Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen skifter uttrykk i \( {x = -2}\text{.} \) Den er kontinuerlig der bare hvis de to uttrykkene gir samme verdi i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Skriv opp kravet \( f \) er kontinuerlig i \( {x = -2} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \]For en delt forskrift betyr det at uttrykkene på hver side gir samme verdi der funksjonen skifter, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Sett inn i begge uttrykkene Det første uttrykket, \( {2x - 2}\text{,} \) gjelder for \( {x \le -2}\text{,} \) så det gir både \( {f(-2)} \) og grensen fra venstre: \[ \textcolor{blue}{2 \cdot (-2) - 2} = \textcolor{blue}{-6} \]

Fra høyre gjelder \( {2x^3 + 2x^2 - 4x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2)} \\ &= -16 + 8 + 8 = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

Uttrykkene gir \( {\textcolor{blue}{-6}} \) og \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = -2}\text{.} \) Funksjonen er altså ikke kontinuerlig der.

I \( {x = k} \) skifter funksjonen fra \( {2x^3 + 2x^2 - 4x} \) til \( 4\text{.} \) De to uttrykkene må gi samme verdi der, og det gir en tredjegradslikning for \( k\text{.} \)

1. Sett uttrykkene like i skjøten Der funksjonen skifter uttrykk, er den kontinuerlig når uttrykkene på hver side gir samme verdi, som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon. For \( {x \ge k} \) er \( {f(k) = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) og fra venstre gjelder \( {\textcolor{red}{2x^3 + 2x^2 - 4x}}\text{.} \) Vi samler alt på én side og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2k^3 + 2k^2 - 4k} &= \textcolor{blue}{4} \\ 2k^3 + 2k^2 - 4k - 4 &= 0 \\ k^3 + k^2 - 2k - 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Faktoriser ved å gruppere leddene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{k^2} \) utenfor parentes i de to første leddene og \( {\textcolor{darkorange}{-2}} \) i de to siste, som når vi setter en felles faktor utenfor i videoen Faktorisering steg for steg. Da står \( {\textcolor{green}{k + 1}} \) i begge parentesene, og den setter vi også utenfor: \[ \begin{aligned} &k^3 + k^2 - 2k - 2 \\ &= \textcolor{darkorange}{k^2}(\textcolor{green}{k + 1}) \textcolor{darkorange}{{}- 2}(\textcolor{green}{k + 1}) \\ &= (\textcolor{green}{k + 1})(k^2 - 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{k + 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = -1 \\ k^2 - 2 = 0 \quad &\Rightarrow \quad k = \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Sjekk at k ligger i intervallet \( k \) må ligge i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \) Siden \( {1 < \sqrt{2} < 2}\text{,} \) ligger også \( {-\sqrt{2}} \) mellom \( {-2} \) og \( {-1}\text{:} \) \[ -2 < -\sqrt{2} < -1 < \sqrt{2} \]Alle tre verdiene er altså lov, og hver av dem gjør \( f \) kontinuerlig i \( {x = k}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi skriver det midterste uttrykket inn som en funksjon i CAS og løser \( {h(k) = 4} \) med Løs, som gir eksakte svar, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h(x) := 2x^3 + 2x^2 - 4x Løs(h(k) = 4, k)

CAS gir \( {k = -\sqrt{2}}\text{,} \) \( {k = -1} \) og \( {k = \sqrt{2}}\text{.} \) Alle tre ligger i \( {\langle -2, \rightarrow \rangle}\text{.} \)

Sander tar 2 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Antallet gule han får, er derfor hypergeometrisk fordelt.

1. Sett opp modellen Det er \( {3 + 8 + 7 = 18} \) drops i posen. \( \textcolor{blue}{8} \) av dem er gule, og \( \textcolor{red}{10} \) er grønne eller røde. Vi kaller antallet gule Sander tar, for \( X\text{.} \) I videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023 er sannsynligheten den samme hver gang, og da er fordelingen binomisk. Her kan det samme dropset ikke tas to ganger, så sannsynligheten endrer seg, og \( X \) er hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{blue}{8}}{k} \cdot \binom{\textcolor{red}{10}}{2 - k}}{\binom{18}{2}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de gule og \( {2 - k} \) av de andre på. Nevneren er antall måter å velge 2 av alle 18 på.

2. Regn ut for to gule To gule betyr \( {k = 2}\text{,} \) og da tar han ingen av de andre: \( {\binom{\textcolor{red}{10}}{0} = 1}\text{.} \) For hånd eller med knappen nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{8}}{2} &= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \\ \binom{18}{2} &= \dfrac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ P(X = 2) = \dfrac{28 \cdot 1}{153} = \dfrac{28}{153} \approx 0{,}183 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(8, 2)/nCr(18, 2)

CAS gir \( {P(X = 2) \approx 0{,}183}\text{.} \)

Henny tar 3 av de 18 dropsene uten å legge noen tilbake. Vi teller utvalgene med ett drops av hver farge, og deler på alle måtene å ta 3 av 18 på.

