S1 eksamen våren 2023 – løsningsforslag

Den gjennomsnittlige årlige veksten er den faste prosenten som gir den samme lønnen i 2022 hvis lønnen vokser med samme prosent hvert år. Vi finner vekstfaktoren som fører lønnen fra 2008 til 2022.

1. Sett opp likningen Vokser lønnen med samme prosent hvert år, ganges den med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{v} \) hvert år, som i videoen Vekstfaktor. Fra 2008 til 2022 er det \( {2022 - 2008 = 14} \) år, så: \[ 272{,}55 \cdot \textcolor{blue}{v}^{14} = 340{,}10 \]

2. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 272{,}55\text{.} \) Så tar vi fjortenderoten på begge sider, som vi kan skrive som en potens, \( {\sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v}^{14} &= \dfrac{340{,}10}{272{,}55} \\ \textcolor{blue}{v} &= \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{\tfrac{1}{14}} \approx 1{,}0159 \end{aligned} \]

Vekstfaktoren er \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) der \( p \) er prosenten. Siden \( {\textcolor{blue}{1{,}0159} = 1 + 0{,}0159}\text{,} \) vokste lønnen med omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen \( {272{,}55 \cdot v^{14} = 340{,}10} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(272.55*v^14 = 340.10, v)

CAS gir \( {v \approx -1{,}0159} \) eller \( {v \approx 1{,}0159}\text{.} \) En vekstfaktor er positiv, så \( {v \approx 1{,}0159}\text{,} \) altså omtrent \( 1{,}59\,\% \) per år.

En eksponentiell funksjon har formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør årstallene om til år etter 2008 og bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, med vekstfaktoren fra a): \( {g(x) = 272{,}55 \cdot 1{,}0159^x}\text{.} \)

1. Gjør årstallene om til x \( x \) er antall år etter 2008, så 2008 blir \( {x = 0}\text{,} \) 2010 blir \( {x = 2}\text{,} \) 2013 blir \( {x = 5} \) og så videre, til 2022, som blir \( {x = 14}\text{.} \)

Vi skriver \( x \) i kolonne A og timelønnen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: g(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ g(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{277{,}83}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0155}}\text{.} \) Ifølge modellen vokser timelønnen med omtrent \( 1{,}55\,\% \) per år.

I c) regner vi videre med tallene i svaret, både med kalkulator og i regnearket.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}02}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}02\text{,} \) blir den samlede lønnen til Per i c) omtrent 8,17 millioner kroner i stedet for 7,91.

Vi bruker modellen \( g \) fra b) for timelønnen til Per. Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den samlede lønnen er summen av årslønnene fra 2008 til 2022, altså 15 år. Hvert år er årslønnen timelønnen ganget med 1700 timer.

1. Skriv opp Amalies årslønn Amalies timelønn vokser med 2,3 prosent per år, så vekstfaktoren er \( \textcolor{green}{1{,}023}\text{.} \) Etter \( n \) år er timelønnen startverdien ganget med vekstfaktoren opphøyd i \( n\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Årslønnen \( n \) år etter 2008 er da: \[ 1700 \cdot 272{,}55 \cdot \textcolor{green}{1{,}023}^n \]

2. Legg sammen de 15 årene Fra 2008 til 2022 går \( n \) fra \( 0 \) til \( 14\text{.} \) Vi setter \( {1700 \cdot 272{,}55 = 463\,335} \) utenfor og legger sammen potensene på kalkulatoren: \[ 1 + \textcolor{green}{1{,}023} + \cdots + \textcolor{green}{1{,}023}^{14} \approx 17{,}6732 \]

Med alle desimalene på kalkulatoren gir det Amalies samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_A &= 463\,335 \cdot 17{,}6732\ldots \\ S_A &\approx 8\,188\,601 \end{aligned} \]

3. Regn ut Pers samlede lønn Pers timelønn følger modellen fra b): \[ g(x) \approx \textcolor{red}{277{,}83} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0155}^x \]

Årslønnen \( n \) år etter 2008 er \( {1700 \cdot g(n)}\text{,} \) og \( {1700 \cdot 277{,}83 = 472\,311}\text{.} \) Vi legger sammen på samme måte: \[ \begin{aligned} &1 + \textcolor{blue}{1{,}0155} + \cdots + \textcolor{blue}{1{,}0155}^{14} \\ &\approx 16{,}7421 \end{aligned} \]

Det gir Pers samlede lønn: \[ \begin{aligned} S_P &\approx 472\,311 \cdot 16{,}7421\ldots \\ S_P &\approx 7\,907\,466 \end{aligned} \]Amalie har altså tjent omtrent 8,19 millioner kroner, og Per omtrent 7,91 millioner kroner.

