Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

derivasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

25 oppgaver i S1 om derivasjon · viser 11–20

Oppgavene

S1 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

En funksjon g g er gitt ved g(x)=12ex⋅(2x−1)2 {g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x - 1)^2}

Oppgave 2a)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen g. g\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Funksjonen har ett nullpunkt:
x=12‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{1}{2}}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 01:46
For å finne nullpunktene setter vi \( {g(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)
1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:10 Vi setter \( {g(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0 \]
\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \) Derfor må \( {\textcolor{blue}{(2x - 1)^2} = 0}\text{.} \)
2. Løs likningen 1:18 Vi tar kvadratroten på begge sider, og \( {\sqrt{0} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2x - 1 &= 0 \\ 2x &= 1 \\ x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Oppgave 2b)

Vis at g′(x)=12ex(2x−1)(2x+3) {g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3)}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
g′(x)=12ex(2x−1)(2x+3)‾‾ \underline{\underline{g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3)}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 05:37
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.
1. Skriv opp produktregelen 0:33 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'} \) og \( \textcolor{blue}{v} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{u'} = \textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]
2. Gang ut parentesen og deriver 1:41 For å finne \( \textcolor{blue}{v'} \) ganger vi først ut parentesen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} &= (2x - 1)(2x - 1) \\ \textcolor{blue}{v} &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned} \]
Så deriverer vi ledd for ledd med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 1 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{v'} = 8x - 4 = \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \]
3. Sett inn og faktoriser 3:39 Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) = {} & \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{4(2x - 1)} \\ &+ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}e^x} \cdot \textcolor{blue}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]
Begge leddene har faktorene \( {\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}}\text{.} \) Faktoriserer vi dem ut, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)}\bigl(4 + (2x - 1)\bigr) \\ g'(x) &= \dfrac{1}{2}e^x(2x - 1)(2x + 3) \end{aligned} \]Det er uttrykket i oppgaven.

Oppgave 2c)

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til g. g\text{.}
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Grafen har ett toppunkt og ett bunnpunkt:
Toppunkt: (−32, 8e−32)‾‾Bunnpunkt: (12, 0)‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-\tfrac{3}{2}}\right)}} \\ &\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)}} \end{aligned}
Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 04:16
Uttrykket for \( g'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).
Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {g'(x) = 0}\text{.} \) Om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av fortegnet til \( g'(x) \) på hver side.
1. Sett den deriverte lik null 0:05 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(\textcolor{darkorange}{2x - 1})(\textcolor{magenta}{2x + 3}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \dfrac{1}{2}e^x \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x - 1} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{magenta}{2x + 3} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
2. Finn y-koordinatene 2:00 Vi setter \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og \( {x = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g(x)\text{.} \) Siden \( {2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 = -4} \) og \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g\left(-\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4)^2 = 8e^{-\tfrac{3}{2}} \\ g\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}} \cdot 0^2 = 0 \end{aligned} \]
3. Avgjør hva slags punkter det er 3:51 \( \dfrac{1}{2}e^x \) er alltid positiv, så fortegnet til \( g'(x) \) kommer fra de to andre faktorene. Vi lager en fortegnslinje, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1.5, 0.5], "labels": ["-\\tfrac{3}{2}", "\\tfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\tfrac{1}{2}e^x", "expr": "0.5*e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 3}", "expr": "2x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "g'(x)", "expr": "0.5*e^x*(2x - 1)*(2x + 3)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \)
Grafen stiger fram til \( {x = -\dfrac{3}{2}}\text{,} \) synker fram til \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og stiger igjen. Den har derfor et toppunkt i \( {x = -\dfrac{3}{2}} \) og et bunnpunkt i \( {x = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) I videoen sammenligner vi bare de to funksjonsverdiene, men fortegnslinja viser også at grafen faktisk snur i begge punktene.

