,}277}\text{,} \) altså omtrent 23 682,28 kroner.

Vi skriver opp beløpene til Per og Kåre etter \( x \) år. Er påstanden riktig, har Per doblet beløpet sitt etter \( 2x \) år når Kåre har doblet sitt etter \( x \) år.

1. Skriv opp beløpene 0:09 Begge setter inn beløpet \( b\text{.} \) Med vekstfaktorene \( \textcolor{blue}{1{,}03} \) og \( \textcolor{red}{1{,}06} \) har de etter \( x \) år: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Per: }} & b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x \\ \textcolor{red}{\text{Kåre: }} & b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]

2. Sett opp påstanden som en likning 0:43 La Kåre ha doblet beløpet sitt etter \( x \) år. Ifølge påstanden har Per da doblet sitt etter \( 2x \) år, og de har begge \( 2b\text{.} \) Det gir likningen: \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x \]

3. Sammenlign vekstfaktorene 1:56 Vi deler på \( b\text{.} \) En potens opphøyd i en ny potens gir produktet av eksponentene, \( {(p^m)^n = p^{m \cdot n}}\text{,} \) som i videoen Flere regneregler med Potenser. Da er \( {\textcolor{blue}{1{,}03}^{2x} = (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{1{,}03}^2)^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \\ 1{,}0609^x &= \textcolor{red}{1{,}06}^x \end{aligned} \]Siden \( {1{,}0609 > 1{,}06}\text{,} \) er venstresiden større enn høyresiden for alle \( {x > 0}\text{.} \) Likningen stemmer aldri: når det har gått dobbelt så lang tid, har Per mer enn doblet beløpet sitt. Påstanden er derfor ikke riktig.

Alternativ metode: Regn ut doblingstidene Beløpet er doblet når vekstfaktoren opphøyd i antall år er 2. Med \( \lg \) på begge sider får vi doblingstidene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}03}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}03} \approx 23{,}4 \\ \textcolor{red}{1{,}06}^x = 2 \;&\Rightarrow\; x = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}06} \approx 11{,}9 \end{aligned} \]Dobbelt så lang tid som Kåre ville vært \( {2 \cdot 11{,}9 = 23{,}8} \) år, ikke 23,4. Metoden viser også hvor stor forskjellen er.

Til sammen satte de inn \( 2b\text{,} \) så dobbelt så mye er \( 4b\text{.} \) Vi setter opp en likning for når summen av beløpene er \( 4b\text{,} \) og løser den i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen kan ikke løses med logaritmer, fordi grunntallene er ulike. Uten PC kan vi prøve oss fram med kalkulatoren: etter 15 år er summen \( 3{,}95b \) og etter 16 år \( 4{,}15b\text{,} \) så svaret ligger mellom 15 og 16 år.

1. Sett opp likningen 0:16 Etter \( x \) år har Per \( {b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x} \) og Kåre \( {b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x}\text{.} \) De satte inn \( 2b \) til sammen, og dobbelt så mye er \( 4b\text{:} \) \[ b \cdot \textcolor{blue}{1{,}03}^x + b \cdot \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4b \]

Faktoriserer vi ut \( b \) og deler på \( b\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}03}^x + \textcolor{red}{1{,}06}^x = 4 \]

2. Løs likningen i CAS 2:33 Vi løser likningen numerisk med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(1.03^x + 1.06^x = 4, x = 15)

CAS gir \( {x \approx 15{,}2434}\text{.} \) Det går omtrent 15,2 år, altså i løpet av det 16. året, før de til sammen har dobbelt så mye som de satte inn.