1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene i kolonne A, med 2008 i A2 og \( {\texttt{=A2+1}} \) i A3, og årslønnene til Amalie og Per i kolonne B og C. I 2008 er årslønnen 1700 timer ganget med timelønnen, og for Per bruker vi modellen fra b) med tallene i svaret, som med kalkulator. Hvert år etter er årslønnen året før ganget med vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{B2:}\quad & \texttt{=1700*272,55} \\ \text{C2:}\quad & \texttt{=1700*}\textcolor{red}{\texttt{277,83}} \\ \text{B3:}\quad & \texttt{=B2*}\textcolor{green}{\texttt{1,023}} \\ \text{C3:}\quad & \texttt{=C2*}\textcolor{blue}{\texttt{1,0155}} \end{aligned} \]Vi drar A3 til C3 ned til rad 16, altså 2022, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. I B17 og C17 summerer vi med \( {\texttt{=SUMMER(B2:B16)}} \) og \( {\texttt{=SUMMER(C2:C16)}}\text{:} \)

Regnearket gir \( 8\,188\,601 \) kroner for Amalie og \( 7\,907\,466 \) kroner for Per, det samme som med kalkulator, altså omtrent 8,19 og 7,91 millioner kroner.

Vi finner timelønnen til Amalie i 2025. Så finner vi vekstfaktoren som fører timelønnen til Per fra 340,10 kroner i 2022 opp til den samme lønnen på tre år.

1. Finn timelønnen til Amalie i 2025 2025 er \( {2025 - 2008 = 17} \) år etter 2008. Lønnen til Amalie ganges med vekstfaktoren \( 1{,}023 \) hvert år, så i 2025 har hun: \[ 272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx \textcolor{red}{401{,}17} \]

2. Sett opp likningen for Per I 2022 hadde Per \( 340{,}10 \) kroner, som i tabellen. Fra 2022 til 2025 er det 3 år, og lønnen skal ganges med den samme vekstfaktoren \( \textcolor{blue}{v} \) hvert år, som i videoen Vekstfaktor: \[ 340{,}10 \cdot \textcolor{blue}{v}^3 = \textcolor{red}{401{,}17} \]

3. Løs for vekstfaktoren Vi deler på \( 340{,}10 \) og tar tredjeroten på begge sider, \( {\sqrt[3]{a} = a^{\tfrac{1}{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= \left(\dfrac{\textcolor{red}{401{,}17}}{340{,}10}\right)^{\tfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{v} &\approx 1{,}0566 \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{blue}{1{,}0566} = 1 + 0{,}0566}\text{,} \) må lønnen til Per gå opp med omtrent \( 5{,}66\,\% \) hvert år.

1. Løs likningen i CAS Vi regner ut lønnen til Amalie i 2025 og løser likningen for \( v \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 272.55*1.023^17 Løs(340.10*v^3 = 272.55*1.023^17, v)

CAS gir \( 401{,}1732 \) kroner for Amalie og \( {v \approx 1{,}0566}\text{.} \) Lønnen til Per må altså gå opp med omtrent \( 5{,}66\,\% \) hvert år.

Påstanden skal gjelde for alle \( {x > 0}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( x \) der likheten ikke stemmer, er påstanden usann, så vi prøver med \( {x = e}\text{.} \)

1. Se forskjellen på uttrykkene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^{\textcolor{green}{4}}\right) = \textcolor{green}{4} \cdot \ln x \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Regelen gjelder når eksponenten står inni logaritmen. I \( (\ln x)^4 \) er det hele logaritmen som er opphøyd i fjerde, og da gjelder ikke regelen.

2. Finn et moteksempel En verdi av \( x \) der likheten ikke stemmer, kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi prøver \( {x = e}\text{.} \) Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} (\ln e)^4 &= 1^4 = 1 \\ 4\ln e &= 4 \cdot 1 = 4 \end{aligned} \]Siden \( {1 \neq 4}\text{,} \) stemmer ikke likheten for \( {x = e}\text{,} \) og påstanden er usann. Likheten stemmer bare for enkelte verdier, for eksempel \( {x = 1}\text{,} \) der begge sidene er \( 0\text{.} \)

Et ekstremalpunkt ligger der \( f'(x) \) skifter fortegn. For en fjerdegradsfunksjon er \( f'(x) \) en tredjegradsfunksjon, og vi viser at den alltid skifter fortegn minst én gang.

