Eksamensoppgaver etter tema

Søkerne trekkes uten tilbakelegging fra 80 søkere, der 66 er 16 år eller eldre. Antallet av dem blant de 10 som trekkes, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Av de 80 søkerne er \( {80 - 14 = \textcolor{blue}{66}} \) søkere 16 år eller eldre. Vi kaller antallet av dem blant de 10 som trekkes, for \( X\text{.} \)

I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan den samme søkeren ikke trekkes to ganger, så sannsynligheten endrer seg litt for hver søker, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{10 - k}}{\binom{80}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{blue}{66} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{red}{14} \) under 16 år på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle 80 på.

2. Legg sammen 8, 9 og 10 «Minst 8» betyr 8, 9 eller 10. Med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 8) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{8} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{2}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3174 \\ P(X = 9) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{9} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{1}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3147 \\ P(X = 10) &= \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{10} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{0}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}1281 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 8) \approx 0{,}7603 \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 80, antall treff 66, utvalget 10 og true til slutt gir \( {P(X \le 7)}\text{.} \) Vi regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 10, 7, true)

CAS gir \( {P(X \ge 8) \approx 0{,}7603}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med hypergeometrisk fordeling, gir det samme.

Nå er antallet som intervjues, \( n\text{,} \) ukjent. Vi tester verdier av \( n \) til sannsynligheten for minst 10 søkere som er 16 år eller eldre, blir minst \( 0{,}90\text{.} \)

1. Sett opp kravet Med \( n \) søkere er \( X \) hypergeometrisk fordelt som i a), med \( n \) i stedet for 10: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{66}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{14}}{n - k}}{\binom{80}{n}} \]

Vi skal finne den minste \( n \) der: \[ P(X \ge 10) \ge 0{,}90 \]Jo flere som intervjues, jo større blir sannsynligheten, så vi tester oss fram ved å endre \( n\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

2. Test 13 og 14 søkere I snitt er \( 82{,}5\,\% \) av søkerne 16 år eller eldre (66 av 80), så med 12 søkere venter vi bare \( {12 \cdot 0{,}825 = 9{,}9} \) av dem. Vi starter derfor med \( {n = 13}\text{,} \) der «10 eller flere» betyr 10, 11, 12 eller 13. Vi regner ut de fire leddene med nCr og legger sammen med alle desimalene: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}2437 + 0{,}3102 \\ &\quad + 0{,}2187 + 0{,}0649 \\ &\approx 0{,}837 \end{aligned} \]

Med \( {n = 14} \) betyr det 10, 11, 12, 13 eller 14: \[ \begin{aligned} P(X \ge 10) &\approx 0{,}1400 + 0{,}2592 \\ &\quad + 0{,}2970 + 0{,}1898 \\ &\quad + 0{,}0513 \\ &\approx 0{,}937 \end{aligned} \]Med 13 søkere er sannsynligheten under \( 0{,}90\text{,} \) og med 14 er den over.

1. Test n i CAS Vi bruker at \[ P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \]og regner ut for \( {n = 13} \) og \( {n = 14} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 13, 9, true) 1 - FordelingHypergeometrisk(80, 66, 14, 9, true)

CAS gir \( 0{,}8374 \) for \( {n = 13} \) og \( 0{,}9375 \) for \( {n = 14}\text{.} \) Ledelsen må altså intervjue minst 14 søkere.

Sander tar 2 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Antallet gule han får, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Det er \( {3 + 8 + 7 = 18} \) drops i posen. \( \textcolor{blue}{8} \) av dem er gule, og \( \textcolor{red}{10} \) er grønne eller røde. Vi kaller antallet gule Sander tar, for \( X\text{.} \) I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan det samme dropset ikke tas to ganger, så sannsynligheten endrer seg, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{8}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{10}}{2 - k}}{\binom{18}{2}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de gule og \( {2 - k} \) av de andre på. Nevneren er antall måter å velge 2 av alle 18 på.

