Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

potensrekker

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om potensrekker

Oppgavene

R2 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 1+x+x2+x3+⋯ {1 + x + x^2 + x^3 + \cdots}
Det kan vises at
∫1 dx+∫x dx+∫x2 dx+∫x3 dx+⋯=∫11−x dx ,x∈⟨−1,1⟩ \begin{aligned} &\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \int x^3\,dx \\ &+ \cdots = \int \dfrac{1}{1 - x}\,dx\ , \quad x \in \langle -1, 1 \rangle \end{aligned}
Bruk denne sammenhengen til å vise at
121+12⋅122+13⋅123+14⋅124+⋯=ln⁡2 \begin{aligned} &\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^3} \\ &+ \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2^4} + \cdots = \ln 2 \end{aligned}
I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Med x=12 {x = \dfrac{1}{2}} blir venstresiden rekka og høyresiden −ln⁡12, {-\ln \dfrac{1}{2}}\text{,} så
121+12⋅122+⋯=ln⁡2‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \cdots = \ln 2}}
Vi regner ut integralene på begge sider av sammenhengen. Så ser vi at \( {x = \dfrac{1}{2}} \) gir rekka i oppgaven.
Metode: For hånd
1. Integrer venstresiden ledd for ledd Integrasjonsregelen for potenser forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Bruker vi den på hvert ledd, blir venstresiden: \[ \textcolor{blue}{x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{4}x^4 + \cdots} \]
2. Integrer høyresiden For høyresiden er: \[ \int \dfrac{1}{1 - x}\,dx = -\ln(1 - x) + C \]Deriverer vi \( {-\ln(1 - x)} \) med kjerneregelen, får vi \( {-\dfrac{1}{1 - x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{1 - x}}\text{.} \) Vi trenger ikke absoluttverdi, fordi \( {1 - x > 0} \) når \( {x < 1}\text{.} \) Sammenhengen blir altså: \[ \textcolor{blue}{x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots} = \textcolor{red}{-\ln(1 - x)} \]
3. Sett inn x lik en halv \( {x = \dfrac{1}{2}} \) ligger i \( {\langle -1, 1 \rangle}\text{,} \) og \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{2^n}}\text{.} \) Venstresiden blir da rekka i oppgaven: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^3} + \cdots} \]
Høyresiden blir: \[ \textcolor{red}{-\ln\left(1 - \dfrac{1}{2}\right)} = -\ln \dfrac{1}{2} = \ln 2 \]Her brukte vi at \( {\ln \dfrac{1}{2} = -\ln 2}\text{.} \) Rekka er altså lik \( \ln 2\text{.} \)
Kontroll: Med \( {x = 0} \) er begge sidene \( 0\text{,} \) så det er riktig å se bort fra integrasjonskonstantene.