1. Deriver fjerdegradsfunksjonen En fjerdegradsfunksjon kan skrives som \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + k \]der \( {\textcolor{blue}{a} \neq 0}\text{.} \) Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ f'(x) = 4\textcolor{blue}{a}x^3 + 3bx^2 + 2cx + d \]Den deriverte er en tredjegradsfunksjon.

2. Se hvor den deriverte går Når \( x \) blir stor i tallverdi, bestemmer leddet \( 4\textcolor{blue}{a}x^3 \) fortegnet til \( f'(x)\text{.} \) Er \( {\textcolor{blue}{a} > 0}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f'(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f'(x) &= \infty \end{aligned} \]Er \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) er det omvendt.

\( f' \) er kontinuerlig, så på veien mellom negative og positive verdier må den gå gjennom 0 og skifte fortegn minst én gang, som i videoen Skjærsetningen.

3. Finn ekstremalpunktet Der \( f'(x) \) går fra minus til pluss, synker grafen til \( f \) og stiger så, så \( f \) har et bunnpunkt der. Går \( f'(x) \) fra pluss til minus, har \( f \) et toppunkt. Alle fjerdegradsfunksjoner har altså minst ett ekstremalpunkt, og påstanden er sann.

Vi teller hvor mange av tallene fra 1 til 34 som er mindre enn 18, og hvor mange som er 18 eller mer. Er det like mange, er sannsynlighetene like store.

1. Del tallene i to grupper De naturlige tallene fra 1 til 34 deler seg i to like store grupper: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Mindre enn 18: }} & 1, 2, \ldots, 17 \\ \textcolor{red}{\text{18 eller mer: }} & 18, 19, \ldots, 34 \end{aligned} \]Det er \( \textcolor{blue}{17} \) tall i den første gruppen og \( {34 - 17 = \textcolor{red}{17}} \) i den andre.

2. Regn ut sannsynlighetene Vi trekker tallene ett om gangen, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Skal alle sju være mindre enn 18, må hvert tall komme fra de \( \textcolor{blue}{17} \) små tallene, og for hver trekning er det ett tall mindre igjen: \[ \begin{aligned} &P(\text{alle under 18}) \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{17}}{34} \cdot \dfrac{16}{33} \cdot \dfrac{15}{32} \cdot \dfrac{14}{31} \\ &\quad \cdot \dfrac{13}{30} \cdot \dfrac{12}{29} \cdot \dfrac{11}{28} \approx 0{,}0036 \end{aligned} \]

Ingen under 18 betyr at alle sju er 18 eller mer. Da må hvert tall komme fra de \( \textcolor{red}{17} \) store tallene, og vi får nøyaktig de samme brøkene: \[ \begin{aligned} &P(\text{ingen under 18}) \\ &= P(\text{alle under 18}) \end{aligned} \]Påstanden er derfor sann.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør. De to løkkene går gjennom alle kastene med to terninger, og vi ser hvilke kast telleren \( g \) teller.

1. Les løkkene Linje 1 setter telleren \( g \) til 0. \( \texttt{range(1, 7)} \) gir tallene 1 til 6, fordi det siste tallet ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Løkka i linje 2 går gjennom øynene \( \textcolor{blue}{i} \) på den første terningen, og løkka i linje 3 øynene \( \textcolor{red}{j} \) på den andre. Til sammen går de gjennom alle \( {6 \cdot 6 = 36} \) kastene.

2. Tolk testen og utskriften Linje 4 og 5 øker \( g \) med 1 når \( {\textcolor{blue}{i} + \textcolor{red}{j} \ge 8}\text{.} \) Etter løkkene er \( g \) antall kast der summen av øynene er minst 8, og linje 7 skriver ut: \[ \dfrac{g}{36} = \dfrac{\text{gunstige kast}}{\text{mulige kast}} \]Mona regner altså ut sannsynligheten for at summen av øynene på de to terningene er minst 8.