S1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Amalie arbeider med en funksjon f f med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.
Hun husker at f f er kontinuerlig for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.} Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at f′(−2)=−9 {f'(-2) = -9} og f′(1)=0. {f'(1) = 0}\text{.}
Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Hele funksjonsuttrykket er
f(x)=−9x−15 na˚r x<−2‾‾f(x)=p(x) na˚r −2≤x≤1‾‾f(x)=x22−x−72 na˚r x>1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f(x) = -9x - 15 \text{ når } x < -2}} \\ &\underline{\underline{f(x) = p(x) \text{ når } -2 \le x \le 1}} \\ &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \text{ når } x > 1}} \end{aligned}
der uttrykket i midten er
p(x)=−1327x3+79x2−19x−11327‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} p(x) = {} & -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 \\ & - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \end{aligned}}}
Uttrykket i midten er et tredjegradspolynom med fire ukjente koeffisienter. Kontinuiteten i de to skjøtene og de to deriverte vi kjenner, gir fire likninger.
Metode: For hånd
1. Skriv opp kravene Vi kaller uttrykket i midten \[ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
\( f \) er kontinuerlig der den skifter uttrykk når uttrykkene på hver side går mot samme verdi, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I \( {x = -2} \) og \( {x = 1} \) gjelder \( p(x)\text{,} \) så \( p \) må ha de verdiene de ytre uttrykkene går mot: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2^-} f(x) &= -9 \cdot (-2) - 15 = \textcolor{blue}{3} \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]
De deriverte i de to punktene er gitt, \( {f'(-2) = \textcolor{blue}{-9}} \) og \( {f'(1) = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) og der gjelder \( p(x)\text{.} \) Kravene \( {p(-2) = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {p'(-2) = \textcolor{blue}{-9}}\text{,} \) \( {p(1) = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {p'(1) = \textcolor{red}{0}} \) gir fire likninger: \[ \begin{aligned} \text{I: } & -8a + 4b - 2c + d = \textcolor{blue}{3} \\ \text{II: } & 12a - 4b + c = \textcolor{blue}{-9} \\ \text{III: } & a + b + c + d = \textcolor{red}{-4} \\ \text{IV: } & 3a + 2b + c = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]
2. Uttrykk b og c ved a Vi trekker I fra III og II fra IV: \[ \begin{aligned} \text{III} - \text{I: } & 9a - 3b + 3c = -7 \\ \text{IV} - \text{II: } & -9a + 6b = 9 \end{aligned} \]Den siste gir \( {b = \dfrac{3 + 3a}{2}}\text{,} \) og IV gir \( {c = -3a - 2b = -6a - 3}\text{.} \)
3. Finn koeffisientene Vi setter \( b \) og \( c \) inn i \( {9a - 3b + 3c = -7}\text{:} \) \[ 9a - \dfrac{9 + 9a}{2} - 18a - 9 = -7 \]
Vi ganger med \( 2 \) og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 18a - 9 - 9a - 36a - 18 &= -14 \\ -27a &= 13 \\ a &= -\dfrac{13}{27} \end{aligned} \]
Det gir resten: \[ \begin{aligned} b &= \dfrac{1}{2}\left(3 - \dfrac{13}{9}\right) = \dfrac{7}{9} \\ c &= -6 \cdot \left(-\dfrac{13}{27}\right) - 3 = -\dfrac{1}{9} \\ d &= -4 - a - b - c = -\dfrac{113}{27} \end{aligned} \]
Uttrykket i midten er altså: \[ p(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs kravene i CAS Vi skriver de to uttrykkene vi kjenner og polynomet inn i CAS, setter opp de fire kravene i hver sin rad og løser dem med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g(x) := -9x - 15 h(x) := x^2/2 - x - 7/2 p(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d p(-2) = g(-2) p'(-2) = -9 p(1) = h(1) p'(1) = 0 Løs({$4, $5, $6, $7}, {a, b, c, d})
CAS gir \( {a = -\dfrac{13}{27}}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{9}}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{1}{9}} \) og \( {d = -\dfrac{113}{27}}\text{.} \)

S1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

6 poeng

En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen p(x) p(x) kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av x x T-skjorter per uke er gitt ved
p(x)=−0,001x2+0,2x+100 p(x) = -0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100
De totale kostnadene K(x) K(x) kroner per uke er gitt ved
K(x)=0,1x2+8000 K(x) = 0{,}1x^2 + 8000

Oppgave 5a)

