Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Den er kontinuerlig der hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 0}\text{,} \) gjelder \( \textcolor{red}{2e^x}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]Begge uttrykkene gir \( 2\text{,} \) så grafen henger sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

\( g \) har de samme uttrykkene som \( f \) på hver side av \( {x = 0}\text{,} \) men en egen verdi i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sammenligner grenseverdiene fra hver side med \( g(0)\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sammenlign med funksjonsverdien Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^2 + 2}}\text{,} \) og fra høyre \( \textcolor{red}{2e^x}\text{.} \) Siden \( {e^0 = 1}\text{,} \) går begge mot \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^-} g(x) &= \textcolor{blue}{0^2 + 2} = \textcolor{blue}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} g(x) &= \textcolor{red}{2e^0} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

Men i \( {x = 0} \) gjelder den midterste linja, så \( {\textcolor{green}{g(0) = 1}}\text{,} \) og \( {1 \neq 2}\text{.} \) Grafen nærmer seg punktet \( (0, 2) \) fra begge sider, mens funksjonsverdien ligger i \( (0, 1)\text{.} \) Grafen henger altså ikke sammen i \( {x = 0}\text{.} \)

Hvert av de tre sifrene kan være ett av de seks sifrene 1 til 6. Vi teller hvor mange koder som er mulige, og bare én av dem er riktig.

1. Tell de mulige kodene Uten 7, 8, 9 og 0 er det seks sifre igjen: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvert av de tre sifrene i koden kan være hvilket som helst av dem, så antall mulige koder er: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} = 216 \]

2. Regn ut sannsynligheten Peder prøver én av kodene, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er da: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 1 kode gunstig og 216 mulige: \[ P = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}0046 \]Det er det samme som å treffe riktig siffer på hvert av de tre hjulene, \( {\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}}\text{,} \) slik vi ganger sannsynligheter i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi lar et program trekke en tilfeldig kode og et tilfeldig forsøk svært mange ganger, og teller hvor ofte forsøket åpner låsen. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive ett forsøk som en funksjon, og en løkke som teller.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett forsøk og mange forsøk. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett forsøk Funksjonen «forsøk()» i linje 3 til 15 trekker en tilfeldig kode i linje 4 til 6 og et tilfeldig forsøk i linje 8 til 10. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 12 sjekker om alle tre sifrene er like, og da åpner låsen.

3. Tell forsøkene som åpner låsen Løkka i linje 20 til 22 gjør \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) forsøk og teller i «antall_åpnet» hvor mange av dem som åpner låsen, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 24 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk som åpnet}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at låsen åpnet seg i omtrent \( 0{,}47\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 0{,}46\,\%\text{,} \) som er \( \dfrac{1}{216} \) fra a).

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange måter vi kan velge 4 av de 10 elevene på.

1. Tell gruppene Trekker vi lappene én om gangen, er det \( 10 \) muligheter for den første, \( 9 \) for den andre, \( 8 \) for den tredje og \( 7 \) for den fjerde: \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \]

Men rekkefølgen spiller ingen rolle, og de fire elevene i en gruppe kan trekkes i \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{24}} \) rekkefølger. Hver gruppe er derfor telt \( \textcolor{blue}{24} \) ganger, så vi deler på \( \textcolor{blue}{24}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{10}{4}\text{,} \) «10 over 4»: \[ \binom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \dfrac{5040}{\textcolor{blue}{24}} = 210 \]

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Det er 3 gutter og 7 jenter. «Minst to gutter» betyr to eller tre gutter. Vi teller gruppene med to og med tre gutter, og deler på alle gruppene.

1. Tell gruppene med minst to gutter Det er \( {10 - 7 = 3} \) gutter. En gruppe med \( \textcolor{blue}{2} \) gutter har \( \textcolor{red}{2} \) jenter. Vi velger guttene og jentene hver for seg, og ganger: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{2}} = 3 \cdot \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 3 \cdot 21 = \underline{63} \]

En gruppe med \( \textcolor{blue}{3} \) gutter har \( \textcolor{red}{1} \) jente: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{1}} = 1 \cdot 7 = \underline{7} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) mulige grupper, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{63 + 7}{210} = \dfrac{70}{210} = \dfrac{1}{3} \]Elevene trekkes uten tilbakelegging, så dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.

1. Regn ut i CAS La \( X \) være antall gutter i gruppen. Minst to gutter er det motsatte av høyst én: \[ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 10, antall gutter 3, utvalget 4, verdien 1 og true til slutt gir \( {P(X \le 1)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(10, 3, 4, 1, true)

CAS gir \( {P(X \ge 2) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler elevene i to: Emma og Marie, og de 8 andre. Gruppen skal ha én av de to og tre av de åtte andre.