3. Tell de gunstige kastene Summen 8 får vi på 5 måter: \( (2, 6)\text{,} \) \( (3, 5)\text{,} \) \( (4, 4)\text{,} \) \( (5, 3) \) og \( (6, 2)\text{.} \) Summen 9 får vi på 4 måter, 10 på 3, 11 på 2 og 12 på 1: \[ g = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \]Programmet skriver altså ut \( {\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417}\text{.} \)

Vi bygger videre på programmet til Mona. Tre løkker går gjennom alle kastene med tre terninger, og \( g \) teller kastene der summen er 7 eller 11.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive slike løkker, og på å telle utfallene for hånd, som i kontrollen nedenfor.

1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Løkkene i linje 2 til 4 går gjennom øynene \( \textcolor{blue}{i}\text{,} \) \( \textcolor{red}{j} \) og \( \textcolor{green}{k} \) på de tre terningene, slik de to løkkene til Mona gjør med to terninger. \( \texttt{range(1, 7)} \) gir tallene 1 til 6, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så løkkene går gjennom alle \( {6 \cdot 6 \cdot 6 = 216} \) kastene. Linje 5 og 6 øker telleren \( g \) med 1 når summen er 7 eller 11.

2. Les av utskriften Linje 8 deler antall gunstige kast på antall mulige kast: \[ P(\text{vinne}) = \dfrac{g}{216} \]Programmet skriver ut omtrent \( 0{,}1944\text{,} \) så sannsynligheten for å vinne er omtrent \( 19{,}4\,\%\text{.} \)

Kontroll: Teller vi for hånd, får vi summen 7 på 15 måter og summen 11 på 27 måter. Da er \( {g = 42}\text{,} \) og \( {\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36} \approx 0{,}1944}\text{.} \)

Inntektene er prisen ganget med antall solgte enheter. Vi leser av grafen hvor mange enheter som blir solgt når prisen er 40 kroner.

1. Les av grafen Vi går opp fra \( {p = 40} \) til grafen og bortover til den loddrette aksen. Linja treffer rutenettet én tynn rute over 2000: \[ e(\textcolor{blue}{40}) = \textcolor{red}{2100} \]

2. Regn ut inntektene Inntektene er prisen per enhet ganget med antall solgte enheter, slik inntekten for sofaene i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er prisen per sofa ganget med antall sofaer. Med \( \textcolor{red}{2100} \) enheter til \( \textcolor{blue}{40} \) kroner er: \[ I = \textcolor{blue}{40} \cdot \textcolor{red}{2100} = 84\,000 \]

Vi finner et uttrykk for \( e(p) \) fra grafen og setter opp inntektene \( {I(p) = p \cdot e(p)}\text{.} \) Så løser vi likningen \( {I(p) = 75\,000}\text{.} \)

1. Finn uttrykket for den rette linja Grafen er en rett linje. Den skjærer den loddrette aksen i \( 4500 \) og går gjennom rutekrysset \( (50, 1500)\text{.} \) Stigningstallet er endringen i \( e \) delt på endringen i \( p\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta e}{\Delta p} = \dfrac{1500 - 4500}{50 - 0} = -60 \]Med stigningstallet \( {-60} \) og konstantleddet \( 4500 \) er \( {e(p) = -60p + 4500}\text{.} \)

2. Sett opp inntektene Inntektene er prisen ganget med antall solgte enheter: \[ \begin{aligned} I(p) &= p \cdot e(p) = p(4500 - 60p) \\ I(p) &= -60p^2 + 4500p \end{aligned} \]

3. Løs likningen Vi setter \( {I(p) = 75\,000}\text{,} \) samler alt på én side og deler på \( {-60}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -60p^2 + 4500p &= 75\,000 \\ p^2 - 75p + 1250 &= 0 \end{aligned} \]

Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}p^2 + \textcolor{red}{b}p + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ p = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-75}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1250}}\text{,} \) så \( {-\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{\textcolor{red}{75} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-75})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1250}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ p &= \dfrac{75 \pm \sqrt{625}}{2} = \dfrac{75 \pm 25}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {p = 25} \) eller \( {p = 50}\text{.} \) Begge prisene gir \( 75\,000 \) kroner: \( {25 \cdot 3000 = 75\,000} \) og \( {50 \cdot 1500 = 75\,000}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Med \( {e(p) = 4500 - 60p} \) fra kalkulatorruten løser vi \( {p \cdot e(p) = 75\,000} \) i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(p*(4500 - 60p) = 75000, p)

CAS gir \( {p = 25} \) eller \( {p = 50}\text{.} \)

Vi bruker inntektene \( I(p) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Inntektene er størst i toppunktet til \( I\text{,} \) der den deriverte er null.