Bestem den største mulige inntekten bedriften kan få per uke.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Avrundet til hele kroner, ved omtrent 261 T-skjorter per uke:
Største inntekt≈21 945 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Største inntekt} \approx 21\,945\,\text{kr}}}
Inntekten er antall T-skjorter ganget med prisen per stykk. Den er størst i toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp inntekten Selger bedriften \( x \) T-skjorter til \( p(x) \) kroner per stykk, er inntekten antallet ganget med prisen: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p(x) \\ I(x) &= x(-0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100) \\ I(x) &= -0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}4x + 100 \]
Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-0{,}003}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{0{,}4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{100}}\text{.} \) Vi regner ut det som står under rottegnet først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= \textcolor{red}{0{,}4}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003}) \cdot \textcolor{green}{100} \\ &= 0{,}16 + 1{,}2 = 1{,}36 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{0{,}4} \pm \sqrt{1{,}36}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-0{,}003})} \]Det gir \( {x \approx -127{,}7} \) eller \( {x \approx 261{,}03}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.
3. Regn ut den største inntekten \( I'(x) \) er en andregradsfunksjon med negativt tall foran \( x^2\text{,} \) så den er positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 261{,}03\text{.} \) Inntekten vokser altså fram til \( {x \approx 261{,}03} \) og avtar etterpå, så der er toppunktet: \[ I(261{,}03) \approx 21\,944{,}62 \]Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 261 T-skjorter.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn prisen og inntekten, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Polynom ganger ut uttrykket:
Skriv inn i GeoGebra: p(x) = -0.001x^2 + 0.2x + 100 I(x) = Polynom(x*p(x)) T = Ekstremalpunkt(I, 0, 500)
Toppunktet er \( {T \approx (261{,}03,\ 21\,944{,}62)}\text{.} \) Den største inntekten er omtrent 21 945 kroner per uke.

Oppgave 5b)

Bestem det største mulige overskuddet bedriften kan få per uke.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Avrundet til hele kroner, ved omtrent 219 T-skjorter per uke:
Største overskudd≈8193 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Største overskudd} \approx 8193\,\text{kr}}}
Vi bruker inntekten \( I(x) \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi finner toppunktet til overskuddet der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det bedriften får inn, minus det den betaler, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]
I a) fant vi inntekten \( \textcolor{blue}{I(x)}\text{,} \) og kostnadene \( \textcolor{red}{K(x)} \) står i oppgaven: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & \textcolor{blue}{-0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x} \\ & \textcolor{red}{{}- (0{,}1x^2 + 8000)} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 100 \]
Vi setter \( {O'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i a), med \( {a = -0{,}003}\text{,} \) \( {b = 0{,}2} \) og \( {c = 100}\text{.} \) Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 100 = 1{,}24}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{1{,}24}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -152{,}3} \) eller \( {x \approx 218{,}93}\text{.} \) Antallet kan ikke være negativt.
3. Regn ut det største overskuddet Som i a) er \( O'(x) \) positiv mellom nullpunktene og negativ etter \( 218{,}93\text{,} \) så der er toppunktet: \[ O(218{,}93) \approx 8192{,}64 \]Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke, når bedriften selger omtrent 219 T-skjorter.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Prisen \( p(x) \) har vi skrevet inn i a). Vi skriver inn kostnadene og overskuddet, og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.1x^2 + 8000 O(x) = Polynom(x*p(x) - K(x)) T = Ekstremalpunkt(O, 0, 500)
Toppunktet er \( {T \approx (218{,}9255,\ 8192{,}6441)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 8 193 kroner per uke.
Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.

Oppgave 5c)