1. Tell de gunstige gruppene Vi velger én av \( \textcolor{green}{\text{Emma og Marie}} \) og tre av de \( 8 \) andre elevene, og ganger: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{1}} \cdot \binom{8}{3} &= 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 2 \cdot 56 = 112 \end{aligned} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) like sannsynlige grupper: \[ P = \dfrac{112}{210} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533 \]

1. Regn ut i CAS Nå er Emma og Marie det vi teller: populasjonen er 10, antall treff 2 og utvalget 4. Vi vil ha nøyaktig 1, så vi skriver false til slutt:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(10, 2, 4, 1, false)

CAS gir \( \dfrac{8}{15}\text{.} \)

Hver person stemte enten Fremskrittspartiet eller ikke, og det er så mange velgere at sannsynligheten er \( 0{,}113 \) for hver person vi plukker. Antallet som stemte Fremskrittspartiet, er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen binomisk fordeling La \( X \) være antallet av de 10 som stemte Fremskrittspartiet. Vi sjekker de fire kravene, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: hver person stemte Fremskrittspartiet eller ikke, vi plukker et fast antall, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) sannsynligheten er \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}113}} \) for hver av dem, og de påvirker ikke hverandre. Det er så mange velgere at sannsynligheten nesten ikke endrer seg når vi plukker 10.

Sannsynligheten for nøyaktig \( k \) er da: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med \( {1 - \textcolor{red}{0{,}113} = 0{,}887} \) og nCr på kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= 0{,}887^{10} \approx 0{,}3015 \\ P(X = 1) &= 10 \cdot 0{,}113 \cdot 0{,}887^9 \\ &\approx 0{,}3841 \\ P(X = 2) &= 45 \cdot 0{,}113^2 \cdot 0{,}887^8 \\ &\approx 0{,}2202 \\ P(X = 3) &= 120 \cdot 0{,}113^3 \cdot 0{,}887^7 \\ &\approx 0{,}0748 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}9805 = 0{,}0195 \]

1. Regn ut i CAS FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}113}\text{,} \) verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.113, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}0195}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I valgkretsen er det bare 243 velgere, og vi plukker 10 forskjellige av dem. Sannsynligheten endrer seg litt for hver person vi plukker, så antallet som stemte Arbeiderpartiet, er hypergeometrisk fordelt.

1. Begrunn valget av metode Vi regner med antall stemmer, ikke prosenten i bildet. Av de \( \textcolor{blue}{243} \) som stemte, stemte \( \textcolor{red}{100} \) Arbeiderpartiet og \( {243 - 100 = \textcolor{green}{143}} \) noe annet. Den første vi plukker, stemte Arbeiderpartiet med sannsynligheten \( \dfrac{100}{243}\text{.} \) Stemte den første Arbeiderpartiet, er sannsynligheten for den neste bare \( \dfrac{99}{242}\text{.} \)

I a) var sannsynligheten den samme for hver person, og da var fordelingen binomisk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her trekker vi uten tilbakelegging fra få velgere, så sannsynligheten endrer seg. Antallet \( X \) av de 10 som stemte Arbeiderpartiet, er derfor hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{k} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10 - k}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{red}{100} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{green}{143} \) andre på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle \( \textcolor{blue}{243} \) på.

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{0} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0044 \\ P(X = 1) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{1} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{9}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0325 \\ P(X = 2) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{2} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{8}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}1073 \\ P(X = 3) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{3} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{7}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}2061 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}3502 = 0{,}6498 \]

1. Regn ut i CAS FordelingHypergeometrisk med populasjonen 243, antall treff 100, utvalget 10, verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(243, 100, 10, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}6498}\text{.} \)

Inntekten er antall T-skjorter ganget med prisen per stykk. Den er størst i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp inntekten Selger bedriften \( x \) T-skjorter til \( p(x) \) kroner per stykk, er inntekten antallet ganget med prisen: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p(x) \\ I(x) &= x(-0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100) \\ I(x) &= -0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}4x + 100 \]

Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-0{,}003}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{0{,}4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{100}}\text{.} \) Vi regner ut det som står under rottegnet først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= \textcolor{red}{0{,}4}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003}) \cdot \textcolor{green}{100} \\ &= 0{,}16 + 1{,}2 = 1{,}36 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{0{,}4} \pm \sqrt{1{,}36}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003})} \]Det gir \( {x \approx -127{,}7} \) eller \( {x \approx 261{,}03}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.

