Eksamensoppgaver etter tema

Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.

1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)

2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.

3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]

Vi finner verdimengden, og stedet der grafen gjør et sprang. Så ser vi hvilke \( x \) vi må ta ut for at \( f \) skal bli kontinuerlig, uten at verdimengden endrer seg.

1. Finn verdimengden For \( {0 \le x \le 2} \) er \( {\textcolor{blue}{f(x) = x}}\text{,} \) som gir verdiene fra 0 til og med 2. For \( {2 < x \le 5} \) er \( {\textcolor{red}{f(x) = 5 - x}}\text{,} \) som går fra nesten 3 ned til \( {f(5) = 0}\text{.} \) Verdien 3 nås ikke, fordi \( {x = 2} \) hører til den første delen: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2]} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]Hvis du er usikker på skrivemåten med klammer, kan du se videoen Symboler.

2. Finn spranget Begge delene er rette linjer, så grafen kan bare gjøre et sprang i \( {x = 2}\text{,} \) der uttrykket skifter. Der gir de to uttrykkene ulike verdier: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5 - x} &= \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]Grafen hopper fra 2 til nesten 3, så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

3. Ta ut punktet med spranget En funksjon er kontinuerlig når den er kontinuerlig i alle punktene i definisjonsmengden. Tar vi ut \( {x = 2}\text{,} \) er det ikke noe sprang igjen: \[ D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5] \]Verdimengden er den samme, for verdien 2 får vi fortsatt i \( {x = 3}\text{,} \) der \( {\textcolor{red}{5 - 3 = 2}}\text{.} \)

Større kan definisjonsmengden ikke bli. Verdiene mellom 2 og 3 får vi bare fra \( {\textcolor{red}{5 - x}} \) med \( x \) like til høyre for 2, så de må være med, og da kan ikke \( {x = 2} \) være med. Utenfor \( [0, 5] \) gir uttrykkene negative verdier, og dem har ikke verdimengden.