Bestem det største antallet T-skjorter bedriften kan produsere og selge i en uke med kampanje uten å gå med underskudd.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Med 251 T-skjorter er overskuddet positivt, og med 252 negativt:
251 T-skjorter‾‾ \underline{\underline{251 \text{ T-skjorter}}}
Vi bruker overskuddet \( O(x) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Med kampanjen blir overskuddet 30 kroner mindre per T-skjorte. Vi finner det største antallet der overskuddet fortsatt er null eller mer.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp overskuddet med kampanje I b) fant vi overskuddet: \[ \begin{aligned} O(x) = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 100x - 8000 \end{aligned} \]
Med kampanjen gir bedriften bort \( \textcolor{red}{30x} \) kroner når den selger \( x \) T-skjorter: \[ \begin{aligned} O_k(x) = {} & O(x) - \textcolor{red}{30x} \\ = {} & -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 \\ & + 70x - 8000 \end{aligned} \]Bedriften går ikke med underskudd så lenge \( {O_k(x) \ge 0}\text{.} \)
2. Finn toppunktet Likningen \( {O_k(x) = 0} \) har tredjegrad, så den kan vi ikke løse med abc-formelen. Vi finner derfor først toppunktet. Med potensregelen er: \[ O_k'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 70 \]
Vi setter \( {O_k'(x) = 0} \) og bruker abc-formelen, som i b). Under rottegnet står \( {0{,}2^2 + 4 \cdot 0{,}003 \cdot 70 = 0{,}88}\text{:} \) \[ x = \dfrac{-0{,}2 \pm \sqrt{0{,}88}}{2 \cdot (-0{,}003)} \]Det gir \( {x \approx -123{,}0} \) eller \( {x \approx 189{,}68}\text{.} \) Etter \( {x \approx 189{,}68} \) er \( {O_k'(x) < 0}\text{,} \) så overskuddet avtar hele tiden derfra.
3. Prøv deg fram Overskuddet avtar etter toppunktet, så vi prøver oss fram med hele tall større enn 190, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O_k(250) &= 125 \\ O_k(260) &= -616 \end{aligned} \]
Overskuddet blir altså null et sted mellom 250 og 260. Vi prøver tallene der: \[ \begin{aligned} O_k(251) &\approx 56{,}85 \\ O_k(252) &\approx -12{,}61 \end{aligned} \]Med 251 T-skjorter er overskuddet positivt, og med 252 er det negativt og blir bare mindre. 251 er derfor det største antallet uten underskudd.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn nullpunktene Vi skriver inn overskuddet med kampanje og finner nullpunktene for \( {x \ge 0} \) med NullpunktIntervall:
Skriv inn i GeoGebra: O_k(x) = Polynom(x*p(x) - K(x) - 30x) NullpunktIntervall(O_k, 0, 400)
Nullpunktene er \( {A \approx (117{,}82,\ 0)} \) og \( {B \approx (251{,}82,\ 0)}\text{.} \) Etter \( B \) er overskuddet negativt. Antall T-skjorter er et helt tall, så det største antallet er 251.

S1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

6 poeng

Oljefondet (Statens pensjonsfond utland) ble opprettet etter at vi fant olje i Nordsjøen. Formålet med oljefondet er å sikre framtiden i norsk økonomi.
Figuren nedenfor viser utviklingen av oljefondet fra og med 1998 til og med 2024.
Kilde: www.nbim.no

Oppgave 6a)

Lag en modell O(t) O(t) som tilnærmet viser utviklingen av den totale verdien av oljefondet i hele perioden. Husk å begrunne valg av modell.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Med t t år etter 1998, a a avrundet til hele tall og b b til fire desimaler:
O(t)≈345⋅1,1786t‾‾ \underline{\underline{O(t) \approx 345 \cdot 1{,}1786^t}}
Den totale verdien vokser stadig raskere, omtrent med den samme prosenten hvert år. Vi leser av verdiene i figuren og lager en eksponentiell modell med regresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Da kan vi lage en eksponentiell modell gjennom to punkter vi leser av, og øve på b) og c) med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Begrunn valget av modell Linja «Totalt» krummer oppover: verdien vokser mer for hvert år. Fra 1998 til 2008 økte den med omtrent 2 100 milliarder kroner, og fra 2014 til 2024 med omtrent 13 300. Fra 2008 til 2013, fra 2013 til 2019 og fra 2019 til 2024 ble verdien omtrent doblet hver gang. Når noe vokser med omtrent den samme prosenten hvert år, passer en eksponentiell modell: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]der \( t \) er antall år etter 1998. En lineær modell passer ikke, fordi den vokser like mye hvert år.
2. Les av verdiene Vi leser av den totale verdien hvert år, avrundet til hele hundre milliarder kroner: \[ \begin{array}{rr|rr|rr} t & O & t & O & t & O \\ \hline 0 & 200 & 9 & 2000 & 18 & 7500 \\ 1 & 200 & 10 & 2300 & 19 & 8500 \\ 2 & 400 & 11 & 2600 & 20 & 8300 \\ 3 & 600 & 12 & 3100 & 21 & 10100 \\ 4 & 600 & 13 & 3300 & 22 & 10900 \\ 5 & 800 & 14 & 3800 & 23 & 12300 \\ 6 & 1000 & 15 & 5100 & 24 & 12500 \\ 7 & 1400 & 16 & 6400 & 25 & 15800 \\ 8 & 1800 & 17 & 7500 & 26 & 19700 \end{array} \]
Vi skriver \( t \) i kolonne A og verdiene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
3. Kjør eksponentiell regresjon Regresjonen finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp formen \( {\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^x}\text{,} \) med \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: O(x) = RegEksp(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen: \[ O(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{344{,}70}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}1786}}\text{.} \) Vekstfaktoren betyr at verdien vokser med omtrent \( 18\,\% \) per år i modellen, og grafen følger punktene omtrent i hele perioden. Leser du av litt andre verdier, får du litt andre tall for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og det er også riktig.
I resten av oppgaven skal du bruke funksjonen V V gitt ved
V(t)=330⋅1,1787t V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t
som modell for den totale verdien av oljefondet i milliarder kroner t t år etter 1998.