2. Regn ut for to gule To gule betyr \( {k = 2}\text{,} \) og da tar han ingen av de andre: \( {\binom{\textcolor{red}{10}}{0} = 1}\text{.} \) For hånd eller med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{8}}{2} &= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \\ \binom{18}{2} &= \dfrac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ P(X = 2) = \dfrac{28 \cdot 1}{153} = \dfrac{28}{153} \approx 0{,}183 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(8, 2)/nCr(18, 2)

CAS gir \( {P(X = 2) \approx 0{,}183}\text{.} \)

Henny tar 3 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Vi teller utvalgene med ett drops av hver farge, og deler på alle måtene å ta 3 av 18 på.

1. Tell de gunstige utvalgene Ett av hver farge betyr ett av de \( \textcolor{green}{3} \) grønne, ett av de \( \textcolor{blue}{8} \) gule og ett av de \( \textcolor{red}{7} \) røde. Hvert valg kan kombineres med hvert av de andre: \[ \binom{\textcolor{green}{3}}{1} \cdot \binom{\textcolor{blue}{8}}{1} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{1} = \textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{7} = 168 \]

2. Del på alle utvalgene Antall måter å velge 3 av de 18 dropsene på er: \[ \binom{18}{3} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816 \]

Alle utvalgene er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{168}{816} = \dfrac{7}{34} \approx 0{,}206 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (nCr(3, 1)*nCr(8, 1)*nCr(7, 1))/nCr(18, 3)

CAS gir \( {P \approx 0{,}2059}\text{.} \)

De tre tar ett drops hver fra hver sin pose, uavhengig av hverandre. Alle får samme farge hvis alle får grønn, alle gul eller alle rød, så vi regner ut de tre tilfellene og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Dropsene er lagt tilbake, så hver pose har 18 drops. Hver av de tre får grønn med sannsynlighet \( \textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\text{,} \) gul med \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}} \) og rød med \( \textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\text{.} \) Trekkene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\text{alle grønne}) &= \left(\textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\right)^3 = \dfrac{27}{5832} \\ P(\text{alle gule}) &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}}\right)^3 = \dfrac{512}{5832} \\ P(\text{alle røde}) &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\right)^3 = \dfrac{343}{5832} \end{aligned} \]

2. Legg sammen Tilfellene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{27 + 512 + 343}{5832} = \dfrac{882}{5832} \\ P &= \dfrac{49}{324} \approx 0{,}151 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver summen inn i CAS og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (3/18)^3 + (8/18)^3 + (7/18)^3

CAS gir \( {P \approx 0{,}1512}\text{.} \)

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange måter vi kan velge 4 av de 10 elevene på.

1. Tell gruppene Trekker vi lappene én om gangen, er det \( 10 \) muligheter for den første, \( 9 \) for den andre, \( 8 \) for den tredje og \( 7 \) for den fjerde: \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \]

Men rekkefølgen spiller ingen rolle, og de fire elevene i en gruppe kan trekkes i \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{24}} \) rekkefølger. Hver gruppe er derfor telt \( \textcolor{blue}{24} \) ganger, så vi deler på \( \textcolor{blue}{24}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{10}{4}\text{,} \) «10 over 4»: \[ \binom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \dfrac{5040}{\textcolor{blue}{24}} = 210 \]

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Det er 3 gutter og 7 jenter. «Minst to gutter» betyr to eller tre gutter. Vi teller gruppene med to og med tre gutter, og deler på alle gruppene.

1. Tell gruppene med minst to gutter Det er \( {10 - 7 = 3} \) gutter. En gruppe med \( \textcolor{blue}{2} \) gutter har \( \textcolor{red}{2} \) jenter. Vi velger guttene og jentene hver for seg, og ganger: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{2}} = 3 \cdot \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 3 \cdot 21 = \underline{63} \]

En gruppe med \( \textcolor{blue}{3} \) gutter har \( \textcolor{red}{1} \) jente: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{1}} = 1 \cdot 7 = \underline{7} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) mulige grupper, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{63 + 7}{210} = \dfrac{70}{210} = \dfrac{1}{3} \]Elevene trekkes uten tilbakelegging, så dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.