1. Deriver inntektene I b) fant vi: \[ I(p) = -60p^2 + 4500p \]

Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(p) = -120p + 4500 \]

2. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {I'(p) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -120p + 4500 &= 0 \\ p &= \dfrac{4500}{120} = \textcolor{blue}{37{,}5} \end{aligned} \]Grafen til \( I \) er en parabel som vender ned, fordi \( {-60 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut inntektene Med prisen \( \textcolor{blue}{37{,}5} \) kroner selges \( {4500 - 60 \cdot \textcolor{blue}{37{,}5} = \textcolor{red}{2250}} \) enheter: \[ I(\textcolor{blue}{37{,}5}) = \textcolor{blue}{37{,}5} \cdot \textcolor{red}{2250} = 84\,375 \]

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I \) med \( x \) for prisen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: I(x) = x*(4500 - 60x) T = Ekstremalpunkt(I)

Toppunktet er \( {T = (37{,}5,\ 84\,375)}\text{.} \) Prisen \( 37{,}50 \) kroner gir størst inntekter.

Hver billett blir brukt eller ikke, med den samme sannsynligheten 0,45, og de som får billetter, påvirker ikke hverandre. Antall brukte billetter er derfor binomisk fordelt.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke legge sammen så mange sannsynligheter. Øv heller på å kjenne igjen en binomisk fordeling, og på å regne den ut med formelen når tallene er små.

1. Kjenn igjen binomisk fordeling La \( X \) være antall billetter som blir brukt. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: hver billett blir brukt eller ikke, vi har et fast antall forsøk, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1300}} \) billetter, sannsynligheten er den samme for hver billett, \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}45}}\text{,} \) og de som får billetter, påvirker ikke hverandre.

\( X \) er altså binomisk fordelt, og sannsynligheten for nøyaktig \( k \) brukte billetter er: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut i GeoGebra «Minst 600» er det motsatte av høyst 599: \[ P(X \ge 600) = 1 - P(X \le 599) \]

I CAS gir FordelingBinomial med true sannsynligheten for høyst 599. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(1300, 0.45, 599, true)

CAS gir \( {P(X \ge 600) \approx 0{,}2094}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi bruker den binomiske fordelingen fra a), med \( {p = 0{,}45}\text{.} \)

Jo flere billetter de deler ut, jo større blir sannsynligheten for at minst 600 blir brukt. Vi prøver oss fram med antall billetter \( n \) til sannsynligheten blir over 0,95.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke legge sammen så mange sannsynligheter. Øv heller på å skrive «minst 600» som 1 minus «høyst 599», og på å prøve deg fram med formelen når tallene er små.

1. Finn et sted å starte Antall brukte billetter er binomisk fordelt med \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}45}}\text{,} \) som i a). Med \( \textcolor{blue}{n} \) billetter blir i gjennomsnitt \( {0{,}45 \cdot \textcolor{blue}{n}} \) brukt. Skal minst 600 bli brukt med stor sannsynlighet, må \( {0{,}45 \cdot \textcolor{blue}{n}} \) være en god del over 600, altså \( \textcolor{blue}{n} \) en god del over \( {\dfrac{600}{0{,}45} \approx 1333}\text{.} \)

2. Prøv deg fram i CAS Vi regner ut sannsynligheten for minst 600, \( {1 - P(X \le 599)}\text{,} \) for flere verdier av \( \textcolor{blue}{n}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(1350, 0.45, 599, true) 1 - FordelingBinomial(1400, 0.45, 599, true) 1 - FordelingBinomial(1401, 0.45, 599, true)

Med 1350 billetter er sannsynligheten bare omtrent 0,6689. Med 1400 er den omtrent 0,9495, som er under 0,95, og med 1401 er den omtrent 0,9519. Sannsynligheten vokser når \( \textcolor{blue}{n} \) øker, så de må dele ut minst 1401 billetter.

Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen og får \( \lg I \) alene. Så opphøyer vi 10 i begge sider for å få \( I \) ut av logaritmen.