Oppgave 6b)

Bestem V(20) V(20) og V′(20). V'(20)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svarene.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Avrundet til hele milliarder. I 2018 var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner, og verdien økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år:
V(20)≈8843‾‾V′(20)≈1454‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{V(20) \approx 8843}} \\ &\underline{\underline{V'(20) \approx 1454}} \end{aligned}
\( V(20) \) er verdien 20 år etter 1998, altså i 2018. \( V'(20) \) er hvor fort verdien vokser da, i milliarder kroner per år.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut verdien Vi setter \( {t = 20} \) inn i modellen: \[ V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx 8842{,}59 \]
2. Deriver modellen Siden \( {1{,}1787 = e^{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) kan vi skrive potensen med \( e\text{:} \) \[ 1{,}1787^t = e^{\textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}} \]
Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln 1{,}1787}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln 1{,}1787}}\text{,} \) et tall. Det gir oss: \[ V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t \cdot \textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \]
Med \( {V(20) \approx 8842{,}59} \) og \( {\textcolor{green}{\ln 1{,}1787} \approx \textcolor{green}{0{,}164412}} \) er: \[ \begin{aligned} V'(20) &\approx 8842{,}59 \cdot \textcolor{green}{0{,}164412} \\ &\approx 1453{,}83 \end{aligned} \]
3. Tolk svarene \( {V(20) \approx 8843}\text{:} \) ifølge modellen var oljefondet verdt omtrent 8 843 milliarder kroner i 2018.
\( {V'(20) \approx 1454}\text{:} \) den deriverte er vekstfarten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. I 2018 økte verdien altså med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i Algebrafeltet Vi skriver inn modellen og regner ut verdien og den deriverte i \( {t = 20}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: V(x) = 330*1.1787^x v_1 = V(20) d_1 = V'(20)
GeoGebra gir \( {V(20) \approx 8842{,}5925} \) og \( {V'(20) \approx 1453{,}8295}\text{.} \) I 2018 var verdien omtrent 8 843 milliarder kroner, og den økte med omtrent 1 454 milliarder kroner per år.

Oppgave 6c)

Sammenlign den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene [0,10] [0, 10] og [16,26]. [16, 26]\text{.}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
I milliarder kroner per år, avrundet til én desimal. Vekstfarten i [16,26] [16, 26] er nesten 14 ganger så stor som i [0,10]: [0, 10]\text{:}
[0,10]: ≈137,8‾‾[16,26]: ≈1913,3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{[0, 10]\text{: } \approx 137{,}8}} \\ &\underline{\underline{[16, 26]\text{: } \approx 1913{,}3}} \end{aligned}
Den gjennomsnittlige vekstfarten er endringen i verdi delt på endringen i tid. Vi regner ut den for begge intervallene og sammenligner.
Metode: Med kalkulator
1. Regn ut de to vekstfartene Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {t = r} \) til \( {t = s} \) er stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta V}{\Delta t} = \dfrac{V(s) - V(r)}{s - r} \]
Med \( {V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^t} \) er: \[ \begin{aligned} V(0) &= 330 \\ V(10) &\approx 1708{,}23 \\ V(16) &\approx 4581{,}07 \\ V(26) &\approx 23\,713{,}70 \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{V(10) - V(0)}{10 - 0}} &\approx \dfrac{1378{,}23}{10} \\ &\approx \textcolor{blue}{137{,}8} \\ \textcolor{red}{\dfrac{V(26) - V(16)}{26 - 16}} &\approx \dfrac{19\,132{,}63}{10} \\ &\approx \textcolor{red}{1913{,}3} \end{aligned} \]
2. Sammenlign Vi deler den siste på den første: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1913{,}3}}{\textcolor{blue}{137{,}8}} \approx 13{,}9 \]Fra 1998 til 2008 vokste verdien i gjennomsnitt med omtrent 138 milliarder kroner per år. Fra 2014 til 2024 vokste den med omtrent 1 913 milliarder kroner per år, nesten 14 ganger så mye.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi skriver inn modellen og regner ut de to brøkene med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 330*1.1787^t (V(10) - V(0))/10 (V(26) - V(16))/10
CAS gir \( 137{,}8232 \) og \( 1913{,}2634\text{.} \) Den gjennomsnittlige vekstfarten er nesten 14 ganger så stor i \( [16, 26] \) som i \( [0, 10]\text{.} \)