1. Regn ut i CAS La \( X \) være antall gutter i gruppen. Minst to gutter er det motsatte av høyst én: \[ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 10, antall gutter 3, utvalget 4, verdien 1 og true til slutt gir \( {P(X \le 1)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(10, 3, 4, 1, true)

CAS gir \( {P(X \ge 2) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler elevene i to: Emma og Marie, og de 8 andre. Gruppen skal ha én av de to og tre av de åtte andre.

1. Tell de gunstige gruppene Vi velger én av \( \textcolor{green}{\text{Emma og Marie}} \) og tre av de \( 8 \) andre elevene, og ganger: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{1}} \cdot \binom{8}{3} &= 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 2 \cdot 56 = 112 \end{aligned} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) like sannsynlige grupper: \[ P = \dfrac{112}{210} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533 \]

1. Regn ut i CAS Nå er Emma og Marie det vi teller: populasjonen er 10, antall treff 2 og utvalget 4. Vi vil ha nøyaktig 1, så vi skriver false til slutt:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(10, 2, 4, 1, false)

CAS gir \( \dfrac{8}{15}\text{.} \)

Hver person stemte enten Fremskrittspartiet eller ikke, og det er så mange velgere at sannsynligheten er \( 0{,}113 \) for hver person vi plukker. Antallet som stemte Fremskrittspartiet, er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen binomisk fordeling La \( X \) være antallet av de 10 som stemte Fremskrittspartiet. Vi sjekker de fire kravene, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: hver person stemte Fremskrittspartiet eller ikke, vi plukker et fast antall, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) sannsynligheten er \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}113}} \) for hver av dem, og de påvirker ikke hverandre. Det er så mange velgere at sannsynligheten nesten ikke endrer seg når vi plukker 10.

Sannsynligheten for nøyaktig \( k \) er da: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med \( {1 - \textcolor{red}{0{,}113} = 0{,}887} \) og nCr på kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= 0{,}887^{10} \approx 0{,}3015 \\ P(X = 1) &= 10 \cdot 0{,}113 \cdot 0{,}887^9 \\ &\approx 0{,}3841 \\ P(X = 2) &= 45 \cdot 0{,}113^2 \cdot 0{,}887^8 \\ &\approx 0{,}2202 \\ P(X = 3) &= 120 \cdot 0{,}113^3 \cdot 0{,}887^7 \\ &\approx 0{,}0748 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}9805 = 0{,}0195 \]

1. Regn ut i CAS FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}113}\text{,} \) verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.113, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}0195}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I valgkretsen er det bare 243 velgere, og vi plukker 10 forskjellige av dem. Sannsynligheten endrer seg litt for hver person vi plukker, så antallet som stemte Arbeiderpartiet, er hypergeometrisk fordelt.

1. Begrunn valget av metode Vi regner med antall stemmer, ikke prosenten i bildet. Av de \( \textcolor{blue}{243} \) som stemte, stemte \( \textcolor{red}{100} \) Arbeiderpartiet og \( {243 - 100 = \textcolor{green}{143}} \) noe annet. Den første vi plukker, stemte Arbeiderpartiet med sannsynligheten \( \dfrac{100}{243}\text{.} \) Stemte den første Arbeiderpartiet, er sannsynligheten for den neste bare \( \dfrac{99}{242}\text{.} \)

I a) var sannsynligheten den samme for hver person, og da var fordelingen binomisk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her trekker vi uten tilbakelegging fra få velgere, så sannsynligheten endrer seg. Antallet \( X \) av de 10 som stemte Arbeiderpartiet, er derfor hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{k} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10 - k}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{red}{100} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{green}{143} \) andre på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle \( \textcolor{blue}{243} \) på.

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{0} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0044 \\ P(X = 1) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{1} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{9}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0325 \\ P(X = 2) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{2} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{8}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}1073 \\ P(X = 3) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{3} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{7}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}2061 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}3502 = 0{,}6498 \]

1. Regn ut i CAS FordelingHypergeometrisk med populasjonen 243, antall treff 100, utvalget 10, verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(243, 100, 10, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}6498}\text{.} \)