3. Regn ut den største inntekten \( I'(x) \) er en andregradsfunksjon med negativt tall foran \( x^2\text{,} \) så den er positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 261{,}03\text{.} \) Inntekten vokser altså fram til \( {x \approx 261{,}03} \) og avtar etterpå, så der er toppunktet: \[ I(261{,}03) \approx 21\,944{,}62 \]Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 261 T-skjorter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn prisen og inntekten, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Polynom ganger ut uttrykket:

Skriv inn i GeoGebra: p(x) = -0.001x^2 + 0.2x + 100 I(x) = Polynom(x*p(x)) T = Ekstremalpunkt(I, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (261{,}03,\ 21\,944{,}62)}\text{.} \) Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke.

Vi bruker inntekten \( I(x) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi finner toppunktet til overskuddet der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det bedriften får inn, minus det den betaler, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]

I a) fant vi inntekten \( \textcolor{blue}{I(x)}\text{,} \) og kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)} \) står i oppgaven: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & \textcolor{blue}{-0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x} \\ & \textcolor{red}{{}- (0{,}1x^2 + 8000)} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 100 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i a), med \( {a = -0{,}003}\text{,} \) \( {b = 0{,}2} \) og \( {c = 100}\text{.} \) Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 100 = 1{,}24}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{1{,}24}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -152{,}3} \) eller \( {x \approx 218{,}93}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.

3. Regn ut det største overskuddet Som i a) er \( O'(x) \) positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 218{,}93\text{,} \) så der er toppunktet: \[ O(218{,}93) \approx 8192{,}64 \]Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 219 T-skjorter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Prisen \( p(x) \) har vi skrevet inn i a). Vi skriver inn kostnadene og overskuddet, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.1x^2 + 8000 O(x) = Polynom(x*p(x) - K(x)) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (218{,}9255,\ 8192{,}6441)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke.

Vi bruker overskuddet \( O(x) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med kampanjen blir overskuddet 30 kroner mindre per T-skjorte. Vi finner det største antallet der overskuddet fortsatt er null eller mer.

1. Sett opp overskuddet med kampanje I b) fant vi overskuddet: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]

Med kampanjen gir bedriften bort \( \textcolor{red}{30x} \) kroner når den selger \( x \) T-skjorter: \[ \begin{aligned} O_k(x) = {} & O(x) - \textcolor{red}{30x} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 70x - 8000 \end{aligned} \]Bedriften går ikke med underskudd så lenge \( {O_k(x) \ge 0}\text{.} \)

2. Finn toppunktet Likningen \( {O_k(x) = 0} \) har tredjegrad, så den kan vi ikke løse med abc-formelen. Vi finner derfor først toppunktet. Med potensregelen er: \[ O_k'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 70 \]

Vi setter \( {O_k'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i b). Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 70 = 0{,}88}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}88}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -123{,}0} \) eller \( {x \approx 189{,}68}\text{.} \) Etter \( {x \approx 189{,}68} \) er \( {O_k'(x) < 0}\text{,} \) så overskuddet avtar hele tiden derfra.

3. Prøv deg fram Overskuddet avtar etter toppunktet, så vi prøver oss fram med hele tall større enn 190, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O_k(250) &= 125 \\ O_k(260) &= -616 \end{aligned} \]

Overskuddet blir altså null et sted mellom 250 og 260. Vi prøver tallene der: \[ \begin{aligned} O_k(251) &\approx 56{,}85 \\ O_k(252) &\approx -12{,}61 \end{aligned} \]Med 251 T-skjorter er overskuddet positivt, og med 252 er det negativt og blir bare mindre. 251 er derfor det største antallet uten underskudd.

1. Finn nullpunktene Vi skriver inn overskuddet med kampanje og finner nullpunktene for \( {x \ge 0} \) med NullpunktIntervall:

Skriv inn i GeoGebra: O_k(x) = Polynom(x*p(x) - K(x) - 30x) NullpunktIntervall(O_k, 0, 400)

Nullpunktene er \( {A \approx (117{,}82,\ 0)} \) og \( {B \approx (251{,}82,\ 0)}\text{.} \) Etter \( B \) er overskuddet negativt. Antall T-skjorter er et helt tall, så det største antallet er 251.

Den totale verdien vokser stadig raskere, omtrent med den samme prosenten hvert år. Vi leser av verdiene i figuren og lager en eksponentiell modell med regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom to punkter vi leser av, og øve på b) og c) med kalkulator.

1. Begrunn valget av modell Linja «Totalt» krummer oppover: verdien vokser mer for hvert år. Fra 1998 til 2008 økte den med omtrent 2 100 milliarder kroner, og fra 2014 til 2024 med omtrent 13 300. Fra 2008 til 2013, fra 2013 til 2019 og fra 2019 til 2024 ble verdien omtrent doblet hver gang. Når noe vokser med omtrent den samme prosenten hvert år, passer en eksponentiell modell: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]der \( t \) er antall år etter 1998. En lineær modell passer ikke, fordi den vokser like mye hvert år.