S1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen
f(x)=e2xx f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x≠0 {x \neq 0} er
f′(x)=e2x(2x−1)x2‾‾ \underline{\underline{f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}}}
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Telleren \( e^{2x} \) deriverer vi med kjerneregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen gir \( {\left(e^{\textcolor{green}{2x}}\right)' = e^{2x} \cdot \textcolor{green}{2}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^{2x}}(2x - 1)}{x^2} \]

S1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Programmet stopper i toppunktet til O O og skriver ut
10 000‾‾ \underline{\underline{10\,000}}
Løkka øker \( x \) så lenge neste funksjonsverdi er større, altså så lenge grafen til \( O \) stiger. Programmet stopper derfor i toppunktet, som vi finner med den deriverte.
1. Les hva programmet gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ O(x) = -0{,}1x^2 + 2000x - 50\,000 \]
Linje 4 starter med \( {x = 0}\text{.} \) Løkka i linje 6 og 7 øker \( x \) med \( 1 \) så lenge \( {O(x + 1) > O(x)}\text{,} \) altså så lenge grafen stiger. Når den ikke stiger lenger, stopper løkka, og linje 9 skriver ut \( x\text{.} \)
2. Finn toppunktet med den deriverte Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd: \[ O'(x) = -0{,}2x + 2000 \]
Vi setter den deriverte lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}2x + 2000 &= 0 \\ x &= \dfrac{2000}{0{,}2} = 10\,000 \end{aligned} \]For \( {x < 10\,000} \) er \( {\textcolor{blue}{O'(x) > 0}}\text{,} \) og grafen stiger. For \( {x > 10\,000} \) er \( {\textcolor{red}{O'(x) < 0}}\text{,} \) og grafen synker.
3. Finn verdien som skrives ut Løkka tar ett steg om gangen. Når \( {x = 9999}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{O(10\,000) > O(9999)}}\text{,} \) fordi grafen stiger fram til toppunktet. Da blir \( {x = 10\,000}\text{.} \)
Når \( {x = 10\,000}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{O(10\,001) < O(10\,000)}}\text{,} \) fordi grafen synker etter toppunktet. Da stopper løkka, og programmet skriver ut \( 10\,000\text{.} \)

S1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, f, f\text{,} g g og h. h\text{.} En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik 12 \dfrac{1}{2} i intervallet [0,4], [0, 4]\text{,} og derivert lik 1 1 når x=1. {x = 1}\text{.}
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

f f har gjennomsnittlig vekstfart 12 \dfrac{1}{2} på [0,4], [0, 4]\text{,} og f′(1)=1: {f'(1) = 1}\text{:}
Funksjonen er f‾‾ \underline{\underline{\text{Funksjonen er } f}}
Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.
1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)
2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.
3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]
Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]

S1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Stephanie leier ut parkeringsplasser. Hun leier ut plasser for 1000 kroner per plass per måned. Med denne prisen er samtlige plasser utleid. Dersom hun øker prisen, vil antallet utleide plasser minke med én for hver gang prisen øker med 50 kroner. Hvis hun øker prisen til 1500 kroner per plass, vil hun ha samme inntekt som nå.

Oppgave 5a)

Vis at Stephanie har 30 parkeringsplasser.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
1000⋅N=1500⋅(N−10) {1000 \cdot N = 1500 \cdot (N - 10)} gir:
N=30 parkeringsplasser‾‾ \underline{\underline{N = 30 \text{ parkeringsplasser}}}
Fra 1000 til 1500 kroner øker prisen 10 ganger med 50 kroner, så hun leier ut 10 færre plasser. Vi setter inntekten før og etter prisøkningen lik hverandre.
Metode: For hånd
1. Sett opp inntekten før og etter La \( \textcolor{blue}{N} \) være antall parkeringsplasser. Inntekten er prisen ganget med antall utleide plasser, og med 1000 kroner er alle plassene utleid: \[ \text{Inntekt nå} = 1000 \cdot \textcolor{blue}{N} \]
Prisøkningen er \( {1500 - 1000 = 500} \) kroner, altså \( {\dfrac{500}{50} = 10} \) økninger på 50 kroner. Da leier hun ut \( \textcolor{red}{10} \) færre plasser: \[ \text{Ny inntekt} = 1500 \cdot (\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) \]
2. Sett inntektene like Inntektene er like, så: \[ \begin{aligned} 1500(\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{10}) &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 1500\textcolor{blue}{N} - 15\,000 &= 1000\textcolor{blue}{N} \\ 500\textcolor{blue}{N} &= 15\,000 \\ \textcolor{blue}{N} &= 30 \end{aligned} \]Stephanie har altså 30 parkeringsplasser.

