Eksamensoppgaver etter tema

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.

3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.

1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]

2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80

Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.

1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]

I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]

2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.

1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25

CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.

Den totale verdien vokser stadig raskere, omtrent med den samme prosenten hvert år. Vi leser av verdiene i figuren og lager en eksponentiell modell med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom to punkter vi leser av, og øve på b) og c) med kalkulator.

1. Begrunn valget av modell Linja «Totalt» krummer oppover: verdien vokser mer for hvert år. Fra 1998 til 2008 økte den med omtrent 2 100 milliarder kroner, og fra 2014 til 2024 med omtrent 13 300. Fra 2008 til 2013, fra 2013 til 2019 og fra 2019 til 2024 ble verdien omtrent doblet hver gang. Når noe vokser med omtrent den samme prosenten hvert år, passer en eksponentiell modell: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]der \( t \) er antall år etter 1998. En lineær modell passer ikke, fordi den vokser like mye hvert år.

2. Les av verdiene Vi leser av den totale verdien hvert år, avrundet til hele hundre milliarder kroner: \[ \begin{array}{rr|rr|rr} t & O & t & O & t & O \\ \hline 0 & 200 & 9 & 2000 & 18 & 7500 \\ 1 & 200 & 10 & 2300 & 19 & 8500 \\ 2 & 400 & 11 & 2600 & 20 & 8300 \\ 3 & 600 & 12 & 3100 & 21 & 10100 \\ 4 & 600 & 13 & 3300 & 22 & 10900 \\ 5 & 800 & 14 & 3800 & 23 & 12300 \\ 6 & 1000 & 15 & 5100 & 24 & 12500 \\ 7 & 1400 & 16 & 6400 & 25 & 15800 \\ 8 & 1800 & 17 & 7500 & 26 & 19700 \end{array} \]

Vi skriver \( t \) i kolonne A og verdiene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør eksponentiell regresjon Regresjonen finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp formen \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x}\text{,} \) med \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{344{,}70}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}1786}}\text{.} \) Vekstfaktoren betyr at verdien vokser med omtrent \( 18\,\% \) per år i modellen, og grafen følger punktene omtrent i hele perioden. Leser du av litt andre verdier, får du litt andre tall for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og det er også riktig.

\( V(20) \) er verdien 20 år etter 1998, altså i 2018. \( V'(20) \) er hvor fort verdien vokser da, i milliarder kroner per år.

1. Regn ut verdien Vi setter \( {t = 20} \) inn i modellen: \[ V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx 8842{,}59 \]

2. Deriver modellen Siden \( {1{,}1787 = e^{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) kan vi skrive potensen med \( e\text{:} \) \[ 1{,}1787^t = e^{\textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}} \]

Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) et tall. Det gir oss: \[ V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \cdot \textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \]

Med \( {V(20) \approx 8842{,}59} \) og \( {\textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \approx \textcolor{green}{0{,}164412}} \) er: \[ \begin{aligned} V'(20) &\approx 8842{,}59 \cdot \textcolor{green}{0{,}164412} \\ &\approx 1453{,}83 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( {V(20) \approx 8843}\text{:} \) ifølge modellen var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner i 2018.

\( {V'(20) \approx 1454}\text{:} \) den deriverte er vekstfarten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. I 2018 økte verdien altså med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

1. Regn ut i Algebrafeltet Vi skriver inn modellen og regner ut verdien og den deriverte i \( {t = 20}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 330*1.1787^x v_1 = V(20) d_1 = V'(20)

GeoGebra gir \( {V(20) \approx 8842{,}5925} \) og \( {V'(20) \approx 1453{,}8295}\text{.} \) I 2018 var verdien omtrent 8 843 milliarder kroner, og den økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endringen i verdi delt på endringen i tid. Vi regner ut den for begge intervallene og sammenligner.

1. Regn ut de to vekstfartene Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {t = r} \) til \( {t = s} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{V(s) - V(r)}{s - r} \]

Med \( {V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t} \) er: \[ \begin{aligned} V(0) &= 330 \\ V(10) &\approx 1708{,}23 \\ V(16) &\approx 4581{,}07 \\ V(26) &\approx 23\,713{,}70 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{V(10) - V(0)}{10 - 0}} &\approx \dfrac{1378{,}23}{10} \\ &\approx \textcolor{blue}{137{,}8} \\ \textcolor{red}{\dfrac{V(26) - V(16)}{26 - 16}} &\approx \dfrac{19\,132{,}63}{10} \\ &\approx \textcolor{red}{1913{,}3} \end{aligned} \]

2. Sammenlign Vi deler den siste på den første: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1913{,}3}}{\textcolor{blue}{137{,}8}} \approx 13{,}9 \]Fra 1998 til 2008 vokste verdien i gjennomsnitt med omtrent 138 milliarder kroner per år. Fra 2014 til 2024 vokste den med omtrent 1 913 milliarder kroner per år, nesten 14 ganger så mye.

1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut de to brøkene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 330*1.1787^t (V(10) - V(0))/10 (V(26) - V(16))/10

CAS gir \( 137{,}8232 \) og \( 1913{,}2634\text{.} \) Den gjennomsnittlige vekstfarten er nesten 14 ganger så stor i \( [16, 26] \) som i \( [0, 10]\text{.} \)