Eksamensoppgaver etter tema

Den gjennomsnittlige årlige veksten er den faste prosenten som gir den samme lønnen i 2022 hvis lønnen vokser med samme prosent hvert år. Vi finner vekstfaktoren som fører lønnen fra 2008 til 2022.

1. Sett opp likningen Vokser lønnen med samme prosent hvert år, ganges den med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{v} \) hvert år, som i videoen Vekstfaktor. Fra 2008 til 2022 er det \( {2022 - 2008 = 14} \) år, så: \[ 272{,}55 \cdot \textcolor{blue}{v}^{14} = 340{,}10 \]

2. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 272{,}55\text{.} \) Så tar vi fjortenderoten på begge sider, som vi kan skrive som en potens, \( {\sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v}^{14} &= \dfrac{340{,}10}{272{,}55} \\ \textcolor{blue}{v} &= \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{\tfrac{1}{14}} \approx 1{,}0159 \end{aligned} \]

Vekstfaktoren er \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) der \( p \) er prosenten. Siden \( {\textcolor{blue}{1{,}0159} = 1 + 0{,}0159}\text{,} \) vokste lønnen med omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {272{,}55 \cdot v^{14} = 340{,}10} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(272.55*v^14 = 340.10, v)

CAS gir \( {v \approx -1{,}0159} \) eller \( {v \approx 1{,}0159}\text{.} \) En vekstfaktor er positiv, så \( {v \approx 1{,}0159}\text{,} \) altså omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

En eksponentiell funksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør årstallene om til år etter 2008 og bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, med vekstfaktoren fra a): \( {g(x) = 272{,}55 \cdot 1{,}0159^x}\text{.} \)

1. Gjør årstallene om til x \( x \) er antall år etter 2008, så 2008 blir \( {x = 0}\text{,} \) 2010 blir \( {x = 2}\text{,} \) 2013 blir \( {x = 5} \) og så videre, til 2022, som blir \( {x = 14}\text{.} \)

Vi skriver \( x \) i kolonne A og timelønnen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ g(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{277{,}83}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0155}}\text{.} \) Ifølge modellen vokser timelønnen med omtrent \( 1{,}55\,\% \) per år.

I c) regner vi videre med tallene i svaret, både med kalkulator og i regnearket.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}02}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}02\text{,} \) blir den samlede lønnen til Per i c) omtrent 8,17 millioner kroner i stedet for 7,91.

Vi bruker modellen \( g \) fra b) for timelønnen til Per. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den samlede lønnen er summen av årslønnene fra 2008 til 2022, altså 15 år. Hvert år er årslønnen timelønnen ganget med 1700 timer.

1. Skriv opp Amalies årslønn Amalies timelønn vokser med 2,3 prosent per år, så vekstfaktoren er \( \textcolor{green}{1{,}023}\text{.} \) Etter \( n \) år er timelønnen startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Årslønnen \( n \) år etter 2008 er da: \[ 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \textcolor{green}{1{,}023}^n \]

2. Legg sammen de 15 årene Fra 2008 til 2022 går \( n \) fra \( 0 \) til \( 14\text{.} \) Vi setter \( {1700 \cdot 272{,}55 = 463\,335} \) utenfor og legger sammen potensene på kalkulatoren: \[ 1 + \textcolor{green}{1{,}023} + \cdots + \textcolor{green}{1{,}023}^{14} \approx 17{,}6732 \]

Med alle desimalene på kalkulatoren gir det Amalies samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_A &= 463\,335 \cdot 17{,}6732\ldots \\ S_A &\approx 8\,188\,601 \end{aligned} \]

3. Regn ut Pers samlede lønn Pers timelønn følger modellen fra b): \[ g(x) \approx \textcolor{red}{277{,}83} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0155}^x \]

Årslønnen \( n \) år etter 2008 er \( {1700 \cdot g(n)}\text{,} \) og \( {1700 \cdot 277{,}83 = 472\,311}\text{.} \) Vi legger sammen på samme måte: \[ \begin{aligned} &1 + \textcolor{blue}{1{,}0155} + \cdots + \textcolor{blue}{1{,}0155}^{14} \\ &\approx 16{,}7421 \end{aligned} \]

Det gir Pers samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_P &\approx 472\,311 \cdot 16{,}7421\ldots \\ S_P &\approx 7\,907\,466 \end{aligned} \]Amalie har altså tjent omtrent 8,19 millioner kroner, og Per omtrent 7,91 millioner kroner.

1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene i kolonne A, med 2008 i A2 og \( {\texttt{=A2+1}} \) i A3, og årslønnene til Amalie og Per i kolonne B og C. I 2008 er årslønnen 1700 timer ganget med timelønnen, og for Per bruker vi modellen fra b) med tallene i svaret, som med kalkulator. Hvert år etter er årslønnen året før ganget med vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{B2:}\quad & \texttt{=1700*272,55} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=1700*}\textcolor{red}{\texttt{277,83}} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2*}\textcolor{green}{\texttt{1,023}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2*}\textcolor{blue}{\texttt{1,0155}} \end{aligned} \]Vi drar A3 til C3 ned til rad 16, altså 2022, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. I B17 og C17 summerer vi med \( {\texttt{=SUMMER(B2:B16)}} \) og \( {\texttt{=SUMMER(C2:C16)}}\text{:} \)

Regnearket gir \( 8\,188\,601 \) kroner for Amalie og \( 7\,907\,466 \) kroner for Per, det samme som med kalkulator, altså omtrent 8,19 og 7,91 millioner kroner.

Vi finner timelønnen til Amalie i 2025. Så finner vi vekstfaktoren som fører timelønnen til Per fra 340,10 kroner i 2022 opp til den samme lønnen på tre år.

1. Finn timelønnen til Amalie i 2025 2025 er \( {2025 - 2008 = 17} \) år etter 2008. Lønnen til Amalie ganges med vekstfaktoren \( 1{,}023 \) hvert år, så i 2025 har hun: \[ 272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx \textcolor{red}{401{,}17} \]

2. Sett opp likningen for Per I 2022 hadde Per \( 340{,}10 \) kroner, som i tabellen. Fra 2022 til 2025 er det 3 år, og lønnen skal ganges med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{v} \) hvert år, som i videoen Vekstfaktor: \[ 340{,}10 \cdot \textcolor{blue}{v}^3 = \textcolor{red}{401{,}17} \]

3. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 340{,}10 \) og tar tredjeroten på begge sider, \( {\sqrt[3]{a} = a^{\tfrac{1}{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= \left(\dfrac{\textcolor{red}{401{,}17}}{340{,}10}\right)^{\tfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{v} &\approx 1{,}0566 \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{blue}{1{,}0566} = 1 + 0{,}0566}\text{,} \) må lønnen til Per gå opp med omtrent \( 5{,}66\,\% \) hvert år.

1. Løs likningen i CAS Vi regner ut lønnen til Amalie i 2025 og løser likningen for \( v \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 272.55*1.023^17 Løs(340.10*v^3 = 272.55*1.023^17, v)

CAS gir \( 401{,}1732 \) kroner for Amalie og \( {v \approx 1{,}0566}\text{.} \) Lønnen til Per må altså gå opp med omtrent \( 5{,}66\,\% \) hvert år.