Oppgave 5b)

Hva er den største mulige månedlige inntekten som Stephanie kan få?
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med 1250 kroner per plass og 25 plasser utleid:
31 250 kroner per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{31\,250 \text{ kroner per måned}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at Stephanie har 30 plasser, står i oppgaveteksten til a).
Vi lar \( x \) være antall ganger prisen øker med 50 kroner, og skriver inntekten som pris ganger antall utleide plasser. Inntekten er størst i toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp inntekten Øker prisen \( \textcolor{blue}{x} \) ganger med 50 kroner, er prisen \( {1000 + 50\textcolor{blue}{x}} \) kroner, og hun leier ut \( {30 - \textcolor{blue}{x}} \) plasser. Ganger vi ut, blir inntekten per måned: \[ \begin{aligned} I(x) &= (1000 + 50x)(30 - x) \\ I(x) &= -50x^2 + 500x + 30\,000 \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ I'(x) = -100x + 500 \]
Vi setter \( {I'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -100x + 500 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-50 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.
3. Regn ut inntekten Med \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{5}} \) er prisen \( {1000 + 50 \cdot \textcolor{blue}{5} = 1250} \) kroner, og \( {30 - \textcolor{blue}{5} = 25} \) plasser er utleid: \[ I(5) = 1250 \cdot 25 = 31\,250 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = (1000 + 50x)(30 - x) T = Ekstremalpunkt(I)
Toppunktet er \( {T = (5, 31\,250)}\text{.} \) Med 5 prisøkninger, altså 1250 kroner per plass, blir inntekten 31 250 kroner per måned.

S1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

6 poeng

Bedriften Skipsmotor AS ønsker å optimalisere produksjonen av båtmotorer i Norge. Inntektene og kostnadene ved produksjon og salg av x x båtmotorer per år er gitt ved
I(x)=250x−0,5x2K(x)=70x+600 \begin{aligned} I(x) &= 250x - 0{,}5x^2 \\ K(x) &= 70x + 600 \end{aligned}
I(x) I(x) og K(x) K(x) er gitt i 1000 kroner.

Oppgave 6a)

Bestem I′(15). I'(15)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Ved 15 solgte motorer øker inntekten med omtrent 235 000 kroner per ekstra motor:
I′(15)=235‾‾ \underline{\underline{I'(15) = 235}}
\( I'(15) \) er hvor fort inntekten vokser når bedriften selger 15 motorer. Vi deriverer \( I \) med potensregelen og setter inn \( {x = 15}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver og sett inn Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd og setter inn \( {x = \textcolor{blue}{15}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} I'(x) &= 250 - 0{,}5 \cdot 2x = 250 - x \\ I'(\textcolor{blue}{15}) &= 250 - \textcolor{blue}{15} = \textcolor{red}{235} \end{aligned} \]
2. Tolk svaret \( I(x) \) er gitt i 1000 kroner, så \( {I'(\textcolor{blue}{15}) = \textcolor{red}{235}} \) betyr \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner per motor. Når bedriften selger \( \textcolor{blue}{15} \) motorer, øker inntekten med omtrent \( \textcolor{red}{235\,000} \) kroner for hver motor den selger i tillegg, som tolkningen i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Oppgave 6b)

