Eksamensoppgaver etter tema

Vi vet at testen viser smittet, og spør hvor sannsynlig det da er at personen er smittet. Det er en betinget sannsynlighet: blant alle som får en positiv test, finner vi andelen som er smittet.

1. Finn sannsynligheten for positiv test La \( S \) være at personen er smittet, \( F \) at personen er frisk, og \( T \) at testen viser smittet. Det er \( 1\,\% \) som er smittet, og en frisk person får feil svar i \( 2\,\% \) av testene. En person kan få en positiv test på to måter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(S \text{ og } T)} &= 0{,}01 \cdot 0{,}99 = \textcolor{blue}{0{,}0099} \\ \textcolor{red}{P(F \text{ og } T)} &= 0{,}99 \cdot 0{,}02 = \textcolor{red}{0{,}0198} \end{aligned} \]

2. Bruk betinget sannsynlighet Sannsynligheten for \( S \) når vi vet at \( T \) har skjedd, er andelen av \( T \) der også \( S \) skjer, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(S \mid T) = \dfrac{P(S \text{ og } T)}{P(T)} \]

Her er \( P(T) \) summen av de to måtene. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(S \mid T) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}0099}}{\textcolor{blue}{0{,}0099} + \textcolor{red}{0{,}0198}} \\ P(S \mid T) &= \dfrac{0{,}0099}{0{,}0297} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]Bare én av tre med positiv test er altså smittet, fordi det er så få smittede at de friske med feil svar blir flest.