Eksamensoppgaver etter tema

«Minst to like» dekker alle tilfellene unntatt ett: at alle fem terningene viser forskjellig. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen 0:20 Enten viser alle fem terningene forskjellig antall øyne, eller så viser minst to av dem det samme. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst to like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike 1:39 Vi tar terningene én om gangen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} &= \dfrac{720}{7776} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \end{aligned} \]

3. Trekk fra 1 4:13 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst to like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{5}{54}} \\ &= \dfrac{49}{54} \approx 0{,}907 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der summen blir over 20. Vi lar programmet kaste fem terninger svært mange ganger og telle, som i videoen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir: en funksjon, en løkke og en teller.

1. Simuler fem terninger 4:02 Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

Funksjonen \( \texttt{kast} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger og returnerer summen. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi tallet 7 ikke er med.

2. Tell forsøkene med sum over 20 8:18 Løkka i linje 17 til 21 kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000\,000} \) ganger, antall forsøk fra linje 14. Hver gang summen er over 20, øker telleren \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_20}} \) med 1.

3. Regn ut sannsynligheten 14:13 Linje 23 deler antallet over 20 på antall forsøk: \[ P(X > 20) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall over } 20}}{\textcolor{red}{\text{antall forsøk}}} \]Linje 23 ganger også med 100, så programmet skriver ut sannsynligheten i prosent.

Programmet gir omtrent 22,1 %. Svaret varierer litt fra kjøring til kjøring, og jo flere forsøk, jo mindre varierer det.

Kontroll: Teller vi alle \( {6^5 = 7776} \) like sannsynlige kast i stedet for å trekke tilfeldige, har 1722 av dem sum over 20, så sannsynligheten er \( {\dfrac{287}{1296} \approx 0{,}2215}\text{.} \)

Vi bygger videre på programmet fra b).

\( {P(X \ge k)} \) blir mindre når \( k \) øker. Vi lar et program regne ut sannsynligheten for \( {k = 1, 2, 3} \) og så videre, og stoppe når den ikke lenger er større enn 0,8.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike programmer på papir, særlig while-løkker som stopper når et krav ikke lenger holder.

1. Lag en funksjon for sannsynligheten 4:38 Her er programmet:

Vi flytter tellingen fra b) inn i funksjonen \( \texttt{sannsynlighet(k)} \) i linje 18 til 28. Den kaster fem terninger \( \textcolor{red}{10\,000} \) ganger, teller kastene med sum minst \( k \) i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_over\_k}} \) og returnerer andelen: \[ P(X \ge k) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{antall med sum} \ge k}}{\textcolor{red}{10\,000}} \]

2. La en løkke øke k 6:30 While-løkka i linje 30 til 33 starter med \( {k = 1} \) og øker \( k \) med 1 så lenge sannsynligheten er større enn 0,8. For hver \( k \) skriver den ut \( k \) og sannsynligheten. Kjører vi programmet, skriver det ut:

Den siste \( k \) som skrives ut, er 14. For \( {k = 15} \) er sannsynligheten ikke lenger over 0,8, så løkka stopper.

Kontroll: Teller vi alle 7776 kast, er \( {P(X \ge 14) = \dfrac{1099}{1296} \approx 0{,}848} \) og \( {P(X \ge 15) = \dfrac{1009}{1296} \approx 0{,}779}\text{.} \)