Hvor mange båtmotorer må Skipsmotor AS selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort er dette overskuddet?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Overskuddet er størst med 180 solgte motorer:
180 ba˚tmotorer‾‾Overskudd: 15 600 000 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{180 \text{ båtmotorer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Overskudd: } 15\,600\,000 \text{ kr}}} \end{aligned}
Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Vi setter opp \( {O(x) = I(x) - K(x)} \) og finner toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 250x - 0{,}5x^2 - 70x - 600 \\ &= -0{,}5x^2 + 180x - 600 \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -x + 180 = 0 \\ x &= \textcolor{blue}{180} \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}5 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.
3. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{180}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(\textcolor{blue}{180}) \\ &= -0{,}5 \cdot \textcolor{blue}{180}^2 + 180 \cdot \textcolor{blue}{180} - 600 \\ &= 15\,600 \end{aligned} \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det er \( 15\,600\,000 \) kroner.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( I\text{,} \) \( K \) og \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O(x) = I(x) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)
Toppunktet er \( {T = (180, 15\,600)}\text{.} \) Bedriften må selge 180 båtmotorer, og overskuddet blir 15 600 tusen kroner.
Skipsmotor AS frykter at høy produksjon vil føre til dårligere kvalitet. De antar at de 50 første motorene produseres uten feil, og at 10 % 10\,\% av motorene etter dette ikke kan selges.

Oppgave 6c)

Bestem det største overskuddet Skipsmotor AS kan få dersom denne antakelsen er riktig.
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Avrundet til hele tusen kroner, når bedriften lager omtrent 186 motorer:
Overskudd≈14 619 000 kr‾‾ \underline{\underline{\text{Overskudd} \approx 14\,619\,000 \text{ kr}}}
Nå blir ikke alle motorene som lages, solgt. Kostnadene gjelder alle motorene, men inntekten bare dem som selges. Vi setter opp det nye overskuddet og finner toppunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Finn antall solgte motorer Lager bedriften \( \textcolor{blue}{x} \) motorer, der \( {\textcolor{blue}{x} \ge 50}\text{,} \) blir de 50 første solgt, og \( 90\,\% \) av de \( {\textcolor{blue}{x} - 50} \) andre. Antall solgte motorer er: \[ 50 + 0{,}9(\textcolor{blue}{x} - 50) = \textcolor{red}{0{,}9x + 5} \]
2. Sett opp det nye overskuddet Inntekten regnes av de \( {\textcolor{red}{0{,}9x + 5}} \) solgte motorene, og kostnadene av alle \( \textcolor{blue}{x} \) som lages: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= I(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) - K(\textcolor{blue}{x}) \\ &= 250(\textcolor{red}{0{,}9x + 5}) \\ &\quad - 0{,}5(\textcolor{red}{0{,}9x + 5})^2 \\ &\quad - (70\textcolor{blue}{x} + 600) \end{aligned} \]
Ganger vi ut og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O_2(x) &= -0{,}405x^2 + 150{,}5x \\ &\quad + 637{,}5 \end{aligned} \]
3. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen er: \[ \begin{aligned} O_2'(x) &= -0{,}81x + 150{,}5 = 0 \\ x &= \dfrac{150{,}5}{0{,}81} \approx 185{,}80 \end{aligned} \]Dette er over 50, og grafen er en parabel som vender ned, så det er et toppunkt.
4. Regn ut overskuddet Vi setter inn \( {x \approx 185{,}80} \) i \( O_2(x)\text{:} \) \[ O_2(185{,}80) \approx 14\,619 \]Overskuddet er i 1000 kroner, så det største overskuddet er omtrent \( 14\,619\,000 \) kroner, når bedriften lager omtrent 186 motorer.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver antall solgte motorer inn i \( I \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: I(x) = 250x - 0.5x^2 K(x) = 70x + 600 O_2(x) = I(50 + 0.9(x - 50)) - K(x) T = Ekstremalpunkt(O_2)
Toppunktet er \( {T \approx (185{,}80,\ 14\,619{,}14)}\text{.} \) Det største overskuddet er omtrent 14 619 tusen kroner.

S1 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen.
f(x)=4x2⋅ln⁡(3x) f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x)
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x>0 {x > 0} er
f′(x)=8xln⁡(3x)+4x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = 8x \ln(3x) + 4x}}
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Faktoren \( \ln(3x) \) deriverer vi med kjerneregelen.
1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
2. Finn delene \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{k} \) deriverer vi med kjerneregelen: \[ \left(\ln \textcolor{green}{k}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) så \( {\left(\ln(3x)\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - S1 Eksamen Vår 2026.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln(3x)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
3. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln(3x)} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln(3x) + 4x \end{aligned} \]\( \ln(3x) \) er bare definert når \( {3x > 0}\text{,} \) altså for \( {x > 0}\text{.} \)