1. Tell de gunstige utvalgene Ett av hver farge betyr ett av de \( \textcolor{green}{3} \) grønne, ett av de \( \textcolor{blue}{8} \) gule og ett av de \( \textcolor{red}{7} \) røde. Hvert valg kan kombineres med hvert av de andre: \[ \binom{\textcolor{green}{3}}{1} \cdot \binom{\textcolor{blue}{8}}{1} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{1} = \textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{7} = 168 \]

2. Del på alle utvalgene Antall måter å velge 3 av de 18 dropsene på er: \[ \binom{18}{3} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816 \]

Alle utvalgene er like sannsynlige, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{168}{816} = \dfrac{7}{34} \approx 0{,}206 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver brøken inn i CAS med nCr og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (nCr(3, 1)*nCr(8, 1)*nCr(7, 1))/nCr(18, 3)

CAS gir \( {P \approx 0{,}2059}\text{.} \)

De tre tar ett drops hver fra hver sin pose, uavhengig av hverandre. Alle får samme farge hvis alle får grønn, alle gul eller alle rød, så vi regner ut de tre tilfellene og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Dropsene er lagt tilbake, så hver pose har 18 drops. Hver av de tre får grønn med sannsynlighet \( \textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\text{,} \) gul med \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}} \) og rød med \( \textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\text{.} \) Trekkene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\text{alle grønne}) &= \left(\textcolor{green}{\dfrac{3}{18}}\right)^3 = \dfrac{27}{5832} \\ P(\text{alle gule}) &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{8}{18}}\right)^3 = \dfrac{512}{5832} \\ P(\text{alle røde}) &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{7}{18}}\right)^3 = \dfrac{343}{5832} \end{aligned} \]

2. Legg sammen Tilfellene kan ikke skje samtidig, så vi legger sammen: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{27 + 512 + 343}{5832} = \dfrac{882}{5832} \\ P &= \dfrac{49}{324} \approx 0{,}151 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver summen inn i CAS og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: (3/18)^3 + (8/18)^3 + (7/18)^3

CAS gir \( {P \approx 0{,}1512}\text{.} \)

Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Det blir en andregradsfunksjon, og det største overskuddet ligger i toppunktet, der den deriverte er null.

1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det elevbedriften får for produktene, minus det de koster, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]

Hver enhet gir 100 kroner, så \( x \) enheter gir inntekten \( \textcolor{blue}{100x}\text{.} \) Vi trekker fra hele \( \textcolor{red}{K(x)}\text{,} \) så minus gjelder alle leddene i den, og \( {100x - 60x = 40x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{100x} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{100x} \textcolor{red}{{}- 0{,}02x^2} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 60x - 12000} \\ &= -0{,}02x^2 + 40x - 12000 \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}04x + 40 \]

Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}04x + 40 &= 0 \\ x &= \dfrac{40}{0{,}04} = 1000 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}02 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.

3. Regn ut overskuddet Vi setter \( {x = 1000} \) inn i \( O(x)\text{.} \) Her er \( {-0{,}02 \cdot 1000^2 = -20\,000} \) og \( {40 \cdot 1000 = 40\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(1000) \\ &= -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 \\ &= 8000 \end{aligned} \]Det største overskuddet er 8000 kroner, når elevbedriften lager og selger 1000 enheter.

1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og overskuddet \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.02x^2 + 60x + 12000 O(x) = 100x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)

Toppunktet er \( {T = (1000,\ 8000)}\text{.} \) Det største overskuddet er 8000 kroner, med 1000 enheter.

Nå er antallet fast, 1000 enheter, og prisen er ukjent. Elevbedriften unngår underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene.

1. Regn ut de nye kostnadene De faste kostnadene er konstantleddet i \( K(x)\text{,} \) det som må betales uansett hvor mange enheter som lages. Det blir 8000 i stedet for 12 000: \[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + \textcolor{darkorange}{8000} \]

Med 1000 enheter er \( {0{,}02 \cdot 1000^2 = 20\,000} \) og \( {60 \cdot 1000 = 60\,000}\text{,} \) så kostnadene er: \[ \begin{aligned} K(1000) &= 20\,000 + 60\,000 + \textcolor{darkorange}{8000} \\ K(1000) &= \textcolor{red}{88\,000} \end{aligned} \]

2. Finn den laveste prisen Med prisen \( p \) kroner per enhet er inntekten \( \textcolor{blue}{1000p}\text{.} \) Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det blir ikke underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1000p} &\ge \textcolor{red}{88\,000} \\ p &\ge 88 \end{aligned} \]Med 88 kroner per enhet er overskuddet akkurat 0.

