Eksamensoppgaver etter tema

Vi setter \( {L = 130} \) inn i formelen og får \( \lg I \) alene. Så opphøyer vi 10 i begge sider for å få \( I \) ut av logaritmen.

1. Få lg I alene Vi setter \( {L = 130}\text{,} \) trekker fra 120 og deler på 10: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \textcolor{green}{\lg I} &= 130 \\ 10 \cdot \textcolor{green}{\lg I} &= 10 \\ \textcolor{green}{\lg I} &= 1 \end{aligned} \]

2. Fjern logaritmen Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg I \) tallet vi må opphøye 10 i for å få \( I\text{:} \) \[ 10^{\textcolor{green}{\lg I}} = I \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Opphøyer vi 10 i begge sider av \( {\textcolor{green}{\lg I} = 1}\text{,} \) får vi: \[ I = 10^1 = 10 \]Lydintensiteten er altså \( 10\,\text{W}/\text{m}^2\text{.} \)

Vi kaller den gamle lydintensiteten \( I_1 \) og den nye \( I_2\text{,} \) og krever at den nye lydstyrken er 2 dB høyere enn den gamle. Logaritmereglene gir da forholdet \( \dfrac{I_2}{I_1}\text{.} \)

1. Sett opp likningen Den nye lydstyrken er den gamle pluss 2 dB: \[ 120 + 10\lg \textcolor{red}{I_2} = 120 + 10\lg \textcolor{blue}{I_1} + 2 \]

Vi trekker fra 120 på begge sider, deler på 10 og samler logaritmene på venstre side: \[ \lg \textcolor{red}{I_2} - \lg \textcolor{blue}{I_1} = 0{,}2 \]

2. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \lg \textcolor{red}{a} - \lg \textcolor{blue}{b} = \lg \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \quad \text{for } a, b > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Med \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{I_2}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{I_1}} \) gir det \( {\lg \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 0{,}2}\text{.} \) Opphøyer vi 10 i begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{I_2}}{\textcolor{blue}{I_1}} = 10^{0{,}2} \approx 1{,}585 \]

3. Regn om til prosent Lydintensiteten blir altså ganget med vekstfaktoren \( 1{,}585\text{,} \) uansett hvor stor den var fra før. Vekstfaktoren er \( {1 + \dfrac{p}{100}}\text{,} \) der \( p \) er prosenten, så: \[ 1{,}585 = 1 + 0{,}585 \]Lydintensiteten øker med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi løser likningen for \( I_2 \) i CAS, og regner ut faktoren i rad 2 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(I_2) = 120 + 10*lg(I_1) + 2, I_2) 10^(1/5)

CAS gir \( {I_2 = \sqrt[5]{10} \cdot I_1 \approx 1{,}5849 \cdot I_1}\text{.} \) Lydintensiteten øker altså med omtrent \( 58{,}5\,\%\text{.} \)

Vi bruker at 130 dB svarer til \( {I = 10\,\text{W}/\text{m}^2}\text{,} \) som vi fant i a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner effekten \( E \) fra opplysningen om 140 dB på 50 m. Så finner vi avstanden der \( {I = 10}\text{,} \) altså der lydstyrken er 130 dB, og lenger unna er den lavere.

1. Finn intensiteten 50 m fra flyet Med \( {L = 140} \) får vi \( \lg I \) alene som i a), og opphøyer 10 i begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 120 + 10 \cdot \lg I &= 140 \\ \lg I &= 2 \\ I &= 10^2 = 100 \end{aligned} \]

2. Finn effekten Vi setter \( {I = 100} \) og \( {r = 50} \) inn i formelen for \( I \) og løser for \( \textcolor{red}{E}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{E}}{4\pi \cdot 50^2} &= 100 \\ \textcolor{red}{E} &= 100 \cdot 4\pi \cdot 2500 \\ \textcolor{red}{E} &= \textcolor{red}{1\,000\,000\pi} \end{aligned} \]

3. Finn avstanden \( \lg \) er voksende, så lydstyrken er lavere enn 130 dB når \( {I < 10}\text{.} \) Vi finner først avstanden \( \textcolor{blue}{r} \) der \( {I = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{1\,000\,000\pi}}{4\pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2} &= 10 \\ \textcolor{blue}{r}^2 &= \dfrac{1\,000\,000}{40} = 25\,000 \\ \textcolor{blue}{r} &= \sqrt{25\,000} \\ \textcolor{blue}{r} &= 50\sqrt{10} \approx 158{,}1 \end{aligned} \]Avstanden er positiv, så vi bruker bare den positive roten. Jo lenger unna flyet, jo mindre blir \( I\text{,} \) så lydstyrken er lavere enn 130 dB når avstanden er mer enn \( {50\sqrt{10} \approx 158{,}1} \) m.

1. Løs likningene i CAS Rad 1 finner effekten \( E \) fra 140 dB på 50 m, og rad 2 avstanden der lydstyrken er 130 dB. Rad 3 regner ut \( 50\sqrt{10} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(120 + 10*lg(E/(4π*50^2)) = 140, E) Løs(120 + 10*lg(1000000π/(4π*r^2)) = 130, r) 50*sqrt(10)

CAS gir \( {E = 1\,000\,000\pi}\text{,} \) og \( {r = -50\sqrt{10}} \) eller \( {r = 50\sqrt{10}}\text{.} \) Avstanden er positiv, så \( {r = 50\sqrt{10} \approx 158{,}1139}\text{.} \) Lydstyrken er lavere enn 130 dB når avstanden er mer enn omtrent \( 158{,}1 \) m.