2. Les av verdiene Vi leser av den totale verdien hvert år, avrundet til hele hundre milliarder kroner: \[ \begin{array}{rr|rr|rr} t & O & t & O & t & O \\ \hline 0 & 200 & 9 & 2000 & 18 & 7500 \\ 1 & 200 & 10 & 2300 & 19 & 8500 \\ 2 & 400 & 11 & 2600 & 20 & 8300 \\ 3 & 600 & 12 & 3100 & 21 & 10100 \\ 4 & 600 & 13 & 3300 & 22 & 10900 \\ 5 & 800 & 14 & 3800 & 23 & 12300 \\ 6 & 1000 & 15 & 5100 & 24 & 12500 \\ 7 & 1400 & 16 & 6400 & 25 & 15800 \\ 8 & 1800 & 17 & 7500 & 26 & 19700 \end{array} \]

Vi skriver \( t \) i kolonne A og verdiene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør eksponentiell regresjon Regresjonen finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp formen \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x}\text{,} \) med \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = RegEksp(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{344{,}70}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}1786}}\text{.} \) Vekstfaktoren betyr at verdien vokser med omtrent \( 18\,\% \) per år i modellen, og grafen følger punktene omtrent i hele perioden. Leser du av litt andre verdier, får du litt andre tall for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og det er også riktig.

\( V(20) \) er verdien 20 år etter 1998, altså i 2018. \( V'(20) \) er hvor fort verdien vokser da, i milliarder kroner per år.

1. Regn ut verdien Vi setter \( {t = 20} \) inn i modellen: \[ V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx 8842{,}59 \]

2. Deriver modellen Siden \( {1{,}1787 = e^{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) kan vi skrive potensen med \( e\text{:} \) \[ 1{,}1787^t = e^{\textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}} \]

Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) et tall. Det gir oss: \[ V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \cdot \textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \]

Med \( {V(20) \approx 8842{,}59} \) og \( {\textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \approx \textcolor{green}{0{,}164412}} \) er: \[ \begin{aligned} V'(20) &\approx 8842{,}59 \cdot \textcolor{green}{0{,}164412} \\ &\approx 1453{,}83 \end{aligned} \]

3. Tolk svarene \( {V(20) \approx 8843}\text{:} \) ifølge modellen var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner i 2018.

\( {V'(20) \approx 1454}\text{:} \) den deriverte er vekstfarten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. I 2018 økte verdien altså med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

1. Regn ut i Algebrafeltet Vi skriver inn modellen og regner ut verdien og den deriverte i \( {t = 20}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 330*1.1787^x v_1 = V(20) d_1 = V'(20)

GeoGebra gir \( {V(20) \approx 8842{,}5925} \) og \( {V'(20) \approx 1453{,}8295}\text{.} \) I 2018 var verdien omtrent 8 843 milliarder kroner, og den økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endringen i verdi delt på endringen i tid. Vi regner ut den for begge intervallene og sammenligner.

1. Regn ut de to vekstfartene Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {t = r} \) til \( {t = s} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{V(s) - V(r)}{s - r} \]

Med \( {V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t} \) er: \[ \begin{aligned} V(0) &= 330 \\ V(10) &\approx 1708{,}23 \\ V(16) &\approx 4581{,}07 \\ V(26) &\approx 23\,713{,}70 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{V(10) - V(0)}{10 - 0}} &\approx \dfrac{1378{,}23}{10} \\ &\approx \textcolor{blue}{137{,}8} \\ \textcolor{red}{\dfrac{V(26) - V(16)}{26 - 16}} &\approx \dfrac{19\,132{,}63}{10} \\ &\approx \textcolor{red}{1913{,}3} \end{aligned} \]

2. Sammenlign Vi deler den siste på den første: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1913{,}3}}{\textcolor{blue}{137{,}8}} \approx 13{,}9 \]Fra 1998 til 2008 vokste verdien i gjennomsnitt med omtrent 138 milliarder kroner per år. Fra 2014 til 2024 vokste den med omtrent 1 913 milliarder kroner per år, nesten 14 ganger så mye.

1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut de to brøkene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 330*1.1787^t (V(10) - V(0))/10 (V(26) - V(16))/10

CAS gir \( 137{,}8232 \) og \( 1913{,}2634\text{.} \) Den gjennomsnittlige vekstfarten er nesten 14 ganger så stor i \( [16, 26] \) som i \( [0, 10]\text{.} \)