1. Løs i CAS Vi skriver de nye kostnadene inn i CAS og løser likningen der inntekten er lik kostnadene:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.02x^2 + 60x + 8000 Løs(1000p = K(1000), p)

CAS gir \( {p = 88}\text{.} \) Med en lavere pris blir det underskudd.

Vi setter de to luktverdiene inn i formelen for \( I \) og ser hvor i tabellen svarene havner.

1. Sett inn de to luktverdiene \( C \) er luktverdien i \( \text{OU}/\text{m}^3\text{,} \) så vi setter \( {C = 500} \) og \( {C = 1400} \) inn i formelen, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi bruker \( \lg \) på kalkulatoren: \[ \begin{aligned} I(\textcolor{blue}{500}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{blue}{500}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{blue}{3{,}48} \\ I(\textcolor{red}{1400}) &= 1{,}4 \cdot \lg(\textcolor{red}{1400}) - 0{,}3 \\ &\approx \textcolor{red}{4{,}10} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med tabellen Jo større \( C \) er, jo større er \( \lg(C)\text{,} \) så alle prøvene har en luktintensitet mellom \( \textcolor{blue}{3{,}48} \) og \( \textcolor{red}{4{,}10}\text{.} \) Det er «plagsom lukt, bør begrenses», og for de høyeste luktverdiene «plagsomt, tiltak kreves». Beboerne har derfor grunnlag for å klage.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I(C) \) i CAS og regner ut verdiene med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 I(500) I(1400)

CAS gir \( {I(500) \approx 3{,}4786} \) og \( {I(1400) \approx 4{,}1046}\text{.} \) Begge er over 3 i tabellen, så beboerne har grunnlag for å klage.

I tabellen er luktintensiteten akseptabel opp til 2. Vi løser ulikheten \( {I \le 2} \) for \( C\text{,} \) og fjerner \( \lg \) til slutt.

Merk – Tolkning: Under 1 er lukten uproblematisk, som er enda bedre enn akseptabel, så vi krever bare \( {I \le 2}\text{.} \) Leser vi «akseptabel» som akkurat 1 til 2, må også \( {C \ge 10^{\tfrac{13}{14}} \approx 8{,}5}\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

1. Sett opp ulikheten Luktintensiteten må være høyst \( 2\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} - 0{,}3 \le 2 \]

2. Løs ulikheten Vi legger til \( 0{,}3 \) og deler på \( 1{,}4\text{.} \) Det er et positivt tall, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} 1{,}4 \cdot \textcolor{green}{\lg(C)} &\le 2{,}3 \\ \textcolor{green}{\lg(C)} &\le \dfrac{2{,}3}{1{,}4} = \dfrac{23}{14} \end{aligned} \]

For å få \( C \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. \( 10^x \) er voksende, så tegnet snur ikke, og siden \( {10^{\textcolor{green}{\lg C}} = C}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, får vi: \[ C \le 10^{\tfrac{23}{14}} \approx 43{,}94 \]Luktverdien må altså være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser ulikheten \( {I(C) \le 2} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: I(C) := 1.4*lg(C) - 0.3 Løs(I(C) <= 2, C)

CAS gir \( {0 < C \le 43{,}9397}\text{.} \) Luktverdien må være høyst omtrent \( 43{,}9\,\text{OU}/\text{m}^3\text{.} \)

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som skjer med terningene i hver runde.

1. Les starten og løkkene Linje 4 og 5 starter med \( {\texttt{runder} = 0} \) og \( {\texttt{terninger} = 100}\text{.} \) Løkka i linje 6 går så lenge det er terninger igjen, som while-løkka i videoen Oppgave 4C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang den går, er én runde.

Løkka i linje 7 kaster én gang for hver terning Ola har når runden starter. \( \texttt{randint(1,6)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, altså et vanlig terningkast, slik kommentaren i linje 2 sier.

2. Les hva hvert kast gjør Viser terningen 6, legger linje 9 til \( \textcolor{green}{3} \) terninger. Terningen selv blir, så Ola får \( \textcolor{green}{3} \) terninger til. Viser den noe annet, trekker linje 11 fra \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så den terningen er borte.

Linje 12 teller rundene. Når det ikke er flere terninger igjen, stopper løkka, og linje 14 skriver ut hvor mange runder spillet varte.

Vi bygger videre på programmet til Ola og reglene fra a).