1. Få lg I alene Vi setter \( {L = 130}\text{,} \) trekker fra 120 og deler på 10: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \textcolor{green}{\lg I} &= 130 \\ 10 \cdot \textcolor{green}{\lg I} &= 10 \\ \textcolor{green}{\lg I} &= 1 \end{aligned} \]

2. Fjern logaritmen Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg I \) tallet vi må opphøye 10 i for å få \( I\text{:} \) \[ 10^{\textcolor{green}{\lg I}} = I \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Opphøyer vi 10 i begge sider av \( {\textcolor{green}{\lg I} = 1}\text{,} \) får vi: \[ I = 10^1 = 10 \]Lydintensiteten er altså \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{.} \)

Vi kaller den gamle lydintensiteten \( I_1 \) og den nye \( I_2\text{,} \) og krever at den nye lydstyrken er 2 dB høyere enn den gamle. Logaritmereglene gir da forholdet \( \dfrac{I_2}{I_1}\text{.} \)

1. Sett opp likningen Den nye lydstyrken er den gamle pluss 2 dB: \[ 120 + 10\lg \textcolor{red}{I_2} = 120 + 10\lg \textcolor{blue}{I_1} + 2 \]

Vi trekker fra 120 på begge sider, deler på 10 og samler logaritmene på venstre side: \[ \lg \textcolor{red}{I_2} - \lg \textcolor{blue}{I_1} = 0{,}2 \]

2. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \lg \textcolor{red}{a} - \lg \textcolor{blue}{b} = \lg \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \quad \text{for } a, b > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Med \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{I_2}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{I_1}} \) gir det \( {\lg \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 0{,}2}\text{.} \) Opphøyer vi 10 i begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585 \]

3. Regn om til prosent Lydintensiteten blir altså ganget med vekstfaktoren \( 1{,}585\text{,} \) uansett hvor stor den var fra før. Vekstfaktoren er \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) der \( p \) er prosenten, så: \[ 1{,}585 = 1 + 0{,}585 \]Lydintensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen for \( I_2 \) i CAS, og regner ut faktoren i rad 2 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(I_2) = 120 + 10*lg(I_1) + 2, I_2) 10^(1/5)

CAS gir \( {I_2 = \sqrt[5]{10} \cdot I_1 \approx 1{,}5849 \cdot I_1}\text{.} \) Lydintensiteten øker altså med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

Vi bruker at 130 dB svarer til \( {I = 10\,\text{W}/\text{m}^2}\text{,} \) som vi fant i a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner effekten \( E \) fra opplysningen om 140 dB på 50 m. Så finner vi avstanden der \( {I = 10}\text{,} \) altså der lydstyrken er 130 dB, og lenger unna er den lavere.

1. Finn intensiteten 50 m fra flyet Med \( {L = 140} \) får vi \( \lg I \) alene som i a), og opphøyer 10 i begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \lg I &= 140 \\ \lg I &= 2 \\ I &= 10^2 = 100 \end{aligned} \]

2. Finn effekten Vi setter \( {I = 100} \) og \( {r = 50} \) inn i formelen for \( I \) og løser for \( \textcolor{red}{E}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{E}}{4\pi \cdot 50^2} &= 100 \\ \textcolor{red}{E} &= 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 \\ \textcolor{red}{E} &= \textcolor{red}{1\,000\,000\pi} \end{aligned} \]

3. Finn avstanden \( \lg \) er voksende, så lydstyrken er lavere enn 130 dB når \( {I < 10}\text{.} \) Vi finner først avstanden \( \textcolor{blue}{r} \) der \( {I = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{1\,000\,000\pi}}{4\pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2} &= 10 \\ \textcolor{blue}{r}^2 &= \dfrac{1\,000\,000}{40} = 25\,000 \\ \textcolor{blue}{r} &= \sqrt{25\,000} \\ \textcolor{blue}{r} &= 50\sqrt{10} \approx 158{,}1 \end{aligned} \]Avstanden er positiv, så vi bruker bare den positive roten. Jo lenger unna flyet, jo mindre blir \( I\text{,} \) så lydstyrken er lavere enn 130 dB når avstanden er mer enn \( {50\sqrt{10} \approx 158{,}1} \) m.

1. Løs likningene i CAS Rad 1 finner effekten \( E \) fra 140 dB på 50 m, og rad 2 avstanden der lydstyrken er 130 dB. Rad 3 regner ut \( 50\sqrt{10} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(E/(4π*50^2)) = 140, E) Løs(120 + 10*lg(1000000π/(4π*r^2)) = 130, r) 50*sqrt(10)

CAS gir \( {E = 1\,000\,000\pi}\text{,} \) og \( {r = -50\sqrt{10}} \) eller \( {r = 50\sqrt{10}}\text{.} \) Avstanden er positiv, så \( {r = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1139}\text{.} \) Lydstyrken er lavere enn 130 dB når avstanden er mer enn omtrent \( 158{,}1 \) m.