Vi lar et program spille spillet mange ganger og regner ut gjennomsnittet av antall runder.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å gjøre et spill om til en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Gjør spillet om til en funksjon Vi flytter linje 4 til 12 fra programmet til Ola inn i funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 3 til 13. Den spiller ett spill og returnerer antall runder, som funksjonen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her er hele programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Regn ut gjennomsnittet Løkka i linje 18 og 19 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og legger sammen antall runder i \( \textcolor{blue}{\texttt{sum\_runder}}\text{,} \) som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 deler summen på antall spill: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{alle rundene}}}{\textcolor{red}{\text{antall spill}}} \]Utskriften viser at et spill i gjennomsnitt varte omtrent \( 8{,}52 \) runder. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 8{,}5\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]

Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]

3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]

3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)

Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.

1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]

2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]

Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]

3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)

\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]

\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]

3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg, og ser hvilken form vi får.

1. Sett inn i teller og nevner 0:04 Vi setter inn \( {x = 3} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & 3(3^2 - 3) = 3 \cdot 6 = \textcolor{red}{18} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & 3 - 3 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]Vi får ikke formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) men et tall delt på \( 0\text{.} \)

2. Se på hver side av 3 0:38 Telleren går mot \( \textcolor{red}{18}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Da blir brøken større og større i tallverdi, og fortegnet avhenger av hvilken side vi kommer fra, som i videoen Dele på null.

Fra høyre er \( {x > 3}\text{,} \) så nevneren er positiv. Fra venstre er nevneren negativ: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 3^+} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= +\infty \\ \lim_{x \to 3^-} \dfrac{3(x^2 - 3)}{x - 3} &= -\infty \end{aligned} \]

Merk – Grenseverdien eksisterer ikke: Grensene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien slik den står i oppgaven, eksisterer ikke. Det vi kan bestemme, er grensene fra hver side.

Vi begynner med å sette inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg. Gir det formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) faktoriserer vi nevneren og forkorter.

1. Sett inn i teller og nevner 0:00 Vi setter inn \( {x = 4} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{Teller: } & \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \\ \text{Nevner: } & 4 - 4 = 0 \end{aligned} \]Både telleren og nevneren blir \( 0\text{,} \) så innsetting gir formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

2. Faktoriser nevneren 0:58 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så vi faktoriserer nevneren. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\sqrt{x}}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}}\text{,} \) fordi \( {(\sqrt{x})^2 = x} \) og \( {2^2 = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ x - 4 = (\textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{2})(\textcolor{blue}{\sqrt{x}} + \textcolor{red}{2}) \]

3. Forkort og sett inn 2:07 Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}} \) står både i telleren og i nevneren. Den er ikke \( 0 \) når \( {x \neq 4}\text{,} \) så vi kan forkorte den: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2}}{(\textcolor{darkorange}{\sqrt{x} - 2})(\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = 4}\text{:} \) \[ \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{4} \]

Skuddene er uavhengige av hverandre, så vi ganger sannsynlighetene for de to skuddene. Det tredje skuddet spiller ingen rolle her.

1. Gang sannsynlighetene Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) på hvert skudd. Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B) \]

Treff på det første og treff på det andre skuddet gir: \[ P(\text{treff, treff}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} = 0{,}64 \]Det tredje skuddet kan bli treff eller bom, så det kommer ikke inn.

Bommen kan komme på det første, det andre eller det tredje skuddet. Vi regner ut én rekkefølge, og ganger med antall rekkefølger.

1. Regn ut én rekkefølge Arne treffer med sannsynlighet \( \textcolor{blue}{0{,}8} \) og bommer med \( {1 - 0{,}8 = \textcolor{red}{0{,}2}}\text{.} \) Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Treff, treff og så bom gir: \[ P(\text{TTB}) = \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}128 \]

2. Tell rekkefølgene Bommen kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså BTT, TBT eller TTB. Alle tre har sannsynligheten \( 0{,}128\text{,} \) så vi legger sammen: \[ 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384 \]Det er binomisk sannsynlighet med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = 0{,}8}\text{.} \)

«Høyst ett» betyr null eller ett treff. Vi regner ut begge sannsynlighetene og legger dem sammen.

1. Regn ut null treff Null treff betyr bom på alle tre skuddene. Arne bommer med sannsynlighet \( \textcolor{red}{0{,}2}\text{,} \) og skuddene er uavhengige, så vi ganger, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{BBB}) = \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = \underline{0{,}008} \]

2. Regn ut ett treff Treffet kan komme på skudd 1, 2 eller 3, altså TBB, BTB eller BBT. Hver rekkefølge har sannsynligheten: \[ \textcolor{blue}{0{,}8} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} = 0{,}032 \]Tre rekkefølger gir \( {3 \cdot 0{,}032 = \underline{0{,}096}}\text{.} \)

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ 0{,}008 + 0{,}096 = 0{,}104 \]